2024-2025学年广东省广州市增城区九年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年广东省广州市增城区九年级（上）期末数学试卷
一.选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分。下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（3分）“掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为6”这个事件是（　　）
A．随机事件 B．确定事件
C．不可能事件 D．必然事件
2．（3分）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）反比例函数y=4x的图象一定经过的点是（　　）
A．（﹣1，4） B．（1，﹣4） C．（﹣2，2） D．（2，2）
4．（3分）抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4）
5．（3分）已知⊙O的半径为6cm，若OP＝5cm，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．不能确定
6．（3分）如图，在△AOB中，A(1，5)，点B在x轴上，将△AOB绕点O旋转180°，点A的对应点A'的坐标为（　　）

A．(5，1) B．(-5，1) C．(-1，-5) D．(5，-1)
7．（3分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b＞kx的解集是（　　）

A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3
8．（3分）某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了1640张照片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x+1）＝1640 B．12x(x+1)=1640
C．x（x﹣1）＝1640 D．12x(x-1)=1640
9．（3分）利用相机的“微距模式”可以拍摄得到与实际物体等大或比实际物体稍大的图象，如图是一个微距拍摄成像的示意图．若拍摄60mm远的物体AB，其在底片上的图象A'B'的宽是36mm，焦距是90mm，则物体AB的宽是（　　）

A．6mm B．12mm C．24mm D．30mm
10．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　）
A．12或4 B．-12或4 C．-43或4 D．-12或-43
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的解，则a＝ 　 　 ．
12．（3分）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，若∠APB＝60°，PO＝8，则⊙O的半径等于 　 　 ．

13．（3分）如图，圆锥的底面半径OC＝4，母线长AC＝8，则圆锥的侧面积为 　 　 ．

14．（3分）在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为 　 　 ．
15．（3分）如图，已知A（4，0），B（3，4），将△OAB以点O为位似中心，相似比为2：1，放大得到△OA′B′，则顶点B的对应点B′的坐标为 　 　 ．

16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 　 　 ．

三.解答题（本题共9个小题，共72分）
17．（4分）解方程：x2﹣6x+8＝0．
18．（4分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB＝CD．求证：BD=AC．

19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A（2，2），B（0，3），C（1，0）．
（1）作出△ABC绕点O顺时针旋转90°的△A1B1C1；
（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标．

20．（6分）某校开展征文活动，征文主题只能从“爱国”、“敬业”、“诚信”、“友善”四个主题中选择一个，每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

（1）将上面的条形统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有1200名考生，请估计选择以“爱国”为主题的七年级学生有　 　 名．
（3）学生会宣传部有七年级的2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“主题征文”宣传活动，请用树状图或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
21．（8分）如图，∠A＝∠D，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥AB交BD于点F．
（1）求证：△CEF∽△DEC；
（2）若EF＝3，EC＝5，求DF的长．

22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线．
（1）尺规作图：作⊙O，点O在线段AB上，使⊙O经过A，D两点．
（不写作法与证明，保留作图痕迹）；
（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y=kx（x＜0）的图象交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，且△OCB与△OAB的面积比为1：2．
（1）求k和b的值；
（2）将△OBC绕点O逆时针旋转90°，得到ΔOB′C′，判断点C′是否落在函数y=kx（k＜0）的图象上，并说明理由．

24．（12分）抛物线y＝x2+bx经过A（﹣2，0），B（1，m）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交抛物线于点N，求线段MN的最大值；
（3）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后图象与原图象在x轴上方的部分组成了一个“W”形状的新图象，若直线y=12x+b'与该新图象恰好有三个公共点，求b'的值．
25．（12分）如图，△ABC是内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABC＝30°，AB＝6．
（1）求BC的长；
（2）点D为⊙O上的一个动点，且位于直线AB的上方，点D从点B开始沿着⊙O运动至点C，连接DO，延长DO交⊙O于点E，连接AE，BE．
①当CE平分∠ACB时，试探究AC，BC和CE三者之间的数量关系，并证明你的结论；
②AD与CE交于点P，求点E运动过程中，点P的运动路径长．

2024-2025学年广东省广州市增城区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
C
C
C
A
C
C
B

一.选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分。下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（3分）“掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为6”这个事件是（　　）
A．随机事件 B．确定事件
C．不可能事件 D．必然事件
【分析】根据在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，进而判断即可．
【解答】解：“掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为6”这个事件是随机事件．
故选：A．
【点评】此题主要考查了随机事件，正确掌握随机事件的定义是解题关键．
2．（3分）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（3分）反比例函数y=4x的图象一定经过的点是（　　）
A．（﹣1，4） B．（1，﹣4） C．（﹣2，2） D．（2，2）
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断即可．
【解答】解：A、﹣1×4＝﹣4≠4，故点（﹣1，4）不在反比例函数y=4x的图象上，不符合题意；
B、1×（﹣4）＝﹣4≠4，故点（1，﹣4）不在反比例函数y=4x的图象上，不符合题意；
C、﹣2×2＝﹣4≠4，故点（﹣2，2）不在反比例函数y=4x的图象上，不符合题意；
D、2×2＝4，故点（2，2）在反比例函数y=4x的图象上，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，同一个反比例函数图象上点的坐标之积都相等是解答本题的关键．
4．（3分）抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4）
【分析】根据函数的解析式可以直接写出抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+4，
∴该抛物线的顶点坐标是（3，4），
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出相应的顶点坐标．
5．（3分）已知⊙O的半径为6cm，若OP＝5cm，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．不能确定
【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
【解答】解：根据点到圆心的距离5cm小于圆的半径6cm，则该点在圆内．
故选：C．
【点评】本题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：当点到圆心的距离大于圆的半径时，则点在圆外．
6．（3分）如图，在△AOB中，A(1，5)，点B在x轴上，将△AOB绕点O旋转180°，点A的对应点A'的坐标为（　　）

A．(5，1) B．(-5，1) C．(-1，-5) D．(5，-1)
【分析】利用中心对称变换的性质解决问题即可．
【解答】解：将△AOB绕点O旋转180°，点A的对应点A'，
∴A，A′关于原点对称，
∵A（1，5），
∴A′（﹣1，-5）．
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是掌握中心对称变换的性质．
7．（3分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b＞kx的解集是（　　）

A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3
【分析】依据题意，首先求出B点的横坐标，再直观得出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围，即为不等式的解集．
【解答】解：∵A（2，3）在反比例函数上，
∴k＝6．
又B（m，﹣2）在反比例函数上，
∴m＝﹣3．
∴B（﹣3，﹣2）．
结合图象，
∴当ax+b＞kx时，﹣3＜x＜0或x＞2．
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数、一次函数的图象和性质，通过图象直接得出一次函数的值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．
8．（3分）某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了1640张照片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x+1）＝1640 B．12x(x+1)=1640
C．x（x﹣1）＝1640 D．12x(x-1)=1640
【分析】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．
【解答】解：根据题意得：全班有 x名学生，每人要赠送（x﹣1）张相片，
则列方程得，x（x﹣1）＝1640，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人是解决问题的关键．
9．（3分）利用相机的“微距模式”可以拍摄得到与实际物体等大或比实际物体稍大的图象，如图是一个微距拍摄成像的示意图．若拍摄60mm远的物体AB，其在底片上的图象A'B'的宽是36mm，焦距是90mm，则物体AB的宽是（　　）

A．6mm B．12mm C．24mm D．30mm
【分析】由题意可知△A′B′O∽△ABO，利用相似三角形的性质：对应高之比等于相似比即可求出宽AB的长．
【解答】解：∵AB∥A′B′，
∴△A′B′O∽△ABO，
∴ABA′B′=6090，
∴AB36=6090，
∴AB＝24．
答：物体AB的宽是24m．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形在实际问题中的应用，用到的知识点是：相似三角形对应高之比等于相似比．
10．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　）
A．12或4 B．-12或4 C．-43或4 D．-12或-43
【分析】分情况讨论对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的性质即可得到在﹣1≤x≤4中，根据最大值最小值进行计算即可．
【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a（a＜0）的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
a＜0时，
∴函数有最大值﹣a，
∴在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a=-12；
a＞0时，
∴函数有最小值﹣a，
∴在﹣1≤x≤4，当x＝1时，函数有最小值，
∴﹣a＝﹣4，
解得a＝4；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的解，则a＝ 　2　 ．
【分析】把x＝1代入方程转化为关于a的方程求解．
【解答】解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的解，
∴1﹣a+′1＝0，
∴a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查解一元二次方程的解，解题的关键是理解方程解的定义．
12．（3分）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，若∠APB＝60°，PO＝8，则⊙O的半径等于 　4　 ．

【分析】根据切线的性质得OA⊥PA，∠OPA＝∠OPB＝30°，在Rt△OPA中，根据∠OPA＝30°得OA＝4，由此可得⊙O的半径．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，∠APB＝60°，
∴OA⊥PA，∠OPA＝∠OPB=12∠APB＝30°，
在Rt△OPA中，∠OAP＝90°，∠OPA＝30°，PO＝8，
∴OA=12PO＝4，
∴⊙O的半径等于4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质是解决问题的关键．
13．（3分）如图，圆锥的底面半径OC＝4，母线长AC＝8，则圆锥的侧面积为 　32π　 ．

【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形面积公式可计算出圆锥的侧面积．
【解答】解：根据题意得，
∵圆锥的底面半径OC＝4，
∴圆锥的底面圆的周长＝2π×4＝8π，
∴圆锥的侧面积=12×8π×8＝32π．
故答案为：32π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形面积公式．
14．（3分）在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为 　10　 ．
【分析】由题意得出摸到红球的概率为0.4，从而得到m＝4÷0.4，计算即可得解．
【解答】解：∵通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，
∴4m=0.4，
解得m＝10，
∴m约为10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了由频率估计概率，解题的关键是掌握利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．
15．（3分）如图，已知A（4，0），B（3，4），将△OAB以点O为位似中心，相似比为2：1，放大得到△OA′B′，则顶点B的对应点B′的坐标为 　（6，8）或（﹣6，﹣8）　 ．

【分析】利用位似图形坐标变化特征解答即可．
【解答】解：由位似图形坐标变化的特征可知：
B′（6，8）或B′（﹣6，﹣8）．
故答案为：（6，8）或（﹣6，﹣8）．
【点评】本题考查位似图形坐标变化特征：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 　35-3　 ．

【分析】据题意可知点F的运动轨迹为以D为圆心，CD长为半径的圆．即可知当B、F、D三点共线时，BF的值最小．由勾股定理可求出BC的长，设BF＝x，则BD＝x+3，在Rt△BCD中，利用勾股定理解出x，即求出BF的最小值．
【解答】解：根据题意可知点F的运动轨迹为以D为圆心，CD长为半径的圆，
由点F的运动轨迹可知当B、F、D三点共线时，BF的值最小，如图：

∴CD＝DF＝3，
在Rt△ABC中，
BC=AB2-AC2=102-82=6，
设BF＝x，则BD＝BF+DF＝x+3，
在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2，即（x+3）2＝62+32，
解得：x1＝﹣3+35，x2＝﹣3﹣35（舍去）．
故BF的最小值为35-3．
故答案为：35-3．
【点评】本题考查折叠的性质，圆的基本性质，勾股定理以及解一元二次方程，理解当B、F、D三点共线时，BF的值最小是解答本题的关键．
三.解答题（本题共9个小题，共72分）
17．（4分）解方程：x2﹣6x+8＝0．
【分析】把方程左边分解得到（x﹣2）（x﹣4）＝0，则原方程可化为x﹣2＝0或x﹣4＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝2 x2＝4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
18．（4分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB＝CD．求证：BD=AC．

【分析】根据圆心角、弧及弦之间的关系即可解决问题．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴AB=CD，
∴AB+AD=CD+AD，
∴BD=AC．
【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟知圆心角、弧及弦之间的关系是解题的关键．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A（2，2），B（0，3），C（1，0）．
（1）作出△ABC绕点O顺时针旋转90°的△A1B1C1；
（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标．

【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）根据点的位置写出坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）A1（2，﹣2），B1（3，0），C1（0，﹣1）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
20．（6分）某校开展征文活动，征文主题只能从“爱国”、“敬业”、“诚信”、“友善”四个主题中选择一个，每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

（1）将上面的条形统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有1200名考生，请估计选择以“爱国”为主题的七年级学生有　480　 名．
（3）学生会宣传部有七年级的2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“主题征文”宣传活动，请用树状图或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
【分析】（1）用“诚信”的人数和除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算出“友善”的人数后补全条形统计图；
（2）用1200乘以样本中“爱国”为主题的人数的百分比即可解答；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出“1男1女”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）调查的总人数为：3÷6%＝50（人），
∴以“友善”为主题的人数为：50×30%＝15（人），
补充条形统计图如图所示：

（2）1200×2050=480（名），
∴估计选择以“爱国”为主题的七年级学生有480名；
故答案为：480；
（3）有七年级的2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“主题征文”宣传活动，作树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中“1男1女”的结果数为8种，
∴恰好选中“1男1女”的概率为812=23．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法．
21．（8分）如图，∠A＝∠D，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥AB交BD于点F．
（1）求证：△CEF∽△DEC；
（2）若EF＝3，EC＝5，求DF的长．

【分析】（1）根据平行线的性质可得∠A＝∠FCE，进而可以证明结论；
（2）结合（1），根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠A＝∠FCE，
∵∠A＝∠D，
∴∠FCE＝∠D，
∵∠CEF＝∠DEC，
∴△CEF∽△DEC；
（2）解：∵△CEF∽△DEC，EF＝3，EC＝5，
∴EFEC=ECDE，
∴35=5DE，
∴DE=253，
∴DF＝DE﹣EF=253-3=163．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线．
（1）尺规作图：作⊙O，点O在线段AB上，使⊙O经过A，D两点．
（不写作法与证明，保留作图痕迹）；
（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

【分析】（1）作线段AD的垂直平分线交AB于点O，以O为圆心OA为半径作⊙O即可；
（2）结论：直线BC是⊙O的切线．证明OD⊥BC即可．
【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求；

（2）结论：直线BC是⊙O的切线．
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，
∴直线BC是⊙O的切线．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，直线与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，正确作出图形，
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y=kx（x＜0）的图象交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，且△OCB与△OAB的面积比为1：2．
（1）求k和b的值；
（2）将△OBC绕点O逆时针旋转90°，得到ΔOB′C′，判断点C′是否落在函数y=kx（k＜0）的图象上，并说明理由．

【分析】（1）将A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b可求出b的值；将A（﹣1，6）代入y=kx可求出k的值；
（2）由一次函数的解析式求出B点坐标为（5，0）．根据△OCB与△OAB的面积比为1：2，得出C为AB中点，利用中点坐标公式求出C点坐标为（2，3）．过点C作CD⊥x轴，垂足为D，过点C'作C'E⊥x轴，垂足为E．根据AAS证明△C′OE≌△OCD，得出OE＝CD＝3，C′E＝OD＝2，又C′在第二象限，得出C′（﹣3，2），进而判断点C′是落在函数y=-6x的图象上．
【解答】解：（1）将A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b，
得，6＝1+b，
∴b＝5，
将A（﹣1，6）代入y=kx，
得，6=k-1，
解得，k＝﹣6，
故所求k和b的值分别为﹣6，5；

（2）点C′是落在函数y=-6x的图象上．理由如下：
∵y＝﹣x+5，
∴y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝5，
∴B（5，0）．
∵△OCB与△OAB的面积比为1：2，
∴C为AB中点，
∵A（﹣1，6），B（5，0），
∴C（2，3）．
如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，过点C'作C'E⊥x轴，垂足为E．
∵将△OBC绕点O逆时针旋转90°，得到ΔOB′C′，
∴OC'＝OC，OB′＝OB＝5，∠COC′＝90°．
∴∠C′OE＝∠OCD＝90°﹣∠COD．
在△C′OE与△OCD中，
∠C′OE=∠OCD∠C′EO=∠ODCOC′=OC，
∴△C′OE≌△OCD（AAS），
∴OE＝CD＝3，C′E＝OD＝2，
∵C′在第二象限，
∴C′（﹣3，2），
∴点C′是落在函数y=-6x的图象上．

【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，线段中点坐标公式，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，都是基础知识，需熟练掌握．
24．（12分）抛物线y＝x2+bx经过A（﹣2，0），B（1，m）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交抛物线于点N，求线段MN的最大值；
（3）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后图象与原图象在x轴上方的部分组成了一个“W”形状的新图象，若直线y=12x+b'与该新图象恰好有三个公共点，求b'的值．
【分析】（1）将点A坐标代入抛物线的解析式求得b，进而得出结果；
（2）求得AB的解析式，可设出点M，N的坐标，进而表示出MN的解析式，可配方得出结果；
（3）作出符合条件的图象，求出直线y=12x+b'过点A时和直线y=12x+b'与“W”形状相切时的b'的值，进一步得出结果．
【解答】解：（1）由题意得，
0＝（﹣2）2﹣2b，
∴b＝2，
∴y＝x2+2x；
（2）如图1，

当x＝1时，y＝12+2×1＝3，
∴B（1，3），
设AB的解析式为：y＝mx+n，
∴-2m+n=0m+n=3，
∴m=1n=2，
∴y＝x+2，
设M（m，m2+2m），N（m，m+2），
∴MN＝（m+2）﹣（m2+2m）=-(m+12)2+94，
∴当m=-12时，MN最大=94；
（3）如图2，

当直线y=12x+b'过点A时，
12×(-2)+b′=0，
∴b'＝1，
当直线y=12x+b'与“W”形状相切时，
“W“形状的抛物的解析式为：y＝﹣（x+1）2+1＝﹣x2﹣2x，
由12x+b′=-x2-2x得，
b'=2516，
∴当b'＝1或2516时，直线y=12x+b'与该新图象恰好有三个公共点．
【点评】本题考查了了二次函数及其图象的性质，解一元二次方程等知识，解决问题的关键是数形结合．
25．（12分）如图，△ABC是内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABC＝30°，AB＝6．
（1）求BC的长；
（2）点D为⊙O上的一个动点，且位于直线AB的上方，点D从点B开始沿着⊙O运动至点C，连接DO，延长DO交⊙O于点E，连接AE，BE．
①当CE平分∠ACB时，试探究AC，BC和CE三者之间的数量关系，并证明你的结论；
②AD与CE交于点P，求点E运动过程中，点P的运动路径长．

【分析】（1）由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，而∠ABC＝30°，AB＝6，所以AC=12AB＝3，则BC=AB2-AC2=33；
（2）①作EL⊥CB于点L，EF⊥CA交CA的延长线于点F，因为CE平分∠ACB，所以EL＝EF，可证明四边形EFCL是正方形，则CL＝CF＝EF，再证明△BEL≌△AEF，得BL＝AF，则AC+BC＝AC+BL+CL＝CF+CL＝2CF，由CE=EF2+CF2=2CF，得2CE＝2CF，所以AC+BC=2CE；
②作△APC的外接圆，圆心为点Q，连接AQ、PQ、CQ，由∠DAE＝90°，∠AEC＝∠ABC＝30°，得∠APC＝∠DAE+∠AEC＝120°，再证明∠AQC＝120°，延长AQ交⊙Q于点H，连接CH，可证明△CQH是等边三角形，则CH＝CQ，由AC=AH2-CH2=3CQ＝3，得CQ=3，求得lAC=23π3，所以点P的运动路径长为23π3．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝30°，AB＝6，
∴AC=12AB＝3，
∴BC=AB2-AC2=62-32=33，
∴BC的长为33．
（2）①AC+BC=2CE，
证明：作EL⊥CB于点L，EF⊥CA交CA的延长线于点F，则∠ELB＝∠F＝90°，
∵∠ELC＝∠F＝∠FCL＝90°，
∴四边形EFCL是矩形，
∵CE平分∠ACB，EL⊥CB，EF⊥CA，
∴EL＝EF，
∴四边形EFCL是正方形，
∴CL＝CF＝EF，∠FEL＝∠AEB＝90°，
∴∠BEL＝∠AEF＝90°﹣∠AEL，
在△BEL和△AEF中，
∠ELB=∠FEL=EF∠BEL=∠AEF，
∴△BEL≌△AEF（ASA），
∴BL＝AF，
∴AC+BC＝AC+BL+CL＝AC+AL+CL＝CF+CL＝2CF，
∵CE=EF2+CF2=2CF，
∴2CE＝2CF，
∴AC+BC=2CE．
②如图2，作△APC的外接圆，圆心为点Q，连接AQ、PQ、CQ，则AQ＝PQ＝CQ，
∵∠DAE＝90°，∠AEC＝∠ABC＝30°，
∴∠APC＝∠DAE+∠AEC＝120°，
∵∠QAP＝∠QPA，∠QCP＝∠QPC，
∴∠QAP+∠QCP＝∠QPA+∠QPC＝∠APC＝120°，
∴∠AQC＝360°﹣（∠QAP+∠QCP）﹣∠APC＝120°，
延长AQ交⊙Q于点H，连接CH，则CQ＝AQ＝HQ，AH＝2CQ，
∵AH是⊙Q的直径，
∴∠ACH＝90°，
∵∠CQH＝180°﹣∠AQC＝60°，
∴△CQH是等边三角形，
∴CH＝CQ，
∵AC=AH2-CH2=(2CQ)2-CQ2=3CQ＝3，
∴CQ=3，
∴lAC=120π×3180=23π3，
∵点D从点B开始沿着⊙O运动至点C，则点P从点A开始沿着⊙Q运动至点C，
∴点E运动过程中，点P的运动路径为⊙Q上的一段弧，即AC，
∴点P的运动路径长为23π3．

【点评】此题重点考查直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、圆周角定理、正方形的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
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