机械制图机械工业出版社第二版03点、直线、平面的投影.pps

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,3,章 点、直线、平面的投影,3.1,点的投影,3.2,直线的投影,3.3,平面的投影,3.4,直线与平面、平面与平面的相对位置,3.1,点的投影,3.1.1,点在三面体系中的投影,3.1.2,特殊位置点的投影,3.1.3,两点的相对位置和重影点,3.1.1,点在三面体系中的投影,1,符号规定,空间点：,用大写字母,投影点：,用小写字母,水平投影,a,、,b,、,c,正面投影,a,、,b,、,c,侧面投影,a,、,b,、,c,等,W,H,V,o,X,a,点,A,的正面投影,a,点,A,的水平投影,a,点,A,的侧面投影,a,a,a,A,Z,Y,W,V,H,三投影面的展开,V,面不动，,H,面朝下旋转,90,，,W,面朝右旋转,90,。,向右翻,向下翻,不动,a,a,Z,a,a,y,a,y,a,X,Y,Y,O,a,z,x,H,W,(1),建立三面投影体系,V,面,：,正立投影面,H,面,：,水平投影面,W,面,：,侧立投影面,2,点的投影特性,a,z,a,y,a,x,W,V,H,a,a,Z,a,a,y,a,y,a,X,Y,Y,O,a,z,x,H,W,（,2,）点的投影特性,a,aOX,轴,a,a,OZ,轴,Aa,=,aa,x,=,a,a,z,=,y,A,（,A,到,V,面的距离,）,Aa,=,a,a,x,=,a,a,y,=,z,A,（,A,到,H,面的距离,）,A,a,=,aa,y,=,a,a,z,=,x,A,（,A,到,W,面的距离,）,W,H,V,o,X,a,a,a,A,Z,Y,a,z,a,y,a,x,x,A,y,A,z,A,画图注意：,投影线为细实线,【,例,3-1】,已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,a,x,a,a,a,a,x,a,z,a,z,解法一,:,通过作,45,斜线使,a,a,z,=,aa,x,解法二,:,用圆规直接量取,a,a,z,=,aa,x,a,图,3,-,2,由点的两个投影求第三投影,a),解法一,b),解法二,X,O,X,O,(1),空间点可用三个坐标表示，如,A,点坐标（,X,A,，,Y,A,，,Z,A,）。,X,：,反映点到,W,面距离,Y,：,反映点到,V,面距离,Z,：,反映点到,H,面距离,(2),一个投影点反映了两个坐标值，如投影,a,，,其坐标,X,A,，,Y,A,；,结论：若点的两个投影已知，则其空间位置确定，其第三投影也就唯一确定。,3,点的坐标与投影的关系,图,3,-,3,点的坐标与投影关系,a),直观图,b),投影图,V,H,X,O,Z,Y,W,【,例,3,-,2】,已知点（,15,，,5,，,10,），作出点的三面投影和直观图。,a,a,a,a,A,a,a,图,3,-,4,由点的坐标求作点的投影图和轴测图,a),投影图,b),直观图,X,O,Z,Y,H,Y,W,O,X,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,c,c,由图,3,-,5,可知,:,(1),三个坐标值中一有个坐标为零时，则该点必定在投影面上,(2),三个坐标值中有两个坐标为零时，则该点必定在其坐标值不为零的那个投影轴上。,b,b,3.1.2,特殊位置点的投影,b,45,图,3,-,5,特殊位置点的投影,c,两点的相对位置指两点在空间,的,上下、前后、左右,位置关系。,判断方法：,x,坐标大的在左,y,坐标大的在前,z,坐标大的在上,b,a,a,a,b,b,B,点在,A,点之前、之右、之下。,X,Y,H,Y,W,Z,3.1.3,两点的相对位置和重影点,1,两点的相对位置,图,3,-,6,两点相对位置,O,【,例,3,-,3,】,已知点,A,的三面投影,a,、,a,、,a,，,并知点,B,在点,A,的左方,32mm,，,在点,A,上方,25mm,，,在点,A,前方,20mm,，,求作点,B,的三面投影,b,、,b,、,b,。,a,a,a,32,20,25,b,b,b,20,图,3,-,7,利用相对坐标作图,(,d,),a,a,a,c,c,c,d,d,b,b,b,X,O,Z,Y,H,Y,W,2,重影点,位于同一投射线上的两点，由于它们在投射线所垂直的投影面上的投影是重合的，所以叫做,重影点,（,重影点必须有两个坐标值相同,）,。,被挡住的投影加,(),图,3,-,8,重影点的投影,(,b,),重影点的,可见性判别原则,对,V,面重影点,Y,坐标大者可见,对,H,面重影点,对,W,面重影点,Z,坐标大者可见,X,坐标大者可见,（前遮后）,（上遮下）,（左,遮,右）,3.2,直线的投影,3.2.1,直线的投影,3.2.2,各种位置直线的投影特性,3.2.3,一般位置线段的实长及其对投影面的倾角,3.2.4,点与直线、直线与直线的相对位置,3.2.5,直角投影定理,3.2.1,直线的投影,一般情况下，,直线的投影仍为直线,。由于两点决定一直线，因而只要作出直线上任意两点（通常为直线段的端点）的投影，并将其,同面投影用粗实线连线,，即可确定直线的投影，如图,3-9,所示。,图,3,-,9,直线的投影,X,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,O,直线与投影面的相对位置情况：,3.2.2,各种位置直线的投影特性,直线的空间位置,特殊位置直线,一般位置直线,投影面平行线,投影面垂直线,正平线,水平线,侧平线,正垂线,铅垂线,侧垂线,对三个投影面都倾斜的直线称为,一般位置直线,。,直线与投影面的夹角称为,直线对投影面的倾角,。空间直线与投影面,H,、,V,、,W,之间的倾角分别用,、,、,表示，如,图,3,-,12,所示。,水平投影,a b,=,ABcos,正面投影,ab,=,ABcos,侧面投影,ab,=,ABcos,1,一般位置直线,一般位置直线的投影特征：,三个投影均不反映实长；,三个投影均不反映直线与投影面的倾角。,图,3,-,12,一般位置直线,水平线,实长,b,a,a,b,a,b,Y,H,Y,W,X,Z,O,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,a,z,b,b,b,B,在,H,投影面上的投影反映实长，,并反映直线与,V,、,W,面倾角,(,、,）。,V,面投影平行于,OX,轴、,W,面投影平行于,OY,轴。,水平线投影特性：,与一个投影面平行，而对另外两投影面倾斜的直线。,2,投影面平行线,b,a,a,b,a,b,b,a,a,b,b,a,在其平行的投影面上的,投影反映实长,，,并反映直线与,另两投影面倾角,。,另两个投影面上的投影平行于相应的投影,轴。,侧平线,正平线,实长,实长,投影面平行线投影特性：,铅垂线,a,b,a(b),a,b,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,B,(b),b,b,在,V,、,W,投影面上,，,反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。,在,H,投影面上，,投影积聚成一点,。,铅垂线投影特性,:,3,投影面垂直线,垂直于某一个投影面的直线。,反映线段实长。且垂直,于相应的投影轴。,正垂线,侧垂线,另外两个投影,，,在其垂直的投影面上，,投影积聚成一点,。,投影面垂直线的投影特性,:,c,(,d,),c,d,d,c,e,f,e,f,e,(,f,),3.2.3,一般位置直线实长及其对投影面的倾角,一般位置线段在各投影面上的投影均不反映实长，也不反映对投影面的倾角，但在工程上，经常遇到求一般位置直线的实长和倾角，常采用的方法有直角三角形法,。,C,a,Y,Z,V,A,b,B,H,b,O,X,a,A,o,Z,A-,Z,B,Z,A-,Z,B,AB,实长,AB,实长,A,o,ab,图,3,-,13,用三角形法求一般位置直线的实长和倾角,a,a,X,b,b,O,a,a,X,b,b,O,一般位置直线的投影中可作出三个直角三角形，若只考虑直角三角形的组成关系。,利用直角三角形法，只要知道四个要素中的两个要素，即可求出其他两个未知要素，,如,图,3,-,14,所示。,图,3,-,14,直角三角形的三种三角形,30,例题,4,【,例,3,-,4,】,已知直线,AB,对,H,面的倾角为30，试求,AB,的正面投影,。,X,O,a,a,b,b,b,1,图,3,-,15,由线段的倾角求直线的投影,3.2.4,点与直线、直线与直线的相对位置,投影特性：,直线上点的投影必在该直线同面投影上；,同直线上两线段长度比等于其投影长度比。,1,点与直线的相对位置,图,3,-,16,直线上点的投影,a,b,a,b,k,b,a,k,【,例,3,-,5,】,在,AB,上,求作,点,K,，,使,AK:KB=1:2,。,2,1,k,图,3,-,17,求作直线上,K,点的投影,O,X,2,直线与直线的相对位置,空间两直线的相对位置：平行、相交、交叉。,（,1,）两直线平行,空间两直线平行，则它们的,同面投影必然相互平行,；,反之，如果两直线的,各个同面投影相互平行,，则两直线在,空间也一定相互平行,。,图,3,-,18,平行两直线,a,b,c,d,c,a,b,d,例：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,a,V,H,c,b,c,d,A,B,C,D,b,d,a,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,AB,与,CD,不平行。,例：判断图中两条直线是否平行。,方法一：,求出侧面投影,如何判断？,a,V,H,c,b,c,d,A,B,C,D,b,d,a,Y,H,Y,W,X,Z,O,H,V,A,B,C,D,K,a,b,c,d,k,a,b,c,k,d,投影特性：,若空间两直线相交，则其,同面,投影必相交，且交点满足点的投影规律,。,即：,交点是两直线的共有点,a,b,c,d,b,a,c,d,k,k,O,X,AB,CD=K,abcd,=k a,b,c,d,=k,a,b,c,d,=k,（,2,）两直线相交,b,a,c,a,b,d,c,k,X,O,【,例,3,-,6,】,已知点,K,是,AB,与,CD,的交点，求,CD,的正面投影,cd,。,分析：交点为两直线所共有，且符合点的投影规律，据此可求得,k,；,C,、,K,、,D,同属一条直线，据此可求出,d,。,k,d,图,3,-,21,利用两直线相交求,CD,直线的投影,d,b,a,a,b,c,d,c,O,X,H,V,C,D,A,B,c,d,a,b,c,d,a,b,1,(,2,),3(4),同面投影可能相交，但,“交点”,不符合空间点的投影规律,。,“,交点”,是两直线上的一 对,重影点的投影,，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、,是面的重影点，,、,是,H,面的重影点。,1,2,3,4,投影特性如何？,（,3,）两直线交叉,在空间既不平行也不相交的两直线称为交叉直线。交叉直线的投影不具备平行或相交直线的投影特性。,O,c,b,a,d,d,b,a,c,X,方法二：,1,、假设,AB,CD,则两直线组成,一平面，必有,A,、,B,、,C,、,D,四点,共面，连线,2,、,AD,、,BC,直线的投影不满足,平行条件，又不满足相交条件，,为交叉直线，则,A,、,B,、,C,、,D,四,点不共面,3,、,AB,不平行于,CD,3.2.5,直角投影定理,空间,两直线垂直相交,，如果,其中一条直线平行于某一投影面,，则此两直线在该投影面上的,投影互相垂直,，反之，若相交两直线在某一投影面上的,投影互相垂直,，且,其中一条是该投影面的平行线,，则两直线在空间互相垂直。,如图,3,-,23,所示。,已知,AB,BC,，,AB,H,面，,BC,倾斜于,H,面。,AB,H,面，,Bb,H,面，,AB,Bb,，,又,AB,BC,，,AB,垂直于,BC,和,Bb,所决定的平面,BCcb,。,又,ab,A,B,，,ab,平面,BCcb,，,则有,ab,bc,，,即,abc,为直角。,图,3,-,23,直角的投影,【,例,3,-,7】,求点,A,到水平线,BC,的距离,AK,及其投影,。,分析：点,A,到,BC,的距离,AK,BC,，,因为,BC,为水平线，所以在水平面投影上能反映直角关系。,c,a,b,c,a,b,X,O,k,k,a,实长,图,3,-,24,求点到直线的投影,3.3,平面的投影,3.3.1,平面的投影表示法,3.3.2,各种位置平面的投影特性,3.3.3,平面上的点和直线,3.3.1,平面的投影表示法,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,图,3,-,25,平面表示法,平面的表示方法,3.3.2,各种位置平面的投影特性,平面与投影面的相对位置情况：,平面,的空间位置,特殊位置,平面,一般位置,平面,投影面垂直面,投影面平行面,正垂面,铅垂面,侧垂面,正平面,水平面,侧平面,a,b,c,a,c,b,c,b,a,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它,垂直的投影面,上的投影,积聚成直线,。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面,上的投影有,类似性,。,Y,H,Y,W,X,Z,O,1,投影面垂直面,垂直于一个投影面，并与另外两个投影面倾斜的平面,。,铅垂面 正垂面 侧垂面,图,3,-,26,投影面的垂直面,a,b,c,a,b,c,a,b,c,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所,平行的投影面,上的投影,反映实形,。,另两个投影面,上的投影分别,积聚成,与相应的投影轴平行的,直线,。,Y,H,Y,W,X,Z,O,2,投影面平行面,平行于一个投影面，并必与另外两个投影面垂直的平面,。,水平面 正平面 侧平面,图,3,-,27,投影面的平行面,3,一般位置平面,一般位置平面与三个投影面都倾斜,图,3,-,28,一般位置平面,投影特性：,在三个投影面上的投影都不反映实形，而是小于原平面的类似形。,分析：,铅垂面的水平投影积聚成一条倾斜直线，且与,X,轴的夹角为,角，据此可作图。,作图：,过点,A,的水平投影,a,作与,X,轴成,30,夹角的线段,ab,，,在线段,ab,上任选一点,c,，,即得铅垂面的水平投影。过点,A,的正面投影,a,作,a,b,、,a,c,，则,abc,和,a,b,c,即为所求铅垂面。,【,例,3,-,8】,过点,A,（,a,，,a,）,作一铅垂面，并使其与,V,面的倾角为,=30,。,c,b,a,c,a,b,图,3,-,29,求作铅垂面,X,O,【,例,3,-,9】,过直线,AB,作一正垂面,。,分析,：,正垂面的正面投影积聚成一条倾斜直线，因此过,AB,所作的正垂面的投影一定与,a,b,重合，水平投影可任意作一平面图形即可。,c,c,图,3,-,30,求作正垂面,注意：,若无条件限制，过直线,AB,可作无数个平面；若过,AB,作垂直面，可作正垂面，也可作铅垂面；但是由于,AB,是一般位置直线，所以过,AB,不可能作出水平面或正平面。,3.3.3,平面上的点和直线,点和直线在平面上的几何投影条件,(,见图,3,-,31),：,若某点位于平面内的一条已知直线上，则此点必定在该平面上。,一直线通过平面上的两已知点，则此直线必在该平面上。,一直线过平面上的一已知点且与平面上一已知直线平行，则此直线必在该平面上。,图,3,-,31,点和直线在平面上的条件（一）,图,3,-,32,点和直线在平面上的条件（二）,【,例,3,-,10,】,已知平面,ABC,，,如图,3,-,33,所示,(1),判断点,D,是否在平面,ABC,上。,(2),平面,ABC,上有一点,E,，,已知水平投影,e,，,求正面投影,e,。,e,d,d,1,2,1,2,X,O,a,a,b,c,b,c,作图：,连接,c,d,，,并延长与,a,b,交于,1,，求出,1,c,，,若点,D,在直线,I,C,上，则不仅,d,在,1,c,上，而且,d,也,在,1,c,上，从图中可看出点,D,不在平面,ABC,上。,连接,ae,与,bc,相交于,2,，求出,a,2,，则,A,为平面,ABC,上的一条直线，因为点,E,在平面,ABC,上，所以点,E,在直线,A,上，因此过点,e,作投射线与,a,2,的延长线得交点，该交点即为所求正面投影,e,。,e,图,3,-,33,平面内取点,分析：,判断一点是否在平面上，或在平面上取点，都必须在平面上取一包含该点的直线。,作图：,分别连接,ac,、,bd,得一交点为点,k,，连,b,d,，在,b,d,上求出点,k,，,并连接,a,k,。,过,c,作,OX,的连线，与,a,k,的延长线相交求得,c,，,连接,b,c,、,d,c,，,即完成,ABCD,的正面投影。,在正面投影上作一平行于,X,轴的直线且使,z,=15 mm,，与,a,d,、,b,c,分别交于,1,、,2,点，求出其水平投影,1,、,2,并连接，则直线,即为所求水平线。,【,例,3,-,11,】,试完成平面四边形,ABCD,的正面投影，并在平面,ABCD,上取一条水平线，使其到,H,面的距离为,15mm,。,c,k,k,15,mm,1,2,1,2,图,3,-,34,平面内取线,分析：,ABCD,既然是平面，则其对角线必相交；水平线的正面投影平行于,X,轴，按题意，其所有点的,Z,=15mm,，据此可作图。,3.4,直线与平面、平面与平面的相对位置,3.4.l,直线与平面平行、平面与平面平行,3.4.2,直线与平面相交、平面与平面相交,3.4.3,直线与平面垂直、平面与平面垂直,3.4.1,直线与平面、平面与平面平行,1,直线与平面平行,若一直线与某平面内的任一直线平行，那么此直线与该平面平行，反之亦然。,图,3,-,35,直线与平面平行的条件,【,例,3,-,12】,过点,M,作一正平线,MN,与平面,ABC,平行,。,d,d,n,n,分析：,过直线外一点作某一平面的平行线可以有无数条，但本题要作的是正平线，因此在平面内只要作一条正平线，使,MN,平行于该正平线即可。,作图：,在,ABC,内过点,A,作一条正平线,AD,。,过点,M,作直线,MN,平行于,AD,，则,MN,即为所求。,图,3,-,36,过点作与已知平面平行的正平线,【,例,3,-,13,】,判断直线,AB,是否与平面,DEF,平行,。,g,g,b,O,X,a,f,e,d,f,a,e,d,b,分析：,假设直线,AB,与平面,DEF,平行，则在平面,DEF,内一定能作一条与,AB,平行的直线。否则，直线与平面不平行。,作图：,过点,e,作一条与,a,b,平行的直线,e,g,，,作出其水平投影,eg,，,从图中看出，,eg,不平行,ab,，,则与所设不一致，因此直线,AB,不平行于平面,DEF,。,图,3,-,37,判断平面与直线是否平行的作图,2,平面与平面平行,若一平面内两相交直线与另一平面内的相交直线对应平行，则此两个平面互相平行，如图,3,-,38,所示。,图,3,-,38,两平面平行的条件,【,例,3,-,14,】,过点,K,作一平面与平面,ABC,平行,。,f,f,e,e,O,k,k,X,b,c,a,c,b,a,分析：,过点,K,作平面平行于,ABC,平面时，只要过点,K,作两相交直线与,ABC,的任意两边平行即可。,作图：,过,k,作,ke,bc,、,kf,ac,，过,k,作,k,e,b,c,，,k,f,a,c,，则,KEF,组成的平面即为所求。,图,3,-,39,过点作平行平面,若两投影面的垂直面互相平行，则它们积聚性的同面投影也互相平行，反之亦然,，如图,3,-,40,所,示。,图,3,-,40,两铅垂面互相平行,3.4.2,直线与平面相交、平面与平面相交,1,直线与平面相交,(1),一般位置直线与特殊位置平面相交,1,(2),k,k,a,b,c,a,c,b,X,O,e,f,e,f,求交点。,交点,K,的水平投影,k,必在,abc,上。因为点,K,又在,EF,上，所以点,k,必在,ef,上，可见,ef,与,cde,的交点即为交点,K,的水平投影,k,，,据点,k,可求出,K,的正面投影点,k,。,判别可见性。,EF,与,AB,是一对交叉直线，,在,AB,上，,在,EF,上，点,、,在,V,面有重影点，由于,y,y,，对,V,面而言，点,的投影可见，点,的,投影,不可见，即线段,a,b,可见，而,e,f,上被平面遮住的部分,k,2,不可见，画为细虚线。,图,3,-,41,一般位置直线与铅垂面相交,分析与作图步骤,:,1,2,(2),一般位置平面与投影面的垂直线相交,c,k,k,O,X,e,e,c,d,d,b,b,a,(,a,),求交点。,由于直线,AB,的水平投影积聚成一点，因此交点,K,的水平投影,k,必与之重合。又由于交点,K,属于,CDE,，,故可利用平面上取点的方法，求出点,K,的正面投影,k,。,判别可见性。,由水平投影可知，平面上的,DE,边与,AB,是交叉直线，由于,DE,在上，,AB,在下，所以在正面投影中，,k,b,与,d,e,重叠的部分不可见，用虚线表示，则,k,a,可见，为实线。,图,3,-,42,一般位置平面与正垂线相交,分析与作图步骤,:,求交线,K,1,K,2,。,利用平面,ABCD,在水平面上具有积聚性，可直接求出,K,1,、,K,2,的水平投影,k,1,、,k,2,。,利用表面取点的方法，求出,K,1,、,K,2,的正面投影,k,1,、,k,2,，,并连接其同面投影，则线段,K,1,K,2,为所求。,判别可见性。,由,H,面投影可知，,EF K,2,K,1,部分在平面,EFG,的前方，故其,V,面投影,e,f,k,2,k,1,部分为可见，其余部分的可见性可由此进一步确定。,利用积聚性求交线,。,2,平面与平面相交,a,b,c,d,a(b),d(c),e,f,g,e,f,g,k,2,k,1,k,1,k,2,图,3,-,43,一般位置平面与铅垂面相交,X,O,分析与作图步骤,:,e,e,f,f,d,d,a,a,c,b,c,m,n,m(n),分析：,两铅垂面相交，交线一定是一条铅垂线，在,H,面投影积聚为一点，,V,面投影垂直于,OX,轴且在两平面的公共范围内。,作图,：,求交线。,利用铅垂面的积聚性，可直接求出交线的水平投影为,m,（,n,），过,m,作,OX,轴垂线，分别交,d,f,、,d,e,于,m,、,n,，,得交线的,V,面,投影,m,n,。,判别,V,面,投影可见性。,由,H,面投影可知，在,交线,MN,左边，,DEF,中,EFMN,部分在,ABC,平面的前方，故其,V,面投影,e,f,m,n,部分可见，其余部分可由此进一步确定。,【,例,3,-,15,】,已知两平面,ABC,与,DEF,相交,，,试求其,交线,。,图,3,-,44,两正垂面相交求交线,b,b,X,O,3.4.3,直线与平面垂直,、,平面与平面垂直,1,直线与平面垂直,若一平面为投影面垂直面，则与这个平面垂直的直线一定是该投影面的平行线，如图,3,-,45,所示。,e,d,d,e,O,X,b,c,a,c,b,a,直线,DE,垂直于铅垂面,ABC,，则,DE,一定是水平线。因为,de,abc,，且,d,e,OX,轴，则点,E,必为垂足。,图,3,-,45,直线与铅垂面垂直,2.,平面与平面垂直,若两空间平面垂直相交，且两平面都垂直于某一投影面时，两平面的积聚性投影一定互相垂直，且交线为该投影面的垂直线，如图,3,-,46,所示,。,铅垂面,ABCD,和铅垂面,ABEF,互相垂直，则它们积聚性的水平投影互相垂直，交线,AB,必为铅垂线。,f,(e),e,f,(b),a,d,（,c,）,c,X,O,b,d,a,图,3,-,46,两铅垂面垂直,【,例,3,-,16,】,已知点,D,和平面,ABC,的投影，求点,D,到平面,ABC,的距离及投影,。,e,e,分析：,在,V,投影面中，过,d,作,a,b,c,的垂线,d,e,，,那么,DE,必定是正平线，过,d,作,OX,轴平行线与过,e,作,OX,轴的垂线相交，得交点,e,，,de,即为,DE,的水平投影。由于正平线在,V,面反映实长，所以,d,e,为点,D,到平面,ABC,的实际距离。,作图：,c,c,X,O,a,b,a,b,d,d,本 章 完,图,3,-,47,求点到平面的距离及投影,O,本 章 完,