经典层次分析法分析及实例教程.pdf

经典层次分析法分析及实例教程精品资料层次分析法 Analytic Hierarchy ProcessAHPT.L.saaty层次分析法建模一问题的提出日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种 方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。例1购物买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选 择某种饭菜。例2旅游假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北 戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。例3择业面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去 选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条 件等因素择业。例4科研课题的选择由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依 据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素 进行选题。面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后 作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法 解决问题带来不便。T.L.saaty等人20世纪在七十年代提出了 一种能有效处理这类问题的实用方法。层次分析法(Analytic Hierarchy Process,AHP)这是 一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两 种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者 以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近 年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析 的数学工具之一。层次分析法的基本思路：选择钢笔质量、颜色、价格、外形、实用钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4质量、颜色、价格、外形、实用进行排序将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序经综合分析决定买哪支钢笔与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。二层次分析法的基本步骤1建立层次结构模型一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。例1的层次结构模型目标层准则层方案层例2层次结构模型选择 旅游电目标层Z准则层A方案层B若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所 有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。2构造成对比较矩阵设某层有无因素,要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定 在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把d个因素对上 层某一目标的影响程度排序）上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取19尺度。用表示第个因素相对于第察因素的比较结果，贝!I比较尺度：（19尺度的含义）尺度含义1第1个因素与第1个因素的影响相同_3_第1个因素比第1个因素的影响稍强_5_第个因素比第1个因素的影响强7第1个因素比第。个因素的影响明强9第1个因素比第B个因素的影响绝对地强2,4,6,8表示第1个因素相对于第q个因素的影响介于上述 两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义，由上述定义知，成对比较矩阵=a)lJ 卜nxn满足一下性质1%0 2%=11则称为正互反阵。比如，例2的旅游问题中，第二层A的各因素对目标层Z分别表示 景色、费用、居住、饮食、旅途。A94，A，9A由上表，可得成对比较矩阵旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上 层某因素的影响程度的排序结果呢？3层次单排序及一致性检验层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。例如一块石头重量记为1,打碎分成国各小块,分别记为：各块的重量竺！则可得成对比较矩阵由右面矩阵可以看出,A=叫W1,枚2,，WW11w w2%即,aik-akj=aij z；/=L2,但在例2的成对比较矩阵中,a23=7.a“23 工 a在正互反矩阵.一致阵的性质：中，若ikakj21a21a13，则称为一致阵。1.1-41=1*9 j=、Ha作业=2吗 3=42.4也是一致阵3.A的各行成比例，则的44）=14.A的最大特征根（值）为=?其余-1个 特征根均等于0。的任一列（行）都是对应于特征根&的特征向量。5.若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最大特征根口的归一化特征向量呜，暝，吗np,=l且叱表示下层第0个因素对上层某因素影响程度的权值。若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大 特征根对应的归一化特征向量作为权向量E3,则w=%，吗,叫（为什么？）这样确定权向量的方法称为特征根法.定理:阶互反阵的最大特征根 为一致阵。A n,当且仅由于B连续的依赖于晶则,比的越多，口的不 一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较 因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用数值的大小来衡量的不一致程度。其中解为小的对角线元素之和，也为剧的特征根之和。定义随机一致性指标随机构造500个成对比较矩阵则可得一致性指标a+q+doo500C/pC/2-,C7500500n-1+22+-+2500-Yl随机一致性指标RI的数值:n1234567891011RI000.580.9 01.121.241.321.411.451.491.51搬,当一致性比率时，认为的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对目 加以调整。一致性检验：利用一致性指标和一致性比率0.1及随机一致性指标的数值表，对.进行检验的过程。4层次总排序及其一致性检验确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程,称为层次总排序从最高层到最低层逐层进行。设:的层次单排序为A层加个因素A，4,4,对总目标Z的排序为3层个因素对上层4中因素为，.，磔（j=L2,，明口层的层次总排序为:即0层第，个因素对 总目标的权值为：用:。也+Cl2bI?T amlmB?121+a2b22 H a泡2mmj=l纥：aibnl+a拉2+.anPnmA,力2,.y4m，“2 ”777ABB层的层次 总排序B1b2Ml42，21%Imb2mm=么j=lmX%=2j=lbnl bn2bnm纥ma-b-=b”J 叫 nj=l层次总排序的一致性检验设图层1,不,对上层（副层）中因素的层次单排序一致性指标为 则层次总排序的一致性比率为:,随机一致性指为CR 1-OmCIm+。2封2 H-h amRIm式，=12,叫CRQA时，认为层次总排序通过一致性检验。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。层次分析法的基本步骤归纳如下1.建立层次结构模型该结构图包括目标层，准则层，方案层。2.构造成对比较矩阵从第二层开始用成对比较矩阵和19尺度。3.计算单排序权向量并做一致性检验对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量,利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性 检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。4.计算总排序权向量并做一致性检验计算最下层对最上层总排序的权向量。利用总排序一致性比率CR+a2c12 1-QmCIm/尺/i+a2RI2 H-b amR1mCR 0.110(则C/=5,073-5=0.018 5-1RI=1.12故但。表明通过了一致性验证。对成对比较矩阵可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下:”，必.，风醉k1234bl0.0.5950.0820.4290.6330.166k.0.2770.2360.4290.1930.166k30.1290.6820.1420.1750.66843.0053.00233.0093Clk0.0030.00100.0050R,0.580.580.580.580.58通过一致性检验。计算酗可知(4)计算层次总排序权值和一致性检验 图对总目标的权值为：0.595x 0.263+0.082x 0.475+0.429x 0.055+0.633x 0.099+0.166x0.110=0.3同理得能对总目标的权值分别为：.246 0.456决策层对总目标的权向量为：,0.246 0.456)2,用又175x0.001+0.055x 0+0.099x 0.005+0.110 x 0)故，层次总排序通过一致性检验。-8,疆MM可作为最后的决策依据。即各方案的权重排序为又分别表示苏杭、北戴河、桂林，故最后的决策应为去桂林。层次分析法的优点和局限性1系统性层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比 较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计 分析之后发展起来的系统分析的重要工具。2实用性层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用 传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同 时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策 者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。3简洁性具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本 原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得 结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。以上三点体现了层次分析法的优点，该法的局限 性主要表现在以下几个方面：第一只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更 好的新方案。第二该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙 的，不适用于精度较高的问题。第三 从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观 因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让 所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法 是克服这个缺点的一种途径。思考：多名专家的综合决策问题五正互反阵最大特征值和特征向量实用算法用定义计算矩阵的特征值和特征向量相当困 难，特别是阶数较高时；成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗 糙的结果，对它的精确计算是没有必要的。寻找简便的近似方法。定理对于正矩阵A（A的所有元素为正）1)A的最大特征根为正单根2)对应正特征向量w（w的所有分量为正）；3)其中e=(U,W是对应的归一化特征向量。1骞法步骤如下a）任取n维归一化初始向量w（）b）计算(Al)=Aw，左=0,1,2，c）归一化1(%+1),即令Hw（左+D=访（左+1）/访1+1）d）对于预先给定的精度国，当下式成立时这是求特征根对应特征向量的迭代方法，其收 敛性由定理的3）保证。2和法步骤如下a）将A的每一列向量归一化得n 地二气/工气 i=l nb)对W-IJ按行求和得WIJc）归一化W=（“，叫，明）六1nW=(%,MV、吗y叱=死/2死i=ld）计算建1e)寸(Aw),最大特征值的近似值。n3根法步骤与和法基本相同，只是将步骤b改为对W-ij按行求积并开n次方，即1(nw.二7三方法中，和法最为简便。看下列例子。A=，11/22111/6 1/46、4b列向量 归一化,0.60.3k0.10.6150.3080.0770.545、0.3640.091,求和17600.972*268归一化0.587、0.3240.0897=wAw=1769、0.974、0.2653 0.587 0.324 0.089精确计算，得w=(Q58&0.3220.09Q),2=3.013