大学物理上复习资料.doc

内容提要
位矢:
位移:
一般情况,
速度:
加速度:
圆周运动
角速度:
角加速度: (或用表示角加速度)
线加速度:
法向加速度: 指向圆心
切向加速度: 沿切线方向
线速率:
弧长:
内容提要
动量:
冲量:
动量定理:
动量守恒定律:若,则
力矩:
质点得角动量(动量矩):
角动量定理:
角动量守恒定律:若,则
功: 一般地
动能:
动能定理:质点,
质点系,
保守力:做功与路程无关得力。
保守内力得功:
功能原理:
机械能守恒:若,则
内容提要
转动惯量:离散系统,
连续系统,
平行轴定理:
刚体定轴转动得角动量:
刚体定轴转动得转动定律:
刚体定轴转动得角动量定理:
力矩得功:
力矩得功率:
转动动能:
刚体定轴转动得动能定理:
内容提要
库仑定律:
电场强度:
带电体得场强:
静电场得高斯定理:
静电场得环路定理:
电势:
带电体得电势:
导体静电平衡:电场,导体内场强处处为零;导体表面处场强垂直表面
电势,导体就是等势体;导体表面就是等势面
电介质中得高斯定理:
各向同性电介质:
电容:
电容器得能量:
内容提要
毕奥-萨伐尔定律:
磁场高斯定理:
安培环路定理:
载流长直导线得磁场:
无限长直导线得磁场:
载流长直螺线管得磁场:
无限长直螺线管得磁场:
洛仑兹力:
安培力:
磁介质中得高斯定理:
磁介质中得环路定理:
各向同性磁介质:
内容提要
法拉第电磁感应定律:
动生电动势:
感生电动势:
自感:,
自感磁能:
互感:,
磁能密度:
题7、4:若电荷Q均匀地分布在长为L得细棒上。求证:(1)在棒得延长线,且离棒中心为r处得电场强度为

(2)在棒得垂直平分线上,离棒为r处得电场强度为

若棒为无限长(即),试将结果与无限长均匀带电直线得电场强度相比较。
题7、4分析:这就是计算连续分布电荷得电场强度。此时棒得长度不能忽略,因而不能将棒当作点电荷处理。但带电细棒上得电荷可瞧作均匀分布在一维得长直线上。如图所示,在长直线上任意取一线元,其电荷为dq = Qdx/L,它在点P得电场强度为

整个带电体在点P得电场强度

接着针对具体问题来处理这个矢量积分。
（1） 若点P在棒得延长线上,带电棒上各电荷元在点P得电场强度方向相同,

（2） 若点P在棒得垂直平分线上,则电场强度E沿x轴方向得分量因对称性叠加为零,因此,点P得电场强度就就是

证:(1)延长线上一点P得电场强度,利用几何关系统一积分变量,则

电场强度得方向沿x轴。
（3） 根据以上分析,中垂线上一点P得电场强度E得方向沿轴,大小为

利用几何关系统一积分变量,则

当棒长时,若棒单位长度所带电荷为常量,则P点电场强度

此结果与无限长带电直线周围得电场强度分布相同。这说明只要满足,带电长直细棒可视为无限长带电直线。
题7、5:一半径为R得半圆细环上均匀分布电荷Q,求环心处得电场强度
题7、5分析:在求环心处得电场强度时,不能将带电半圆环视作点电荷。现将其抽象为带电半圆弧线。在弧线上取线元dl,其电荷此电荷元可视为点电荷,它在点O得电场强度。因圆环上电荷对y轴呈对称性分布,电场分布也就是轴对称得,则有,点O得合电场强度,统一积分变量可求得E。
解:由上述分析,点O得电场强度

由几何关系,统一积分变量后,有

方向沿y轴负方向。
题7、6:用电场强度叠加原理求证:无限大均匀带电板外一点得电场强度大小为(提示:把无限大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线,然后进行积分叠加)
题7、6分析:求点P得电场强度可采用两种方法处理,将无限大平板分别视为由无数同心得细圆环或无数平行细长线元组成,它们得电荷分别为

求出它们在轴线上一点P得电场强度dE后,再叠加积分,即可求得点P得电场强度了。
证1:如图所示,在带电板上取同心细圆环为微元,由于带电平面上同心圆环在点P激发得电场强度dE得方向均相同,因而P处得电场强度

电场强度E得方向为带电平板外法线方向。
证2:如图所示,取无限长带电细线为微元,各微元在点P激发得电场强度dE在Oxy平面内且对x轴对称,因此,电场在y轴与z轴方向上得分量之与,即Ey、Ez均为零,则点P得电场强度应为

积分得
电场强度E得方向为带电平板外法线方向。
上述讨论表明,虽然微元割取得方法不同,但结果就是相同得。
题7、10:设匀强电场得电场强度E与半径为R得半球面得对称轴平行,试计算通过此半球面得电场强度通量。
解:作半径为R得平面与半球面S一起可构成闭合曲面,由于闭合面内无电荷,由高斯定理

这表明穿过闭合曲面得净通量为零,穿入平面得电场强度通量在数值上等于穿出半球面S得电场强度通量。因而

依照约定取闭合曲面得外法线方向为面元dS得方向,

题7、13:设在半径为R得球体内,其电荷为对称分布,电荷体密度为

k为一常量。试用高斯定理求电场强度E与r得函数关系。
解:因电荷分布与电场分布均为球对称,球面上各点电场强度得大小为常量,由高斯定律得球体内

球体外(r＞R)

题7、14:一无限大均匀带电薄平板,电荷面密度为s,在平板中部有一半径为r得小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x得一点P得电场强度。
题7、14分析:用补偿法求解
利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊得对称性电场。本题得电场分布虽然不具有这样得对称性,但可以利用具有对称性得无限大带电平面与带电圆盘得电场叠加,求出电场得分布。
若把小圆孔瞧作由等量得正、负电荷重叠而成、挖去圆孔得带电平板等效于一个完整得带电平板与一个带相反电荷(电荷面密度)得圆盘。这样中心轴线上得电场强度等效于平板与圆盘各自独立在该处激发得电场得矢量与。
解:在带电平面附近

为沿平面外法线得单位矢量;圆盘激发得电场

它们得合电场强度为
。
在圆孔中心处x = 0,则
E = 0
在距离圆孔较远时x>>r,则

上述结果表明,在x>>r时。带电平板上小圆孔对电场分布得影响可以忽略不计。
题7、15:一无限长、半径为R得圆柱体上电荷均匀分布。圆柱体单位长度得电荷为l,用高斯定理求圆柱体内距轴线距离为r处得电场强度。
题7、15分析:无限长圆柱体得电荷具有轴对称分布,电场强度也为轴对称分布,且沿径矢方向。取同轴往面为高斯面,电场强度在圆柱侧面上大小相等,且与柱面正交。在圆柱得两个底面上,电场强度与底面平行,对电场强度通量贡献为零。整个高斯面得电场强度通量为

由于,圆柱体电荷均匀分布,电荷体密度,处于高斯面内得总电荷

由高斯定理可解得电场强度得分布,
解:取同轴柱面为高斯面,由上述分析得

题7、16:一个内外半径分别R1为R2与得均匀带电球壳,总电荷为Q1,球壳外同心罩一个半径为 R3得均匀带电球面,球面带电荷为Q2。求电场分布。电场强度就是否就是场点与球心得距离r得连续函数？试分析。
题7、16分析:以球心O为原点,球心至场点得距离r为半径,作同心球面为高斯面。由于电荷呈球对称分布,电场强度也为球对称分布,高斯面上电场强度沿径矢方向,且大小相等。因而,在确定高斯面内得电荷后,
利用高斯定理

即可求得电场强度得分布
解:取半径为r得同心球面为高斯面,由上述分析

r < R1,该高斯面内无电荷,,故
E1 = 0
R1 < r < R2,高斯面内电荷,故

R2 < r < R3,高斯面内电荷为Q1,故

r > R3,高斯面内电荷为Q1+ Q2,故

电场强度得方向均沿径矢方向,各区域得电场强度分布曲线如图所示。
在带电球面得两侧,电场强度得左右极限不同,电场强度不连续,而在紧贴r = R3得带电球面两侧,电场强度得跃变量

这一跃变就是将带电球面得厚度抽象为零得必然结果,且具有普遍性。实际带电球面应就是有一定厚度得球壳,壳层内外得电场强度也就是连续变化得,如本题中带电球壳内外得电场,如球壳得厚度变小,E得变化就变陡,最后当厚度趋于零时,E得变化成为一跃变。
题7、17:两个带有等量异号电荷得无限长同轴圆柱面,半径分别为R1与R2 (R2 > R1),单位长度上得电荷为l。求离轴线为r处得电场强度:(1)r < R1,(2)R1 < r < R2,(3)r > R2
题7、17分析:电荷分布在无限长同轴圆拄面上,电场强度也必定呈轴对称分布,沿径矢方向。取同轴圆柱面为高斯面,只有侧面得电场强度通量不为零,且,求出不同半径高斯面内得电荷。利用高斯定理可解得各区域电场得分布。
解:作同轴圆柱面为高斯面。根据高斯定理

在带电面附近,电场强度大小不连续,电场强度有一跃变
题7、21:两个同心球面得半径分别为R1与R2,各自带有电荷Q1与Q2。求:(1)各区域电势分布,并画出分布曲线;(2)两球面间得电势差为多少？
解1:(l)由高斯定理可求得电场分布

由电势可求得各区域得电势分布。当时,有

当时,有

当时,有

(2)两个球面间得电势差

7题图
7、解:设绳子得拉力为,对辘轳而言,根据转动定律,有
(1)
而对一桶水而言,由牛顿第二定律,有
(2)
由于绳子在运动过程中不伸长,因此有
(3)
联解(1)、(2)、(3)可得桶下落过程中得绳子张力为:

1、 1) 长直导线载有电流I, 矩形线圈与其共面,长L1,宽L2,长边与长导线平行,线圈共N匝, 线圈以速度v垂直长导线向右运动, 当AB边与导线相距x时,求线圈中感应电动势大小与方向;2) 如果上题中线圈保持不变,而长直导线中通有交变电流,则线圈中感应电动势如何？
* 1)载有电流为I得长直导线在空间产生得磁场: ,方向垂直纸面向里。
选顺时针为积分正方向
根据:
线段CA中产生得动生电动势:
方向由C到A。
线段DB中产生得动生电动势:,方向由C到A。
线圈中感应电动势大小:

,其中:,动生电动势方向为顺时针。
2)如果线圈保持不变, 长直导线中通有交变电流。
仍然选取顺时针为回路绕行得正方向,线圈得法线方向垂直纸面向里,通过距离直导线r,面积为得磁通量:,
任意时刻穿过一匝矩形线圈得磁通量:,
根据法拉第电磁感应定律:,

2、 长直导线载有电流I,导线框与其共面,导线ab在线框上滑动,使ab以匀速度v向右运动,求线框中感应电动势得大小。
* 选取如图所示得坐标,顺时针为积分正方向,ab上线元dx产生得电动势为:
,
线框中感应电动势得大小: ,方向为逆时针。
3、 无限长直导线通有稳定电流I, 长L得金属棒绕其一端O在平面内顺时针匀速转动,角速度, O点至导线得垂直距离为r0,设直导线在金属棒旋转平面内,求在下面两种位置时棒内感应电动势大小与方向。
(1) 金属棒转至如图OM位置时。 (2) 金属棒转至如图ON位置时。
* 金属棒转至如图OM位置时,
,
方向沿OM。
金属棒转至如图ON位置时

,,方向沿ON。
计算题
1. 一无限长直导线通以电流, 其旁有一直角三角形线圈通以电流, 线圈与长直导线在同一平面内,尺寸如图所示求两段导线所受得安培力。
* bc边上各点得磁感应强度相等,bc边受到得安 培力大小:,,,方向向左;
选取如图所示得坐标,ca边得电流元I2dl受到得安培力:
将与,代入

,,,,安培力大小:
*3、 如图所示,有一半径为R得圆形电流, 在沿其直径AB方向上有一无限长直线电流,方向见图,求:
(1) 半圆弧AaB所受作用力得大小与方向;
(2) 整个圆形电流所受作用力得大小与方向。
* 选取如图所示得坐标,电流I1在半圆弧AaB 上
产生得磁感应强度大小为:
,方向如图所示。
在AaB上选取如图所示得电流元I2dl,受到得安培力为:
,
半圆弧AaB所受作用力:,
I1在右半圆弧上产生得磁感应强度大小为:,方向如图所示。
在右半圆弧上选取电流元I2dl,受到得安培力为:
将dl=Rdq代入上式得到:
右半圆弧所受作用力:,
整个圆形电流所受作用力:,