第七章 数学物理定解问题.pdf

第七章版当物理定解向敦 常见的散孽扬程方程 定解塞传 教孽扬理方彩的分考 色的0与公式定斜向翘的适定傥 本本Jj1本章作业p15 2 习题2、3、6p161 习题 1、2、3p179习题4277多见版学物理方程一、佝刍益的微J横族动 弦振动的源动力为弦中的张力。u=u(x,t)弦的振动位移A c o s。1=12 c o s 02T?sm02-Tx sin4=p Ax(x/)如夕2 很小,(c o sq=%c o s。2 n(=%均匀弦作微小横振动时，弦中的张力处处相等。Tsin-Tsin=p Ax力(x/)Tt an-Tt an=pAx-ut t(x j)3T t an-T t an=Ax%(x/)c 0t an%=-a x+Axt an 4d u d x，d u I 8x Jx+AxrT1d1u A a/T-Ax=p/AX-ut t yx.t)d2u _ d2uP-彳1-7d t2 d x2d2u 2 d2u9 a 7 d t2 d x2ut tXX二0弦振动方程 齐次方程4T c o s 4二4 c o s 32 T sin-T sin=夕%(%/)7 c o s 0 x=T2 cos 02T2 sinO2 Tx sin4+尸(x)Ax=p/Sx-ut t(x/)尸(x/)-单位长度弦受的外力4F(x,zL)Ax%(x+Ax/)法(x j)x x+AxI aq2u+F(x)Ax=T-Ax+F(x)Ax=pAx-ut t(x)T d2u-7+p d x2非齐次方程5二、佝幻佝杆的微J以旗动细杆振动的源动力为纵向应变=（%/）振动位移尸（X/）-应力 _XP（x+Ax,/）-P（xJ）S=-ut t（x,Z）P（x+Ax,/）-P（x,Z）/、人=p,%mAxP（x+Ax,）-P（x,）d PAx d xd P d2u 2 put t -a-d x I%2,M（x+Ax/）x+Ax尸二y包 d xd2u、丁 d2uL厂丫加d2u n f _ Y=0 a=l I P）6三、将输旗方程（电抠方程）j=j g)LC)a=田、佝句薄胰的微j横艇动（=(1/)7+d x2二维直角坐标系中的拉普拉斯算符72、流体力孽与声孽方恁p=pg)压强p=p(x八 密度v=v(x j)质元振动速度运动方程夕(J)P(x,t)v(x+AxJ)夕(1+Axj)P(x+Ax,z)X?SAx=尸(x/)-尸(x+Axj)d vp一=d td Pd x连续性方程加进入的物质：/7(x,/)5v(x,/)A/x+AxSX加流出的物质：p(x+Ax9/)5v(x+Ax,/)A/q(x/)5V(xJ)A%一夕(1+Ax/)Sv(x+Ax/)加=q(x/+A。/7(x/)SAx0(x+Ax/)v(x+Ax j)-0(x)y(x,。px,t+A/)-AxA/8/7(x+Ax/)v(x+Ax/)夕(x/+AxAZ5(p v)_ d p d x d t物态方程尸=尸（夕）d P=rdP_ 9Pd p=c1 d p-7 M n.D RTPV=RT P=p(d P d P RC yl P=-=7-p=/一l8人 d p n pP=CTVrx=C T=Cp7x p=pRCp=RCpr运动方程连续性方程物态方程d v d P p-d t d x5（p v）_ d pd x d t1 0小振幅声波的一维波动方程p(x,t)=po+p(x,t)夕(X/)=q+夕(X,)P=d p 252=0 _pL/232Vd t2 0 5x2-d t2&2-况2。&21 1小振幅声波的三维波动方程P(x,乂 z,。=20+(与 y,z/)pt t-ap=O夕(x,y/)=夕。+夕(x,y,z/)U 二+二(d x2 d y d z2 Jd v f-xr区=-g r ad%-乞+/加+左瓦/(“,印1 2六、电磁波方程麦克斯韦方程组及电流连续性方程微分形式积分形式!名称 X E=一9(a)$E df=一怨 ds)J(J N 次法拉第定律 X H=J+哭 悄但【小+喇力 S)全电流定律 D=A(c)，DdsnQ(d)高斯定理 B=0(d)j H ds=0(力)磁通连续性原理 J=一堂(e)GvJ J,d s k 4g(d)J 9 dz电流连续性方程13V x =-u D=c E B=jllH xH=J、i 5E=pj5H=0IVx Vx =V(V.)-_ V2-_影瓦一片质=。Ht t-aAH=Od H L d Hd t d td E d Ed t-d t V 二 0VH=OE=-V2E=-Ju(yx H)d tV2E-=0 d t(1 1)a=l-(Y o o)1 4七、厅敬方程u=u(x,t)粒子数密度扩散定律(斐克定律)单位时 间里扩散穿过单位横截面积的粒子 数：q=-D 生d x(x/)(x+Ax/)x+AxXi d xX+D如d x、SAt=+加)-“x/)SAxx+Ax)-D辿d x%a 0+Dd xAxx+Axu(x/+A，)一(x/)Atd2u d uQ 7 二d x2 d tigot d x2一维扩散方程1 5吗=0,8x2a=7 D一维扩散方程ut-a2Au=0a=7 D三维扩散方程有源时:F(x,t)单位时间单位体积中产生的粒子数d u d u-D+DQud xY 小Xd ux+Ax ySAt+F(x,5AxA/=+SAxd u d u-D+Dd xx d xAxx+Ax+尸(1/)=+八尸/d uD +尸(x/)=a%2 v 7 d td u 2 d2u/、-ci F xt)d t d x2 v 716ut-a2Au=0ut aNu 二歹(%j/j)一维扩散方程三维扩散方程一维有源扩散方程三维有源扩散方程DNu=-F(x,y,z)稳定浓度分布泊松方程A=0无源的稳定浓度分布-拉普拉斯方程17八、热键导方恁(x/)(x+Ax/)温度|热传导定律（傅里叶定律）单位 x+A x时间穿过单位面积的热量与温度梯度成正比:7 d u q k d xk-热传导系数(7 d u-ki d xX了 d u+k d xSAt=pSAxc(x j+加)-m(x/)x+Ax yd ui d u d u-k+kd xxAxd xx+Ax=pc(x/+A，)一(x/)At了 d2u d uk-=pc d x2 d td u 2 d2u 八-a-7=0d t d x2Cl k c p18一维热传导方程（无源）有源时:尸（X/）-单位时间单位体积中产生的热量(7 d u-k、d x7 d u+kx+Ax)SAt+F(x,SAxAt=夕 S Axed u 7 d u+k&X 小 x+AxAx+Fg)=+$”t)=Pq%-噌=仆上g)=等一维热传导方程（有源）192 d2U(ut ci Q 0 a，a2(2 d2U Z、渭=/g)fc zx 12ut-a Au=0ut au=f(x j/j)噌 一维热传导方程（无源）（苍。=詈一维热传导方程（有源）三维热传导方程（无源）f（、厂I CP）三维热传导方程（有源）左A二一尸（儿）,2A=0力 稳定的温度分布（有源）泊松方程稳定的温度分布（无源）拉普拉斯方程20十一、耨电修方程Vx =-u d tNxH=J+d tV E=pl s5H=2Vx=ON E=2*0V=V(x.y,z)电势E=7VAK=-p(x,j,z)A有电荷-泊松方程AK=O无电荷-拉普拉斯方程21十2、孑力孽中的薜定猾方程二“(x y zj)V=/(兀y z)分 力/、ih 十(x.y.z)ud t 2m227,2定解条件、向题的握出方程了(%)=0-能不能求解？解是什么？-能不能定解？该怎么办？方程 V(x)=O-能不能求解？解是什么？-能不能定解？该怎么办？由此可归纳出-n阶常微分方程的通解含有n个任意常数,-要完全确定这些常数需要附加n个条件。23、初能综传24三、包界叁传第一类边界察件齐次边界条件非齐次边界条件25第二类边界聚件作微小纵振动的杆在端点x=l受法线方向的外力,y曳 d x(X/)(x+Ax/)x+AxXX/d2U 2 a2U 八7=0d t2 d x2d u泛定方程边界条件(%)d xXld xx=026第三类边界聚件细杆导热问题杆的端点=/自由冷却，按牛顿冷却定律交换热量7 d u q k d xk =h(u-分丫 x=l 0/3入 x=l(k d u yu-=7aI h d x)x=ix x+d x 1即杆的端部与周围介质（温度为T o）q=h（Ux=l-T2以r ut-a=0=工（。1 d xAx=i 0双曲型方程Af=0抛物型方程0椭圆型方程 I一、均匀弦的微小横振动ut t-a2uvv 0二、均匀细杆的微小纵振动/丫 uw-/+Buv+Cu+Df儿儿 yy 人 y u，Y=Aut+Bu、,+Cu+Df JCJC JC y/Juxx+uvv=Aux+Buv+Cu+Df 儿儿 yy jl y J传输线方程（电报方程）、四、均匀薄膜的微小横振动Ut t-Q2 AM=030五、流体力学与声学方程2pt t-a&?=0六、电磁波方程瓦a&=0八、热传导方程2 d2uu-a-=0上 Am=Av=0七、扩散方程叫=0t d x2A7=-p(x,y,z)AK=0DAu=-F(x,y,z十五、薛定谤方程Au=0分 力/、ih 一十%(x.y.z)ud t Lm双曲型方程-抛物型方程椭圆型方程31三、叠加.理叫X+buxy+c uyy+d ux+euy+f ii=-g(夕 h 0 a Aci +b-F c +d-F e-F/u=w、d x2 d xd y 8y2 d x d y jF 二-g二 00则：F(aux+/3u2)=0线性齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；线性非齐次方程的通解加对应的齐次方程的特解，结 果为非齐次方程的解。327,4 达朗贝尔公式 定解问敢的逡足悔本节研究无限长弦的振动方程的求解。、己的门幺2式-4，=0L L W(d d-F a d2d t2-a2d2d x2u=0d t Sx八初d x)=x+at n-x-at77 JC CLl。1 5 du=0_ _I_ SJ a d t d xd d 15 d r/d x a d t 二工七)+力()旦=0 d d r jr。u=工(x+q/)+力(x-q 0332uf f-a u-0,-o o x oo LL W、Lo=0(X),J=O=0(X)泛定方程的解：(x/)=/(x+)+力(x)+力(x)=e(x)讲(x)*(x)=0(x)工(X)+力(x)=9(x)1 X工-力(%)=-。(3号+工(%)-力5)I 与工(x)=；9(%)+J：。(占)四+；工(%)力(%)Or与x 1f。在-不(%)-力(%)乙X。f2 f x)=(p(x-2V 7 2 V 7 2a34 x+at fx(x+at)=-(p(x+at)+-J。传”4+不力国)一九(%)乙 乙Cr 乙与 X-Cl t f2(x-at)=-(p(x-at)-J。传义工国)力国)X。(x/)二工(x+q，)+力x at(1)=一 夕(x _ at +0(x+at y+12ax+at0G)理xat达朗贝尔公式35特例一 只有初始位移而没有初速度0(%)=0 X 21 2+x2-X x92 2X x2236=?(x at)+c px+at y+12ar x+atf 涯J xat1=c px at)+at)I2L 37I”(xj)5X,XXXX%38特例二只有初速度而没有初始位移0(*)=0o0 x e)x 史(xnx2)i/(x9Z)=(p(x at)+(p(x+at y1H-2ar x+atf 帆小越J xatc px=012ar x+at 1强=五r x+at 1 r xatf f 0(9/J _ CXD 7 xy J OO(%+以)_*(%_必)其中:0X1OO。（小强=五(%一5)0。(X%!)(芯 X X2)(X2-X)39*(x)XX强=oo(x )(工 X x2)(工2 4%)40a(x,t)=(x+at)%(x a。41二、弟皮的反射Ut t 2=0 Lo=0(x)J=O=0(X)=0=0(0 x o o)(0 x o c)(0 x o o)J e(x)一0(r)(1-0)(x 0)(x)=|Mx）一。（一X）(x-0)(x 0)-a2uYY=0(-o o x o o)L L JvJv/J L=O=(X)(-00 X 00)%ko=(x)(-o o xo o)42t/(x9Z)=(at)+(+at y+12aCx+atf&)西J xat1 r2L_。(x at）一。（x+atI)12a/|x 671J|jT+M0(4)西(x at)x at)+0(jr+a%)i rH-2a _c x-at /、rx-1-at/、-。值)西+J。(劣退1-I 夕(jt a1)+0(jr+a%)2L 1H-2aC x+at/、J-值)斯(at x at)(at x)43若：0(x)=0 则=(at)+(+at yx at)。(x+训)=x at)+0(x+a%)1夕(X+0(+4%)2L(x at)(at x at at x)4445无半波损失的情况:Ut t-2=0 Lo=e(x)%ko=O(x)=o=(0 x o o)(0 x o o)(0 x o c)(x)=9(x)*(x)(x-0)(x 0)(x 0)r 2 cut t-a=0 ko=(x)J=o=(x)(-00 X 0000 x 00-oo x 00461“()=一 0(x at)+(jt+at y+12ar x+atf*9)竭J xat)+。(CX-at,/T 上2/十/返1H-2aX+闻)(x at)+0(x+a0 x+at00(4)西at x at)1 夕(jt a1)+0(jr+a%)2L 1H-2a(at x)C x+at/、La4(为斯47三、定解向题聂一个整体田、定瑞向巡的总定修-适定性的意义定解问题是实际问题的数学模型，适定性是对模型 能否反映实际问题的一般要求。-适定性的内容 存在性 唯一性 稳定性-不适定问题举例 一般来说，方程的阶数对应于定解条件的个数；条件多了，将会破坏解的存在性；条件少了，将会破坏解的唯一性。48定解问题存章小修I泛定方程演化方程稳定方程波动方程输运方程 拉普拉斯方程 泊松方程（第一类,线性边界条件第二类边界条件I 第三类*自然边界条件!周期性有界性初始条件初始状态I初始速度49P15 2-2用均质材料制作细圆锥杆，试推导它的纵振动方程。r=xt anaS(x)=71 f t an2 a(x+Ax/)P(x+Ax/)S(x+Ax)P(x/)S(x)二夕S(x)Ax 力(x/)P（x,Z）d P4H-Axd x5(x)+AxV 7 d x一夕(x1)S(x)=夕S(x)Ax.(x j)sV&A s*为 sW区变办竺X py-r-+XX为-q-%-y-尸%2-A24%Xo-XP15 2-3弦在阻尼介质中振动，单位长度的弦所受阻力尸=一尺%（比例系数R叫做阻力系数）。试推导弦在阻尼介质中的振动方程T，d u l 0X 人+AxSx Jx-Ru NT Ax 火,Ax 0Ax （兀，）d xd2uT 瓦T.R%=P.ut t（X,。T R 八ut t-u-ut=0p p51P15 2-6均质导线电阻率为r,通有均匀分布的直流电，电流密 度为j。试推导导线内的热传导方程。温度7 d u q k d x(x j)(x+Ax/)x x+Ax5AZ+j2r SAxAt=夕 SAxc(xJ+A/)-m(xJ)d ur d u 7 d u-k+kd xx Sxx+Ax yk uxxAxSAt+J2r SAxAt=pSMc u 便k uxx+fr=Pc ut2 j 2 ru十一a Uyy-=0pc52P161-1长为/的均匀弦，两端x=0和、=/固定，弦中张力为4 在x=点，以横向力片拉弦，达到稳定后放手任其自由振动。写出初始条件。j q sin a=sin 尸 c o s a+TQ c o s 廿二为h l-h当 0 x 时 9(x)=当 vx/时(x)=l初始条件：u=t=0(T/四 h 1I x t J-a=x y=x、2)h I I1。J x)t anQ 4=(/)/，=/t(/x)0(x)5二53P161-2长为/的均匀杆两端受拉力/作用而纵振动，写出边界 条件。在两端：p=Y生旦d x Sd u&x=0=旦SYd ud xJCl=旦SY54P161-3长为/的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为外，写出这个热传导问题的边界条件。7 d u=k d x7 d u-k d x=Qox=0d x=QoJCld u&x=0q。kd u _ qQ d x X=I kq55P179-4无限长弦在点=/受到初始冲击，冲量为/,试求解弦 的振动。/“、”Ut uo=丁(%-%0)=。(町/、1 1 r x+atu x.t)=_c px at)+(p(x+at)H-0(约442 2a Jx-at1 r x+at 1 T xA-at z、f.=-J S-x d 2a Jx-at 2a p Jx-at 72a p J%-%。-x、7.56第八章今离变量法（傅里叶秋鼎法）金汉方彩的分离费量过（备唬方程+备唬口界爱睹）好备汉族劫方程检输包方程（好备注方程+备文包 一奇件）好书唬包界毒件的处理（好备唬方程+好高次包界绿 伟）秋松方1 本本J稔57作业 p201 2、7、16补充作业一、长为2/的匀质杆，其两端受压而使杆长压缩了2R,放手 后任其自由振动，求杆的振动情况。提示：将坐标原点取在杆的中点，杆的振动状态关于原点 对称。因此只需求解OWxW/段。二、一矩形薄板(OWx/,Oy/2)，两板面不透热，边缘保持为 零度。设初始温度为zsi n竺si n过，求此后板内的温度分 布。4 1258/齐法方程的今离变量法a2T了“aTX=-2 X一、分离交量注定解问题：ut t=au (0 x /)ko=O，L=0ko=0(x)%Lo=0(x)V设 u(x,t)=X(x)T(t)代入泛定方程和边界条件XTf,=a2Xr,T x 7a)=()X(/)T)=0X(0)=0 X(/)=0XJx+2X=O x(o)=xq)=o7+2储7=0考察4的取值：(1)若几0Xx=ax+bea+b=0。尸+=0无意义 59b=0JX+XX=0V(0)=X(l)=0(2)若；1=0X(x)=q x+5=0al+b=Qt/-/0 n兀 xX(x)=C2 sm-X+2X=0?T +X/t=oX(0)=X(l)=0T +4/7=02 2t，2 n 兀T+a 7=0无意义b=Q(3)若几0X(x)=c o s a/2x+C2 sIiia/Jxe(、/n7iat 八.n7iat7(。=/c o s-+5sm-Q=0C2s in/=0%(x/)=4,n7iat 八.n7iat)c o s-+B”sm-n 1 n 1/J.nj ixsm-2 2o n 7i丸=72n=1,2,3,-6000 00/“x)=ZX(x/)=Z Ann=l n=l nnat 八.n7iat y.httx c o s-b By sm-sm-I n I)I这是定解问题的满足泛定方程和边界条件的通解。它还不满 足初始条件。ut t=ax(0 x /)4 sin =0(x)l x=0=，UX=l=Q x61k兀x 了.k 7ix/(x)=Z。左 c o s7+为 sm 7k=QV I I)运.涯=/s手,6264最终结果:/e/n7iat 八.n7iat=2 4c o s+8smn=l n-I I J.nj ix sm-l观看视频65C.“o=e(x)-ut t=a2uxx-u ko=L=0.Ut,=0 0(x)V分离变量法流程图u=T X(x)X(0)=XQ)=0Tf f/(a2T)=X,f/X=-Aie/n兀at 八.n7iatT-A c o s-b B sm-XAX=02 2.n 7i.n 兀2=,A=sm x iT+4/t=o、r=T(t)X(x)f u=(x/)U=TnXn66二、例题例一磁致伸缩换能器Uf t-(0 X /)LI W J%1=0=，Ux X=l=0=o=0(x)%Lo=0(x)鱼群探测换能器x”+x x=o“7 T +4/7=0 x(0)=X(/)=0(x/)=X(x)T)XT=aXf fT X T)=0 r(/)T)=oxr(o)=o x(/)=o t _r 赤一丁r xyy。=-AaT X考察;l的取值：2 0X(x)=3 cos a/Jx+C2 si n a/Jxnn=G COS X2 2 o n 7i 4 2=1234672=(=0/2 3，2 2r+2a2T=0+=o/2=4+B0tf/、,nj iat 门.n7iat北=4c o s +及 sm 丁uQ(x,Z)=Aq+B0t/、(/n 兀 at 二.n7iat y n兀xu l x,t)=c o s-1-5 sm-c o s-I/1)1U/、/八 nj r at 八.n7t at(%/)=4+即+Anc o s+Bnsm n=l /I Jnj ixc o s-6800/Mx/)=4+A)%+Z An n=l nnat 八.nj iat mixc o s-+B”sm-c o s-I n I)I4+4c o s g =e(x)n-/n。Tl Tia n T1 71 X/B。+丁Bn c o s丁=_ n=l I I4 这03o=；j 0K).存I 069例二 细杆导热问题。一段恒定在零度，另一端高温（人）绝热。ut=a2uxx(0 x /)U)=oU I 0=xt=0 I(xj)=X(x)T X”+2X=0 X(0)=0,X(/)=0Tf+2a2T=0考察2的取值:2 0X(x)=J cos a/1x+C2 si n=C2 si n(+l/2)xA=(“+1/2)2 兀2/25=0,123,70r+AaT=0 T+d(+1/2)2 Jt1T=0(“+1/2)2 万22Tn3=CeUn(+1/2)2 12/(x,t)=Cne”7TX00(+1/2)2 万 2a2(x/)=C=07TX00n=Qsin(+l/2)G=&x (_Q/1 Z2o+7100(k=000奇函数k兀x 7.k j ix)ak c o s-+bk sm-I I)(7.k 兀 S，他 sm 7k=0，0T、(k+/(x)=Z%c o sk=Q00(左 T奇函数s in L k=04臼/(少足/0I Jsin竿女 1/C71 X(左+%)7T x,+bk sin-I k I)I)小)，/72例三稳定场问题。)=产 1尸0=0，Uy=b=U u(x.t)=uQ+v(x,y)Vx x+%=v ko=O,”1二0；V1=O=，Vy=bUU v(x,y)=X(x)y(y)Xf f+AX=QHo)=o,x()=oY,f-AY=QV(O JZ?)an兀 n兀z、y yy(j)Aea+Be a/nj i tut n7l(Qxa)vn y)-Aneay+Bne Jsin,x 0；(”9 oo/”(x/)4(W+生尸卜m q x(4+纥)sm x=0J n=i a与 J+L卜n j=Ur。Z（4+4）s m?1 二i a丝6-b r+Bne。）sm 4+纥=oj nj i nj i 、b bA e a+B e a=0）2 2 二 0（0）=A+B（p（2=0）0/V I y4 产0+庆-。（2）=m（加=0,l,2,3,叱=a=0 I-口、s（p（9）=0）（m=0）1 d（d R R d p d p）。1 d（d R-A p-p R d p d p Jp2Rf,+pRf-m2R=0p=d，=In 夕d?R d t2-m2R=0U+X=0pRf-AR=0Cemt+Demt=Cpm+Dp-m（m 0）C+Dt=C+Dn p（777=0）o SM=Co+Al n PUm（夕,。）=夕（4 c o s m（p+Bm sin r n（p）+pm（Cm c o s m（p+Dm sin m（p）00（Q,e）=Co+A1 I1 Q+Z夕加（4 c o s根0+5加 sinm0）+Q加（。c o s根9+Z）能 sin加）m=l00 00Co+Dol na+am Am c o sm（p+Bm sin加0）+工加（Cm c o sm（p+Dm sinm（p=0m=l mC.+DQl na=0 amAm+a-mCm0CQ=-DQl na C=-a2mAu u m m00Z夕加（/加 COS mcp+Bm sin m（p）m=lamBni+amDni=Qm mD=-al mBm ms（p4 二一Eg国=04=。（ml）耳=0（ml）G=E0a2l）Pm=0（ml）p a2u(p)q)=D。In-Eopc o s(p+E0 c o s。ap79 K2歌齐法狼劭方程和输送方程一、傅望叶怒数注7/兀X /八 7-a u=A c o s smc o t(0 x/)t t XX /4 1=0=，Ux Ll=Q34=0=9(x)%Lo=0(x)w(x,o=2Lwc o s-rn=0 I00I+2 2 2n 7i a2mix A 7TX.c o s-=A c o s sm c o tn=0“+R,1=/sin c o t1/2 12 2 2a n 7C ci 八/Tn+-7Tn=0(WD登 e/八、mx/、e n 7ix 27；(0)c o s-=9(x)=c o s 丁=o I=0。E 小、T1 71 X“、nr c x(0)c o s =(x)=c o s-j=0 I n=0 I小。)侬竿=0(x)=(Pn COS 72=0/Z2=0/S Tn()C0S 竿=。(x)=以 COS g、=0/n=0/1 1(0)=00=71 9(J)MI 0 4(0)=。=；%Z 0(。)=/=淞COS竿6/0/北(。)=以=?j V(J)c o s 等之、/0 I81（，）=%+赧w=J兀a?兀a CD-2(.7iat Tiaco sm-Asin c o t+9i c o s)7iat+/,.7iat 菰 asm-re/、r niat/.r m at力”，+嬴媒sm 丁/、Al 1ux,t)=(Po+即+-丁3Tia 2 兀 aCD-.兀at Tia.7ix69 sm-smc o t c o s l I)I00(+E%n=l nj iat I.n兀at n7ixc o s-1-0 sm-c o s-I n7ia I)I82二、冲号定理法5屋0=。(/=0U t=Q=(P(X)M，=o=0(x)M(X/)=U1(X,Z)+r/H(X,/)u.f a w 0 LL W u1|x=o=O【L=0“ko=9(x)%【ko=0(x)邸-/心=/(%,/)nU)=o nL=o d ko=O%n ko=Om|x=o=。=尸。、m|uo=0%Lo=O83 ko=1=/=。M Lo=O%)&=0 一 2=0 1=0=0 x=l=0产t=T+dT=0 产1+=/(X)右(x,Z)=v(x/,c)dcv j)-Q2V=0一L=0竹)L=o、v|=0匕|-=x,c)t t(%)=(x)=Jv(x/c)dc2=0 o0 T八/（X/）d r0 T84u-a2u=A c o s sin c ot&=4 +线 Q 一工)LL XX 7ux x_q=Q%L=0 力仃)=4cos+4G)sm-A 1A U 九 1AI I 1/V Lo=(x)ut t=0=Mx)v(x,%)=4。)+?(c)(%7)+7rx 三/、q(，c)d/、ut t-ax=A c o s-sin cot()cos+纥()smT1 71 XCOS-%U)=J=/=oM/=o=o j=o=oVt t-Q 2 V=0L L.AvVv I n=0 v I z=0 x lx=0 x x=lJIXM=o vzU=c o sysinrv(x,Z,切=北(c o s竿 n=0 I2 2 2十号幺1=0 cB(r)=Asin cot其余系数皆为零 rc a/,、/.乃(/c)仆v(x.t,T)=Asm a)Tsm-c o s 兀a I I(x,/)=j v(x/,c)dr0J 7TX r.nr c a(t-T 7=A c o s sm(2?r sm-d rj r a Io IAl 1(j iat Tia.1 7ix-sm-sm cot c o s 兀a 2 兀 a t I I)ICD-u2V V歌齐次边界条件的处理一、一般处理方法%一=0u|z=0=(x)%k0=。(%)v(x j)=/(/)x+3 吗 一/叫=?，(/)/，(/)一，(/)%0=0%/=。XW ko=(x)+-/(O)-v(O)-(O)Vy吗&=。(工)+7(o)M(o)(0)V(x1)=心(叱+(X/)=v(x/)+86攻-之攻会二0wwL=o=ko=Owx=o=wj=0JC一/“wj=oAc o二、居株处理方法二0u x=l=Asin c o t%ko二=V(X/)+W(X/)v(x,/)=X(x)si n&(2xf f+-x=oa JX(0)=0 X=4A.c o x.-sm sm c o tI asmw(x/)=2Ac oalv(x,Z).c o l sm a.c o x sma00 z n=la J1.n7iat.n兀x-7 sm-sm-(n兀、/J87作业一、求半带形区域（0 内的静电势，已知边界x=0和y=0上的电势都是零，而边界x=Q上的电势为（常 数）。88/4泌女方程（特解法）A=/(x/,z)”x/,z)=v(x,y,z)+w(x,y,z)Av=/(x,y,z)Aw=O例 Au=a+b(x2-y2)u&=。v=(x2+j/2)+(x4-j 4 4 1 2a 2 b 4-p H-p c o s 204 1 2Aw=0a 2 b 4W c n=C Pc-Pc c o s 2(pp=po 4 产 1 2 丫89洋章小秸方程类型边界条件初始条件解法齐次齐次分禺变量法非齐次齐次非齐次傅里叶级数法非齐次齐次齐次冲量法齐次非齐次非齐次=v+w非齐次非齐次非齐次=v+w本征值问题：齐次方程+边界条件边界条件：三类边界条件周期性边界条件有界性边界条件90P201-2求解细杆导热问题，分布解：ut=a2uxx(0 x/)u x=i=u L=o=，x(/x)u(x,t)=X(x)T(Z)，X+2X=0-；e 1 sin-P201-7长为/的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自 由。电梯下降，当速度为%时突然停止，求解杆的振动。解：ut t-a2uxx(0 x /)L L W J U)=，二 Ut L=o=voIu(x.t)=X(x)T(t)工+无=0 x(o)=o r(/)=or+a24T=01_(+l/2)i2 7T2(=o/2,n2(+l/2)xX(x)=纥 sin北=G(+l/2)为好c o s-vDn sm(+l/2)为好%(x/)=(n+1 2)7iat Cn c o s+Dn sin(+1/2)加sin(+l/2)x92%(%/)=Qc o s(+1/2)以(n+1 27iat+D sinsm(+1/2)7r x00M(x/)=Z Qc o sn=0+Dn sin(+1/2)7r x sin-=a2u (0%/)0)00M(夕,)=Co+A Inp+Z(CmPm+Dmp-m)(Am c o sm(p+Bm sin m(p)m00Mp,9)=c+En(4c o s m(p+Bm sin m(p9400(2,9)=Co+Z夕掰(4 COS加0+纥 sin根9)(1)P=Po00m=l=4 c o s 0）十2夕。（力加c o s加。十纥sin2）=力c o s。m1(2)u44=-其余系数皆为零PoupQ=-p c o s Po=/+5 sin 0P=Po T00孰+Z夕0(4 c o sm(p+Bm sin加0)=A+Bsmc p m1C0=A Bx=其余系数皆为零Po(夕,)=/+O 夕 sin 0Po95补充作业一、长为2/的匀质杆，其两端受压而使杆长压缩了2R,放手 后任其自由振动，求杆的振动情况。提示：将坐标原点取在杆的中点，杆 对称。因此只需求解OWx。段。厂 2(ut t=a q 0 xl)n+.u x_o=O,=0 T(t)-Ac o sUt=.=-X.%=0/、弋/、u(x.t)=u(x.t)=小羽。=X(x)T(t)念r _x”_ 8 +7iat9 2 A 2 7 naT X 4C0S-J2+4J X+4X=0j x(o)=o r(/)=o f r,QQQ YI(,1Y 2 y sin-十 71 右/I 7/z=o i4=1 5=0,1 23,/n(oo n+-j ia+7rx Z纥-sin-X(x =Csin-Lt/的振动状态关于原点n(c-兀at +7iat-+B sin -/Ir n 1 r n+7iat +71 X7 sin-sin-7/J/7TX=X+71 Xs=0 Q.I 96oo oo(x/)=ZX(x)=Zn=0=0(n+7iatAn c o s-(n+7iat+Bn sin-sin(n+7TXI 2)u4=7oooV An sin1)+7TX2)=Xn=0(1)+Tiasin(n+7TXI 2J=000、n=l(-1 严 2R/2R(-1 F1-c o siY+一、2jTC1(i 丫+一I 2J1)+7iat 2Jsm(n+7TXI 2JB097补充作业二、一矩形薄板（0 x/,0y/2），两板面不透热，边缘保持为 零度。设初始温度为/si nHsi n过，求此后板内的温度分 布。4/2解:ko=。，g=。，小0=0,u y=l 2=0,A.7ix.Ziy u L n=Asm smI I1 2(xW)=X(x)y(y)T)x Y,r r x。y r/。、T+T=7F 7=一4 歹=-4 再=-(4+初x+4x=oX(o)=o x(/J=o2 24=(=1,2,3,kX(x)二纵 sinf r+22r=o卜(0)=0 r(72)=o2 24=j(%=1,2,3,2丫3=。敢 sing B,298X(X)二4 sin-.n,TiysmkTT2a2+后42a2、丁(%)=4敢/丁+丁，/A nx7ix.71 271y%(x,JM)=%sm J sm-Y-e/Z2 2 2 2 222、7C a 2 兀 aI h h)00 00D=ZZa%1=1 n2=1.n.7ix.n.Tiy sm sm-e2(2/Ut=a Ux x+Uyy“1=0=，=/二，Uy=0=,a.兀x.Itiv u =74sm sm/IC 200 00y Yd=1 n2=1.n.7ix.n.Tiy A.7ix.Itiv sm sm =A sm sm Dn=A其余系数皆为零丫3工1u1U U/2=01212/、A.7ix.2j iyyx.t)=A sm sm e-1-Ih)9912第九章 二阶帝微台方在破微解法 中征他间敢（球坐标系、器坐标系中的令离变量法）（科克）2立砂旗生行恁 第殊或数常微分方程 常立邻域上的怒散解法 2沔奇点邻域的低敢繇住 能图的-句箍与本猊保巡100101一一一、盍扇生好.恁U=M(X/,Z)d u d uu=ex+ev+d x 8y yvr Sd x d y 在V 二|胃-?EI o y c z jA s2u a2；V 1/=A=7 H-d x1 d y(补充)正女曲饯坐标系f=f _fxyfy(x/,z),工(x,y,z)d u-么 d z z77+国一叫ek o z o x J y ex d y)u d?ul-2 d z2 1 02二、粒生杼/“x/,z)=“.9,2)d u 1 d u d uy u c.H-H-2d p p p d c p d z，f p)J讲-1-1-p d p p d c p d zV x f=二l夕丽2 d z JJ16)i%-e十-d p)q d p P 8(p V2w=Ai/=(p pbp d pJ1 d2u d2u-1-p1 d c p1 d z21 03三、球生杼*u x.y,z、=u(r f,(p)31/；人z)_|