多重积分变量替换.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,积分学,多重积分的变量替换,2,讨论的缘由,单积分或一重积分的变量替换,(,也叫换元,),的根据是微积分基本定理,其在计算和证明中的作用是巨大的,.,在证明了,Fubini,定理之后,它在重积分的讨论中也获得应用,.,但这还是不够的！,多重积分的一般变量替换是一个十分重要、有趣题目,3,基本思路,什么样的,R,n,到自身的变换是保集合的可测性的,?,基本例子,:,正则变换,正则变换如何改变可测集的测度,?,线性变换：讨论特征函数,正则变换：讨论特征函数,非负可测函数和有积分函数的积分变换公式,4,复习,R,n,上正则变换,定义,:,设,R,n,是非空开集,T R,n,满足,下列条件,:,T,在上是单射；,T,在上有一阶连续导数,(,即是,C,1,的,);,DT=T,在上处处可逆,(,即,J(T)=det(T),恒不为零,),则称,T,为上的正则变换,.,结论,:T(),开集、,T,-1,:T(),也是正则,变换、且,5,记号复习：导数矩阵,导数矩阵,(,也叫,Jacobi,矩阵,):,6,记号复习：差分的表示,设,x,B(x,r)(r0),yB(x,r).T R,n,在,x,点可微,则,其中,T(y),T(x),y,和,x,都是,n,维列向量,|y-x|,是,n,维欧氏范数,(,也叫长度或距离,),7,记号复习：差分矩阵表示,上页的式子的矩阵形式：,8,记号复习：线性变换,设,L:R,n,R,n,为线性变换,在取定基,(,通常取标准基,),后,L,可等同为一个,n,阶方阵,(,也记为,L).,线性变换是可微变换,;,如果还是非奇异,(,也叫非退化的,),就是正则变换,L(x)=Lx;L(x)=L;J(L)=det(L),线性变换的范数,:|L|=max|Lx|:|x|=1,导数的范数,:|T|,E,=sup|T(x)|:xE,9,正则变换是可测变换,可测变换,:,把可测集映射成可测集的变换叫做可测变换,正则变换是可测变换,:,由正则变换把开集映射成开集,再由正则变换是单射,因此在正则变换下,交的像等于像的交,.,由任一个可测集包含在可数多个开集的交中,并且两者的差的测度为零,.,因此只要能证明零测集的像还是零测集就行了,步骤,:(1),在一个闭方块中的零测集的像是零测集,;(2),一般的零测集的像是零测集,10,闭方块中零测集的像,设,R,n,中的开集,T,为上的,C,1,变换,.,闭方块,Q,EQ,为零测集,即,|E|=0,则,|T(E)|=0.,证明,:,只要证明,|T(E)|0,L=aI(,位似变换,也叫伸缩变换,),则,|L(E)|=a,n,|E|.,19,线性变换积分公式,设,L,是,R,n,的可逆线性变换,E,R,n,可测,.,是,L(E),上的可积函数,.,则下列公式成立,证明,:,考虑,E=,R,n,的情形就可以了,.,只要证明,对简单函数结论成立就行了,而这正是测度公,式所说的,惟一要注意的就是,20,正则变换的测度不等式,E,为闭方块,Q,成立,(,证明关键,),E,为开集,G,任意可测集,E,闭方块,Q,情形的证明,:,记,h,为,Q,的边长,.,证明,的想法是对,T,用其导数,(,线性变换,)“,局部”近似,.,具,体方法是等分,Q,和利用导数的连续性以及线性,变换时的结果,.,21,闭方块测度不等式,通过把,Q,的各边,m,等分将等分,Q,为,N=m,n,个不,重叠的小方块,Q,k,记,Q,k,的中心为,x,k,L,k,=T,(x,k,),k=1,N.,由可微性,由微分中值定理,得到不等式,记,22,闭方块测度不等式,(,续,1),由,T,在,Q,上连续,()0(0).,下面估计,注意,其中,记,23,闭方块测度不等式,(,续,2),由关系式,可知 包含在以 为心,以,为边长的方块中,也就是,在注意到,24,闭方块测度不等式,(,续,3),因此，,令,m,就得到,25,开集的测度不等式,对于开集,G,成立测度不等式,证明,:,取可数多个不重叠的闭方块,Q,K,G,满,足,因此,26,有界可测集的测度不等式,对于有界可测集,E,成立测度不等式,证明,:,由,E,可测,取单调递减有界开集列,G,k,和,零测集,Z,满足,由此得到,由控制收敛定理,k,就得到不等式,.#,27,可测集的测度不等式,对于可测集,E,成立测度不等式,证明,:,取两两不相交有界可测集列,E,k,满足,则,28,非负可测函数的积分不等式,设,是,T(),上的非负可测函数,则,证明：上述不等式对非负简单函数成立,然后利用,Levi,单调收敛定理就可以了,.#,29,非负可测函数的积分公式,设,是,T(),上的非负可测函数,则,证明,:,由积分不等式,只要证明相反的不等式,成立就行了,.,在上非负可测,是,V=T(),上的正则变换,由积分不等式,30,有积分函数的积分公式,设,是,T(),上有积分的函数,则,证明,:,对的正部和负部分别使用,非负可测函数的积分公式,然后相减就行了,.#,