第2章 一维势场中的粒子.ppt

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第,2,章 一维势场中的粒子,2.1,一维定态的一般性质,与空间有关的一维定态,Schrdinger,方程为：,（,2.1,）,在量子力学中，如不作特别说明，都假定势能,V,取实数，即,V=V,*,。,若对应于某个能量,E,，方程（,2.1,）只有一个解，则称能级,E,不简并。,若对应于某个能量,E,，方程（,2.1,）不只一个解，则称能级,E,是简并的。,定理,2.1,：,设,是方程（,2.1,）的一个解，,的一个解，对应的能量本征值也是,E,。,且总可以,找到方程（,2.1,）的一组实解，凡是属于,E,的任何,解，均可表成这组实解的线性叠加。,对应的能量本征值为,E,，则,也是方程（,2.1,）,证明：,方程（,2.1,）两边取复共轭，注意到,V(x,)=V*(,x),E,*=E,有,可见,也满足方程（,2.1,），对应的能量,本征值也是,E,。,若能级,E,不简并，则,和,描述的是同,一个量子态，故,。取复共轭，有,取,c=1,，有,是实函数。,是实解，则将它归入,（,2.1,）的一个解。而根据线性微分方程解的叠加,若能级,E,简并，如果,实解的集合中。如果它是复解，则,也是方程,性定理，如下两个组合（组合后为实函数）：,是（,2.1,）同属于能量,E,，并彼此独立的解。,定理,2.2,：,设,V(x,),具有空间反射不变性，,V(,x),V(x,),。如果,为方程,（,2.1,）,的一个解，对应的,能量本征值为,E,，则 也是方程,（,2.1,）,的一个,解，,对应的能量本征值也是,E,。,且总可以找到方程（,2.1,）的一组解,其中每一个都具有确定的宇称,而属于能量本征值,E,的任何解，都可表成这组解的线性叠加。,证明：,在方程（,2.1,）中作代换,x-x,注意到,有,可见亦是方程的解。,若能级,E,无简并，则,描述的是同一个状态，他们之间只能相差一个,常数，,所以有,偶宇称,奇宇称,若能级,E,有简并，可令,均为方程（,2.1,）的解，对应的能量,本征值都为,E,，且有确定的宇称。,此外，由定理,.1,可知，总可将方程的解取为,实函数。,习题,2.1,在三维情况下证明定理,2.1,和定理,2.2,。,定理,2.3,：,对于阶梯形方势,有限时，,连续；,时，定理不成立。,证明：由方程（,2.1,）有,（,2.2,）,在,x=a,的邻域对方程（,2.2,）积分，有,即,V(x,),在,x=a,处发生突变，,有限时，上式右边积分为,0,，从而,在,x=a,处连续；,上式右边的积分无法确定。,2.2,一维无限深势阱和一维有限深势阱,1.,一维无限深势阱,设质量为,的粒子在势场,中运动，求定态,Schrdinger,方程的解。,解：由于势阱外,不可能出现在势为无限大之处，故势阱外波,函数为零。即：,而能量有限的粒子,势阱内的,Schrdinger,方程为,（,2.3,）,令,（,2.4,）,则（,2.3,）简化为：,其通解的形式为：,由波函数的连续发性条件可得到,从而有,再由波函数的归一化条件可得到归一化常数为,综上，一维无限深势阱,波函数：,能级能级：,（,2.6,）,一维势阱中粒子波函数及概率图示,(,取,a,2),习题,2.2,方程,的一般解亦可写为如下,试分别用这两个一般解求解一维无限深势阱,。,或,形式：,习题,2.3,设质量为,的粒子在势场,中运动，求定态,Schrdinger,方程的解。,提示：,本问题与一维中心不对称无限深势阱,的差别仅在于坐标原点的选择，,将式（,2.6,）中的坐标,x,换为,x+a/2,即得到本问,题的解为：,n=1,2,3,（,2.7,）,习题,2.4,二维无限深方势阱问题,设质量为,的粒子在势场,中运动，求束缚态解。,习题,2.5,三维无限深方势阱问题,设质量为,的粒子在势场,中运动，求束缚态解。,2.,一维有限深势阱,对于一维有限深势阱中运动的粒子，当其处于束缚态时，确定其能级的为超越方程，没有解析解。下面将用数值解法较完整地给出能级和归一化波函数，所用方法和结果简洁明了，对这类问题有普遍意义，也可加深对这类问题的理解。,如图,1,，设质量为 的粒子在,势场,这里我们只考虑束缚态情形，即,0EV,0,写出分区的定态,Scrodinger,方程,中运动，求定态,Schrdinger,方程的解。,令,则分区的定态,Schrdinger,方程为：,由此得各分区域的通解为：,式中,A,、,B,、,C,、,D,为待定常数。,由波函数的连续性条件可得到：,若要,A,、,B,、,C,、,D,有不全为零的解，则,k,1,和,k,2,必须满如下方程：,此外有：,令,可将上述方程组写为：,数值解法，取,借助于数学计算软件，容易求得两个交点坐标为：,（,2.05973,，,3.42892,）和（,3.79099,，,1.27609,）,即此时粒子有两个能级：,归一化波函数为：,当,V,0,时，势阱的波函数化为：,可见当势为无穷大时，波函数为零。,其第一个束缚态的概率分布情形如图：,2-3,线性谐振子,弹簧振动、单摆是谐振子，它们的位移或角位移满足方程：,谐振子在物理中很重要，很多物理问题都可以近似按谐振子处理。比如固体中的每个原子的微振动，就可以看成在各自平衡位置作简谐振动。,考虑一维空间中运动的线性谐振子，其势能为：,定解问题为,:,（,2.8,）,（,2.9),单值性,连续性,有限性,令,方程可改写为,（,2.10),求解,:,先看,时,的渐近行为。此时方程为,，渐近解为,因为波函数的标准条件要求,。,有限，,故取,。,据上，可令方程的解为,代入方程（,2.10),，得到,满足的方程为,（,2.11),用级数解法，可求得，只有在,时，才能求得满足要求的解，为,Hermite,多项式,相应的线性谐振子的能级为,对应于能量,的波函数是,（,2.12),前几个波函数的表达式：,讨论：,（,1,）线性谐振子的能级是分立的，两相邻,能级的间隔均为,:,振子的基态（,n=0,）能量为,称之为零点能。,，,2,）与经典力学中的线性谐振子的比较：,n=10,习题,2.8,求基态线性谐振子在经典界限外被发,现的概率,习题,2.9,求一维谐振子处在第一激发态时概率,最大的位置。,习题,2.10,试证明,谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。,是线性,习题,2.11,带电,q,的线性谐振子在均匀电场,E,中,运动，其势能为,，求谐振子的,能级和波函数。,习题,2.12,一粒子在一维势阱,中运动,利用谐振子的已知结果求出粒子的能,级和波函数。,2.4,阶梯势反射和势垒贯穿,1.,阶梯势反射,粒子以能量,E,对阶梯势入射，,求透射系数与反射系数。,讨论如下三种情况：,（,1,）,V,0,E0,；,由左向右入射,（,3,）,E0,由右向左入射。,解：,(1)-V,0,E0,写出分区,Schrdinger,方程为：,令：,可将上述方程简化为：,一般解可写为：,由波函数连接条件，有：,解得：,据此，可分别计算出入射波、反射波和,透射波的概率流密度及反射系数和透射系数,满足,R+D,1,可见，总能量小于势垒高度的粒子必全,部被反射，但在,x0,写出分区,Schrdinger,方程为：,令：,可将上述方程简化为：,一般解可写为：,考虑到没有从右向左的入射波,，,B,0,由波函数连接条件，有：,解得：,据此，可分别计算出入射波、反射波和,透射波的概率流密度及反射系数和透射系数,满足,R+D,1,可见，尽管,E0,，但仍有粒子被反射。,（,3,）,E0,粒子从右向左入射,仿（,2,）方法求解，结果相同。,.,势垒贯穿,一维空间中，能量为,E,的自由运动的粒子在如图方,型势垒上散射，求解之。,（,1,）,EV,0,定态,Schrdinger,方程为：,其解的一般形式为：,上述解再乘上时间因子就分别得到向左向右传播的平面波，但在,xa,的区域没有向左传播的平面波，故,C=0,。,再利用,x=0,和,x,a,处的连续条件，有：,可解得：,而相应的概率流密度为,相应的透射系数和反射系数为：,透射系数,反射系数,（,2.13,）,（,2.14,）,而当,，即,时，,D=1,R=0,此时粒子完全透射，没有,反射，称之为共振透射。,习题,2.13,在上述势垒贯穿问题中，若入射粒子,能量满足,E=V,0,，结果如何？直接求解；在,式（,2.13,）和（,2.14,）中令,EV,0,，并将结果,与的结果进行比较。,（,2,）,E1,则有,（,3,）,若为势阱，,V,0,-V,0,仍有,:,透射系数,反射系数,且反射系数一般不为零。,2.5,一维,势,一维,势垒的穿透,设有质量为,、动能为,E,的粒子入射到,势垒,，求其透射系数。,定态,Schr,dinger,方程为：,在,x=0,处,连续,由定理,2.3,可知,则有跃变：,(2.15),(2.16),在,x0,处式,(2.15),可以表示成：,其特解为：,其中,R,项为反射波，,S,项为透射波，由,x=0,处,的连续条件得到,1+R=S,由式,(2.16),得到,容易解出：,所以，透射系数,反射系数,粒子数守恒,时，,2,一维,势阱中的束缚态,设粒子在,势阱,求束缚态（,E0,）能级和波函数。,中运动，,定态,Schrdinger,方程为,:,其解的形式为,且要求,由于,V(x,),是偶函数，束缚定态波函数必有,确定的宇称,下面将,分别就偶宇称态和奇宇称态,进行讨论。,偶宇称态,可令,由式（,2.20,），有：,因此有,唯一束缚态能级,归一化,(b),奇宇称态,由波函数在,x=0,处的连续条件得到,A=0,因,此不存在奇宇态束缚态。,习题,2.14,设粒子在,势阱,中运动，求束缚态（,E0,）能级和波函数。,