数学建模ch_5 离散模型.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 离散模型,离散模型是 将实际问题直接抽象成离散的数、符号,或图形，然后以离散数学为主要研究工具来解决的数学,模型。连续模型进行离散化所得到的数学模型不在此讨,论。,一、过河问题,问题 有三名商人各带一名随从要乘一条小船过河，,这条船每次最多只能容纳两个人，并且由于某种原因，,商人们总是提防着随从们，预感到一旦在任何地方只要,随从人数多于商人数，就会对商人构成危害。但是由于,商人们控制着如何乘船的指挥权，所以商人们就可以制,定一个过河方案，以确保商人们的安全。试求出这个方,案。,建模,设在渡河过程中，此岸的商人个数为 随从个数为,以 表示此岸的状态向量，即,在 中有一部分对商人是安全的，称为容许状态集合，,记为 即有,在上图中,实点即表示为容许状态的集合,.,乘船的方案称为决策，仍然用向量 来表示，,即 名商人和 名随从同坐一条船,.,在这些决策中,有,是符合条件的，称为容许决策。容许决策的全体组成集,合构成容许决策的集合，记为,在这个问题中，容许决策的集合为,小船从此岸到彼岸的一次航行，会使两岸的状态发生,一次变化，此称为状态的转移。用,表示状态的转移。其中 用,表示在状态 下的决策。当 为奇数时，表示从此岸到,彼岸，当 为偶数时，表示从彼岸到此岸。所以,公式称为状态转移公式。,所以，该问题转变成寻找一系列的决策 使状,态 按由初始状态经过有限次的,转移达到,建立坐标系统，并在坐标平面上建立的刻度单位。做,网格线，网格线上的每一个交点代表一个状态（用实点,表示）。黄色曲线弧表示向彼岸渡人，绿色曲线弧表示,从彼岸返回。容许决策 表现为,从一个实点向另一个实点的转移。,当 为奇数时，容许决策表现的是,向下及向左的移动，当 为偶数时,容许决策表现的是向上及向右的移,解模,动。,整个状态的转移用下面的表格来表示。,序号,状态,决策,序号,状态,决策,1,7,2,8,3,9,4,10,5,11,6,12,分析 从上表中可以看到，该方案是可行的。,二、差分方程,本节介绍离散模型中的一种重要类型,差分方程及,相应的解法,.,1.,差分方程,离散模型的基本形式是,:,下一变量为由当前值、先前,值及 构成的函数,即,方程称为差分方程,.,例,1,某产品当年的产量与前一年的产量关系为,:,当年产,量在去年产量增加 则相应的差分方程为,一类比较简单的差分方程为,具体形式为,:,在差分方程中,若仅有 的值,即方程具有形式,则方程称为一阶差分方程,.,若只有 的值,则方程,称为二阶差分方程,.,一般差分方程的阶定义为出现在方,程中最高阶与最低阶的差值,.,例如一个二阶线性方程为,所谓同类线性差分方程指的是方程具有形式,而方程,则不是同类方程,.,例,2,设在一场战斗中,交战双方为 军和 军,军的,一个单位一次可摧毁 军的 个单位,军的一个单位,可摧毁 的 个单位,.,设经过 次战斗后,所剩,下的人数,则有,此是由两个变量关连的差分方程,经过转化,方程可变,为,由此得到的是一个二阶的差分方程,.,对与给定的初始值,经过若干次的迭代,最终能求出,应用 拥有,10000,人的 军和拥有,5000,人的 展开一,场战斗,军的杀伤力为 军的杀伤力为,用上式预测战斗结果,.,分析 为使问题简化,以,1000,人为一个单位,即,代入上式,有结果,-0.16,0.61,1.39,7.55,7.65,7.86,8,6,5,4,2.21,3.08,4,5,8.19,8.65,9.25,10,3,2,1,0,当战斗进行到第,6,次时,已经没有意义了,此时 军还有,7550,人,.,问题,:,如果有俘虏产生,该问题又该如何,?,2.,矩阵表示,由若干个变量构成的线性差分方程,在很多情况下可,通过矩阵西形式表现出来,.,例如在上面的两军交战的模,型中,相应的矩阵形式为,而相应的进程关系可表达为,其中,矩阵 又称为状态转移矩阵,.,应用 设有某种生物,一年后成熟并有繁殖能力,.,此种,生物在状态 时,有状态,年龄在,1,岁之前的幼虫总数,;,年龄在,12,岁之间的壮年虫总数,;,年龄在,2,岁以上的老年虫总数,;,不同年龄段的此种生物的繁殖和死亡率有下表所示,:,组别,繁殖率,死亡率,0,0.1,0.3,0.2,0.1,0.3,由此得到状态转移矩阵及关系表达式,是否进入稳定状态,看矩阵的最大特征值 若 则,总数将无限制增长,总数将趋于稳定,总数,将逐渐减少,.,在,Matlab,下,求出特征值,值为,此说明基本进入稳定状态,.,造成这一现象的主要原因是繁殖率偏低,.,事实上,若将,繁殖率改为 则特征值为,3.,模型应用,问题,1,定期存款的计算,某人在银行存款,设期初为 之后在每年的年底再存,入定额为 的钱,.,年息为 若 是存款 年后的总额,则有,记 则有,此方程为一阶线性差分方程,其数值解为,在,Matlab,下,编写如下程序,运行后得,:15,年后存款总,额为 元,.,例如,:,某人期初存入,2,万元,计划每年年底再存入,5000,年利息为 求,15,年后在银行的存钱总额,.,如果要让存款达到,20,万元,求出年数,.,存款曲线图示,问题,2,贷款还款计划,问题的提出 当今人们消费,经常会遇到分期付款消,费等现象,.,对实际贷款额和银行利率,该如何制定相应,的还款计划,.,模型分析 设 为 年后所欠的钱数,为每月偿还,的钱数,为还清所需的年数,是与欠款有关的年利息,率,.,则 表示欠款总额,由条件,知下一年的欠款钱数为,其中,:,模型建立 由上式,得,当 时则有,即,由此得,应用,:,设某人贷款,20,万元,年利率为 计划,15,年还清,求,每月应还的钱额,.,解 将数据代入上式,即得 元,.,还贷曲线图,讨论,:,当利率改变时,还贷计划应该做怎么样的调整,.,例如当利率下降 还款是否也下降 当利率上升,而你又不想改变每月支付的金额,则还款年数将,增加到多少,?,解 在求解公式中,将年利率改为 得 元,降幅为 若利率上升 则每月的还款额为,涨幅为 若不想增加还款额的话,则,还款期限为,18,年,.,进一步的讨论,:,是否存在一辈子都还不清的可能,?,在上面的情况下,假设贷款者仍然每月还款 元,则当年利率上升到多少,还款者要永远还下去,?,在关系式,取 则有,问题,3,生物种群的生长问题,某种生物群种的增长情况遵从著名的,Logistic,方程,:,其中 是该种第 代的个体总量与该群体所能达到的,最大个体容量之比,.,为比例系,数,.,注意到该方程是一个一阶的非线性差分方程,.,在,Matlab,下,对初始值 的不同取值,得到如下的结,果,:,问题,4,减肥与饮食问题,一个女子每天摄入,2500,卡的食物,其中,1200,卡用于基,本的新陈代谢,并用每公斤体重,16,卡为每日锻炼的消耗,其它剩余的转换成脂肪,.,设,10000,卡等效为,1,公斤脂肪,.,在星期六上午,她的准确体重为,57.1526,公斤,.,在周三她,饱餐了一顿,摄入了,3500,卡的食物,.,试建立一个数学模,型求第 天的体重 并用它来作以下预测,:,到星期六时她的体重,为保持体重不变,每日应摄入的热量,;,周后她可减轻到的最小体重,;,若她想在,8,周后减轻到,50.802344,公斤,每天摄入量应,如何限制,.,模型分析,我们不考虑由于吸入氧气而产生的热量,.,由于新陈代,谢及锻炼所需的热量为 故每天能转化成脂,肪的热量为 因而相应的脂肪增加值为,从而第 的体重为,设周六的体重为 则在下周二的,体重为 但当天多摄入了,1000,卡的,热量,故周三的实际体重为,以它为初始值,可计算出周六的体重为,设每天的摄入量为常数 则模型为,欲使体重不变,即有,若要维持体重不变,则 卡,.,若完全拒绝饮食,但基本的新陈代谢需要维持及锻,炼照常,因而有,从而有关系,代入 周所需要的天数,则可得到那时的体重,.,使用中的模型,或改写成另一个形式,欲使体重,8,周后成为 代入上式,得,代入 即可得到每天应摄入的热量数,.,下表给出了当 时体重在第 周时的情况,.,第三列,表示希望在第 周时体重为某值的热量摄入量变化值,表,.,周,（卡）,5,49.95,250,10,43.14,1156,20,30.61,1609,30,19.41,1759,40,9.4,1833,50,0.45,1877,问题,5,数列与黄金分割,问题的提出 提出了这样一个问题,:,一对,小兔子二个月后可以生兔子,而成熟兔子每月可生一对,小兔子,.,假如去年,12,月底养一对小兔子,问到今年年底,共有多少对兔子,.,13,个月份中的兔子的对数如下表,所示,:,12,1,2,3,4,5,6,1,1,2,3,5,8,13,7,8,9,10,11,12,21,33,55,89,144,233,13,个月份中的兔子的对数,以 表示各月份中兔子的对数,则,有关系,定义 称数列为 为 数列,若数列有关系,:,法国数学家奇拉特在 死后,400,年时证明了,从而证明了,黄金分割与斐氏数列,黄金分割据说是由达芬奇首先提出的,.,所谓黄金分割,指的是按中外比割的,.,即在下图中满足关系,记,则有,即有 解此方程得,三、马氏链及其应用,1.,一个简单的例子,我们知道，人寿保险公司最为关心的是投保人的健康,与疾病以及相应的风险。通过下面的例子我们来看保险,公司是如何处理这类问题的。,问题的提出,设 表示年龄的时段，假定在一年中，今,年健康而明年患病的概率是 而今年患病明年转为健,康的概率为 假设一个人在投保时处于健康状态，我,们来研究若干年之后他分别处于这两种状态的概率。,建模,用随机变量 表示第,年的状态，,表示健康，,表示疾病。,以 表示第 年状态为 的概率。即,以 表示今年状态处于 明年状态处于 的概率，即,由全概率公式得到：,即,由假设，,再由于投保人处于健康状态，即,由此得到,若投保人在开始时处于疾病状态，即,则有,从两张表中可以看到，无论投保人在初始时处于什么,状态，当时间趋于无穷大时，该时刻的状态趋于稳定，,且与初始值无关。即,两种状态的转移概率,意义 若将众多投保人处于两种状态的比例，视为投,保人处于两种状态的概率，例如健康人占,3/4,，病人占,1/4,，即 则同样可计算出,由上面的分析可以看出，对于给定的状态转移概率，,时的状态概率，趋向于稳定值，该,值与初始值无关，这是马氏链的重要性质。,把人的死亡看作第三种状态，用 来表示，相,应的转移概率如下图表示。,三种状态的转移概率,仍以 表示状态,为 时的概率，表示状态转移概,率，即有,平行于式，有,设投保人在期初处于健康状态，则由可计算出若干,年后他处于各个状态的概率。,表中最后一列数据是通过预测得到的。从表中的数据,又可以看到，无论投保人在期初处于什么状态，当,时，总有,2.,马尔可夫链,假设,1.,系统是随时间的发展而离散为,2.,在任何时刻，系统的状态为有限多个。在时间 时，,系统的状态的 的取值为,3.,在时刻 时系统处于各状态的概率只与时刻 时,系统所处的概率与转移概率有关。,满足以上三个假设的系统的随机发展过程称为马尔可,夫过程或马氏链。,设在时刻 时系统处于状态 的概率为,行向量,称为状态概率向量，由概率的意义，向量应该满足,及,设在时刻 处于状态 的系统转移到 时刻处于,的概率为 它应该满足,1.,2.,引如概率转移矩阵,由假设,3,，再由全概率公式得,用矩阵的方法来表示的话，可以写成,简单地可以写成,由此可得系统在时刻 时的状态向量为,其中 为时刻 时系统的状态概率向量，又称为,状态初始向量。,例 在前两例中，初始向量与概率转移矩阵分别为,我们通过下面的例子具体说明：,上式表明在时刻 时投保人处于患病状态的概率,为：,从上面的例子中可以看出，对于马氏链模型，最重要,的是构造状态 及概率转移矩阵 由此对于给定的初始,状态 由可计算出任意时刻 的状态,正则链,定义 一个有 个状态的马氏链，如果存在正整数,使从任意状态 经 次的转移，能以大于零的概率到,达状态 则称这样的链为正则链,.,定理,1,设马氏链的转移矩阵为 则该链为正则链的,充分必要条件是存在 使得,定理,2,正则链存在唯一的极限状态概率,满足 与初始状态概率 无关，且,及,例,1,设,则由此确定的马氏链为正则链。令 满足,式，即有,由此得到方程组,联系则得到,故方程组的解为,这和前面的结果是相吻合的。,例,2,设,因,故由此确定的马氏链是正则链。令,由方程，确定方程组,从方程中解出 即,吸收链,定义 如果存在某个状态转移概率 则称状态 是,吸收的,.,如果马氏链中含有吸收状态,并且从每一个非,吸收状态出发都可以达到某个吸收状态，则称这个马氏,链为吸收链。,例如在前面三个状态的转移概率中，转移概率矩阵,为,并且从每个状态最终都转移到第三种状态,因而这样的,链是吸收链。,注 吸收链的特征是：任一状态一旦进入该状态就,将停留在该状态。,含有 个吸收状态和 非吸收状态的吸收链的,状态转移概率矩阵的标准形式是,其中 是单位矩阵。,定理,3,对于具有标准形式的状态转移概率矩阵，有如,下的性质：,矩阵 具有零极限，即,矩阵 可逆且,记 则矩阵的第 行元素之和值是从非,吸收状态出发被某个吸收状态吸收之前的平均转移次,数。,记 则矩阵 的元素 是从非吸收状态 出,发而被状态 吸收的概率。,在前面的例,2,中,将 改写成,则,则,应用 基因遗传问题,生物的外部特征是由生物体内的基因决定的。基因分,优势与劣势基因两种。分别表示为 对于生物的某,个外部特征，体内有两个基因与之对应。由于体内的每,个基因都可以是两种基因之一，因此体内的基因对类型,可能有三种：分别被称为优种、混种和劣,种。按基因理论：含优种和混种的基因个体类型，其外,部特征呈优势；而含劣势基因类型的个体，其外部特征,呈劣势。,生物在繁殖时，后代随机地继承父亲和母亲的两个基,因中的各一个而形成自己的基因对。因此后代成为优,种、劣种、混种基因类型的概率是不同的。,下面讨论两种基因繁殖后代的情况,一、永远与混种繁殖后代的情况,假设一个个体是优种，而另一个个体是混种，则它们,的直接后代成为优种 、混种 、劣种 的概率分别为,假设一个个体是混种，而另一个个体是混种，则它们,的直接后代成为优种 、混种 、劣种 的概率分别为,假设一个个体是劣种，而另一个个体是混种，则它们,的直接后代成为优种 、混种 、劣种 的概率分别为,由此得到概率转移矩阵,由前面的例,2,知该链为正则链，极限状态概率向量为,上式表明，经过长时间的繁殖过程，后代的外部特征,呈优势的概率是优种和混种概率的和，这个量与初始的,个体所含基因的种类无关。,2,.,近亲繁殖的结果,假设最初的父母可以是优种、混种或劣种，它们有大,量的后代，这些后代又随机地雌雄交配后代，今来分析,它们后代的演变情况。,由于每次繁殖都是随机地配对父亲和母亲，而父亲和,母亲可以是 中的一种，组合后就有,六种状态，分别记为,当父母都是优种 时，后代必然是优种 因此有,同理，当父母都是劣种时，后代只能是劣种，由此得,当父母一方为 而另一方为 时，当前状态可能是,因而再次配对产生的可能结果有,因此，有,当父母方为 对时，其后代只可能是 因而再,次配对之后之可能产生 所以,当父母方为 对时，其后代可能是,甲 乙,因而相应的概率为,所以概率转移矩阵为,从上面中可以看到状态,1,和状态,2,是吸收状态。所以该链,为吸收链。,由前面的计算公式得到,的行和,根据矩阵 和 的性质，上式表明从状态,3,出发经过,代后它们的后代都会变成优种或劣种，从状态,3,出发其,后代全变为优种的概率为,上面表明：近亲繁殖的后代变成劣种的可能性很大。,三、钢琴销售的存储策略,问题的提出,一家商店根据以往经验,平均每周只能售出,1,架钢琴,.,现在经理指定的存储策略是,:,每周末检查库存量,.,仅当,库存量为零时,才订购,3,架供下周销售,;,否则不订购,.,试,估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大,?,以及,每周的平均销售量是多少,?,问题分析,对钢琴这类比较昂贵的商品,其销售一般被认为服从,泊松分布,.,即设 为每周的销售量,则,周末的库存可能为 而周初的库存可能为,注意到需求的改变将引起库存的改变,.,而当需求大于库,存时又会失去销售的机会,.,今来计算这种变化的规律,.,模型假设,1.,钢琴每周的需求量服从泊松分布,且均值为,1.,2,存储策略是,:,当周末库存量为零时,订购,3,架,周初到货,否则不订购,.,3.,以每周初的库存为状态变量,状态转移具有无后效性,.,4.,在稳定状态下计算该存储策略失去销售机会的概率,和每周的平均销售量,.,模型建立,记第 周的需求量为 则 服从均值为,1,的泊松分,布,即有,再记第 周初的库存量为 为该系统的状,态变量,则有,由得,并由此计算概率转移矩阵,*,即,记状态概率为,即有,注意到 即马氏链为正则链,.,令,满足 且 解之得,假定初始状态为,1,架钢琴,即状态概率为,则,该存储策略在第 周失去销售机会的概率为,当 时可近似认为 则有,即从长期看,失去销售的机会为,最后计算平均销售量（用数学期望）,:,但当库存量为 时,销售量的最大取值为 因而上式为,同样,当 时,用稳态概率 来代替,则,即从长期看,每周的平均销售量为,讨论,在原问题中,若将订购策略改为,:,若当周末的库存量,为零时,订购量为销售量加,2,否则不订购,试建立相应,的马氏链,.,解 当概率不变时,则概率分布为,由此得到状态变量 的取值为,概率转移矩阵为 其中,四、合作对策模型,在经济或社会活动中，几个个体相互合作或结成联,盟，常常能或得比他们单独行动能获得的经济效益或社,会效益。怎样来合理分配所获取的效益是合作对策的研,究题目。,1,.,三人联合经商的利润分配问题,假设有 三人在经商。,若三人都独自经商，则每人每月都只能获得利润,1,万,圆；,若 和 合作经商,则他们每月可获得利润,7,万圆；,若 和 合作经商,则他们每月可获得利润,5,万圆；,若 和 合作经商,则他们每月可获得利润,4,万圆；,若三人合作经商,则他们每月可获得利润,10,万圆；,则问题转变为这,10,万圆的利润应如何分配给三人。,先给出合作对策的一般模型,记 为有 个人的集合，若对于 的,任一子集合 都有一个实数 与之对应，且满,足下面条件：,；,对 的任意两个子集合 有,则称 为定义在 上的一个特征函数。,所谓合作对策就是要确定已定义有特征函数的 中的,个人合作的结果，它表现为向量,在实际问题中，常把 中各种组合的合作所获得的利,益定义为特征函数，向量 就是 个人合作获利的,分配。,Shapley,提出了应该满足的如下几个公理：,公理,1,设 是 的一个排列，对于,的任一子集 令,再定义 上的特征函数 ：则对于每,个 有,上式表明：合作获利对每个人的分配与记号无关。,公理,2,表明如果有人对他所参加的所有项目都没有贡,献，那么他就不应该从全体的合作中获利。,公理,2,若对所有包含 的子集 都有,则,公理,3,公理,3,表明各个人的分配之和等于合作获利。,公理,4,若 也是定义在 上的特征函数，且,则,公理,4,表明，若 个人同时进行两个项目的合作，则获,利的分配为两个独立项目分配之和。,Shapley,证明了满足着四条公理的 是唯一的，并,且解的公式为：,其中 是 中所有含 的子集，是集合 中的人数，,是加权因子，其值为,可看作为成员 对合作 的贡献。,表示对所有含 的子集 求和。,在例,1,中，将 分别记为 当,时，经计算得下表：,1,7,5,10,0,1,1,4,1,6,4,6,1,2,2,3,1/3,1/6,1/6,1/3,1/3,1,2/3,2,代入得,即 应分得利润,4,万圆。同理可计算对 时,有相应,的值,:,1,7,4,10,0,1,1,5,1,6,3,5,1,2,2,3,1/3,1/6,1/6,1/3,1/3,1,1/2,5/3,代入，得,最后计算，得,2.,三城镇的污水处理方案,沿河有城镇,1,、,2,、,3,，地理位置入图所示，城镇的污,水必须经过处理后才能排入河中，因此三个城镇将单独,或联合建造污水处理厂，用管道将污水集中处理（污水,应从位于河流的上游向位于下游的城镇输送）。,河 流,以 表示污水量，表示管道长,度，由经验公式，建厂费为,（万圆）,.,铺管费为,（万圆）,.,已知三城镇的污水量分别为,城镇间的距离分别为,试从节约总投资的角度出发,为三个城镇制定一个建造,污水处理厂的方案。如果联合建厂，各城镇应如何分担,费用？,以 代表三城镇，考虑,三城镇污水处理的如下,5,种方案,分别建厂，投资费用为,总投资,1,，,2,合作在城镇,2,建立厂，则投资为,总投资为,2,，,3,合作在城镇,3,建厂，则投资为,总投资为,1,，,3,合作在城镇,3,建厂，则投资为,该费用超过了,1,，,3,分别建厂的费用,故该方案无意义。,三城合作在城镇,3,建厂，则总费用为,比较结果，,即：选择联合建厂是一个最佳方案。但问题是应该如,何分担费用。,总费用 由三部分构成：联合建厂费,城,1,至城,2,的管道费,城,2,至城,3,的管道费,城,3,提出：由三城镇按 的比例分担，是,城,1,、,2,铺设的管道费用，则由他们承担，城,2,同意，并,提出 由城,1,、,2,按污水量 的比例分担，而 由城,1,独自承担，城,1,不同意。现计算按上面的想法各城应承,担的费用：,城,3,：城,2,：,城,1,：,上面结果表明：城,2,、,3,的分担费用比单独建厂的费用,要低，而城,1,的费用要比单独建厂所花费的费用要高，,因而城,1,不能赞同这种方案。,为了促成三城联合建厂，应当寻找合理分担费用的方,案。三城的合作节约了投资，产生了效益，可以将其看,作是一个 个人的合作问题。联合建厂比单独建厂节约,的投资定义为特征函数，于是有,三城联合建厂的效益为 由,Shapley,值作为这个效益,的分配，则有表,0,40,0,64,0,0,0,25,0,40,0,39,1,2,2,3,1/3,1/6,1/6,1/3,0,6.7,0,13,得,0,40,25,64,0,0,0,0,0,40,25,64,1,2,2,3,1/3,1/6,1/6,1/3,0,6.7,4.17,21.3,得 最后得,结果分析：,三城镇联合投资建厂的分担费用为：,城镇,1,城镇,2,城镇,3,与按比例分担比较：城镇,1,收益最大，,而城镇,3“,吃亏”。,3.,股东在公司中的权重,某股份公司有,4,个股东分别持有,的股份，公司的决策必须经持有半数以上股份的股东同,意才可通过，问这 个股东在公司决策中的权重各多大？,该问题可看作为 个人的合作对策，记,其中 分别代表持有 股份,的股东。特征函数定义为：对 中的任一子集 当其持,有的股份超过 时，其余 于是,的子集为,其余 个子集的,由公式，可计算各个股东的,Shapley,值,对 经计算可得,0,1,1,0,0,0,0,0,0,1,1,0,1,2,2,2,1/4,1/12,1/12,1/12,0,1/12,1/12,0,1,1,1,1,0,0,0,1,1,1,1,0,3,3,3,4,1/12,1/12,1/12,1/4,1/12,1/12,1/12,0,由此得到,对 相应的数值为,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,2,2,2,1/4,1/12,1/12,1/12,0,1/12,0,0,1,1,1,1,1,0,0,1,0,1,1,0,3,3,3,4,1/12,1/12,1/12,1/4,0,1/12,1/12,0,得,同理可计算,即权重向量为,Shapley,值方法的确定及解决方法,Shapley,值方法以严格的公理为基础，在处理合作对,策的分配问题时具有公正、合理等优点，但是它需要知,道所有合作者的获利，即要定义 的所有,子集的特征函数，通常情况下这很难办到。例如 个单,位合作治理污染，第 方单独治理的投资 和 方合作治,理的投资 是已知的，还要知道第 方不参加合作时其,余 方所需的投资 特征函数定义为合作的获利，即,节约的投资。为此有,除此之外还要计算其它的 这在计算上有一定的困,难。,以三人经商为例，我们介绍其余的几种方法：,记 无 参加时其余 方合作的获利记作,记,试确定各方对全体合作获利的分配。记作,五、团体决策模型,参加评选优秀运动员、优秀产品，选举代表都要有一,定的办法。该方法能从各位评判人员对评选对象的评价,综合地得出对各个评选对象的总的评价，从而选出优秀,者或排出名次。这样一类问题称为团体决策问题，各种,评选方法构成团体决策模型。,一、团体决策函数,设 是由 位评选人组成的集合；,设 是由 个被评选对象组成的,集合。,假设评选方法如此规定：,要求每位评选人员 对所有在候选对象集合 中的,候选对象给出一个排序,这里序的定义为：,1.,对任意的评选对象 必有,和 三种关系之一，且只有一种关系成立；,2.,对任意三个评选对象 若,则必有,评选人员的排序组成一个排序组,称为 对 的一个分布，要求以此分布为基础确定整个,评选人员集合 对候选对象 的所有对象的一个排序,这个评选结果是由分布 的一种对应关,系，称为团体一致函数，记作,（一）、简单多数原则,如果在排序 中有关系 成立，则称有,如果在排序 中有关系 成立，则称有,简单多数原则是：当且仅当有 成立的 超,过 的一半时，就认为有 成立。然后根据一系,列对象间的上述形式的关系来排出总序。,例如，取 给出分布,显然，使 成立的 的个数是 故有,使 成立的 的个数为 故有,同理，最后得排序为,简单多数原则的一个缺陷：产生循环。,例,结果：从而无法给出排序。,（二）、,Borda,数原则,记 为排序 中劣于 的 的元素的个数，称为,对 的,Borda,数，而称,为 的,Borda,数。,Borda,数原则是：当且仅当 时就认为有,且两个式中的等号是同时成立的。然后再根据一,系列对象间的上述形式的关系来派出总序。,在排序中，各个对象的,Borda,数依次为,3,2,2,7,2,3,0,5,0,1,2,3,0,0,1,1,再由，得,由此得相应的排序为：,此与用简单多数原则所获得的结果是一致的。,但是，,Borda,也有失效的时候。例如对,分布,相应的,Borda,数表为,5,5,5,5,0,20,4,4,4,4,5,21,3,3,3,3,4,16,2,2,2,2,3,11,1,1,1,1,2,6,0,0,0,0,1,1,于是有,得出总的排序,但是，按简单多数原则来排序的话，则排序为,此排序似乎更为合理。,二、,Arrow,公理,设 为选民的集合，为,候选人的集合。称一个分布 为一次投,票，称 为选民 的投票；称团体决策 为选举结果，,团体一致函数 是从每个选民的投票来确定选举结果的,选举程序。,Arrow,在,1951,年提出选举程序应满足的四条,公理：,公理,1,对任何一对候选人 和 都可能存在一次投,票，根据选举程序能确定,公理,2,如果选举程序根据第一次投票的结果确定了,在第二次投票时每个选民 的投票 中 的次,序与第一次相同，或则是提前了，而其他候选人的次序,不变，则选举程序根据第二次投票也应该有,公理,3,设 为 的一个子集，如果在两次投票中每,个选民对在 中的的各候选人的排序不变，则在选举,中排序不变，则在选举程序所确定的两次选举结果中，,中的各候选人的排序相同。,公理,4,不能存在这样的选民 使得对任一对候选,人 和 只要他的投票 中有 就能确定有,现在的问题是，有没有满足这四条公理的选举程序,呢？下面的情况说明这个问题与候选人数和选民人数有,关。,当 或 时，这样的选举是无意义的；,当 或 时，简单多数原则所确定的选举,程序就是满足四条,Arrow,公理的选举程序。,当 且 情况时，不存在满足四条,Arrow,公理的选举程序。,该结论说明了：如果你认为只有满足,Arrow,公理的选,举程序才是公平合理的，那么这样的选举程序是不存,在的！,三、联合尺度,对于某种评选对象（例如酒）可以按照某个指标（例,如甜度）在区间 上标记出它的位置；而每位评选者,都按自己的标准认定了在区间 上的某个位置是最理,想的。于是在区间 上就有两个尺度，称它为联合尺,度。,设 为四个候选对象，它们各处于,和 的位置上；有 三位评选者，他们各认定,和 是最佳位置。我们将评判者 所认定的理想位置,也记作,按联合尺度可得到每位评判者的排序：如果对象离,开 近的就排在前面，距离相等的就认为名次相同。,于是按下图所确定的排列为：,再由简单多数原则决定出的排列是,可以看到：为标准在联合尺度的居中的评判者，而他,的排序正好是与简单多数原则确定的排序 相同。,定理 设候选人集合为 选民集合为 且选民的个数为,奇数个，又设按联合尺度得到的投票结果记为,而所有这样的投票结果的全体组成集合,设有 中的一次投票，而 是在联合尺度上,居中的那位选民，则按照简单多数原则所确定的选举结,与 是一致的，并且简单多数原则符合,Arrow,公理。,六、层次分析模型,层次分析法是,T.L.Saaty,等人在,70,年代初提出和广泛应,用的方法。它不仅可用来在工程技术、经济管理、社会,管理、社会生活等方面进行决策，而且可用来进行分析,和预报，它是近年来发展起来的系统分析的重要数学工,具之一。,假设有三个旅游地点 可供选择，要考虑的,的因素有五个：费用 景色 居住条件 饮食条件,和交通条件 旅游者的最后决策为,设每个因素对三个地点的权重都是以知的，它们为,设旅游者在考虑旅游地点时对每个因素的（偏爱）权,重是已知的，它为,设旅游者对地点的权重为,则它可以用下列公式来计算：,这样，旅游者就可选择权重繁荣的地点作为选中的旅游,地点。,然而，权重 和,都是不容易确定的。因此引处了许,多进一步的问题。,（一）、成对比较法，正互反阵和一致阵,要判断 个因素 对目标 的影,响，即确定各个因素在 中的比重是比较困难的。如果,每次取两个因素 和 来比较容易多了。,设 为 和 对 的影响之比，则全部的比较结,果可用矩阵表示为,称为成对比矩阵，显然有性质,满足和的矩阵称为正互反矩阵。对于正互反矩阵，,则有,我们的目标是从正互反矩阵出发，得到比重向量,其中 表示因素 对目标 的影响所占的比重。,若比重向量 已知，则容易得到成对比矩阵,注意到这个矩阵中的每一个列向量都是成比例的，并,且满足关系,若正互反矩阵 满足,则称该矩阵是一致性矩阵，简称为一致阵。,性质,1,六、练习,1.,某甲（农民）有一块土地，若他在这块土地上从事,农业生产，每年可收入,10000,元；若他将这块土地出租,给某乙（企业家）用于工业生产，则每年可获得收入,20000,元；若租给某丙（旅店老板）用于旅游业，则可,获得收入,30000,元；若旅店老板请企业家参与经营时每,年收入可达,40000,元。试用,Shapley,值方法求分享甲乙丙,三人合作所得的,40000,元收入。,2.,某委员会有,100,个席位，有三个派别分别拥有,34,席、,33,席和,33,席。法律规定每一提案需要有超过半数的赞成,票时方能通过。假定每个派别的成员同时头赞成或反对,票，试用合作对策模型求三个派别在表决时各自占的比,重。如果三个派别分别拥有,49,，,48,和,3,席时，结果又如,何？,