乃奎斯特稳定判据.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,乃奎斯特稳定判据,1,主要内容,幅角定理,乃奎斯特稳定判据,乃氏稳定判据在,、,型系统中的应用,在波德图上判别系统稳定性,乃奎斯,特,稳定判据是,用开环频率特性判别闭环系统的稳定性,。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。,2,一、幅角定理：,设负反馈系统的开环传递函数为：，其中：为前向通道传递函数，为反馈通道传递函数。,闭环传递函数为：，如下图所示：,令：,则,开环传递函数为：,(a),闭环传递函数为：,(b),3,显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为,n,阶，且分子分母同阶。则辅助方程可写成以下形式：,。式中，为,F(s),的零、极点。,由,(a),、,(b),及,(c),式可以看出：,F(s),的极点为开环传递函数的,极点,；,F(s),的零点为闭环传递函数的,极点,；,将,闭环特征方程与开环特征方程之比构成一个辅助方程，得：,.(c),4,F(s),是复变量,s,的单值有理函数。如果函数,F(s),在,s,平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 都可以在,F(s),平面上找到一个相应的点 ，称为 在,F(s),平面上的映射。,同样，对于,s,平面上任意一条不通过,F(s),任何奇异点的封闭曲线 ，也可在,F(s),平面上找到一条与之相对应的封闭曲线 （为 的映射）。,例,辅助方程为：，则,s,平面上 点（,-1,，,j1,），,映射,到,F(s),平面上的点 为（,0,，,-j1,）,见下图：,5,同样我们还可以发现以下事实：,s,平面上 曲线 映射到,F(s),平面的曲线为 ，如下图：,曲线 是顺时针运动的，且包围了,F(s),的一个极点（,0,），不包围其零点（,-2,）；曲线 包围原点，且逆时针运动。,示意图,6,柯西幅角定理,s,平面上不通过,F(s),任何奇异点的封闭曲线 包围,s,平面上,F(s),的,z,个零点和,p,个极点。当,s,以顺时针方向沿封闭曲线 移动一周时，在,F(s),平面上相对应的封闭曲线 将以顺时针方向绕原点旋转,N,圈。,N,，,z,，,p,的关系为：,N=,z-p,若,N,为正，表示 顺时针运动，包围原点；,若,N,为,0,，表示 顺时针运动，不包围原点；,若,N,为负，表示 逆时针运动，包围原点。,7,二、乃奎斯特稳定判据：,对于一个控制系统，若其特征根处于,s,右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程 ，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清,F(s),的的零点在,s,右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果,F(s),的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。,我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的，辅助方程也已知。设想：,如果有一个,s,平面的封闭曲线能包围整个,s,右半平面，则根据柯西幅角原理知：该封闭曲线在,F,(,s,),平面上的映射包围原点的次数应为：,N,=,F,(,s,),的右半零点数,F,(,s,),的右半极点数,=,闭环系统右半极点数开环系统右半极点数,当已知,开环,右半极点数时，便可由,N,判断,闭环,右极点数,8,完成这个设想需要解决两个问题：,1,、如何构造一个能够包围整个,s,右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？,2,、如何确定相应的映射,F(s),对原点的包围次数,N,。并将它和开环频率特性 相联系？,第,1,个问题：先假设,F(s),在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线 包围整个,s,右半平面，这条封闭曲线称为乃奎斯特路径。如下图所示，分为三部分：,正虚轴：,右半平面上半径为无穷大的半圆：,负虚轴：,9,F,(,s,),平面上的映射是这样得到的：,以,s,=,Re,j,q,代入,F,(,s,),，令,R,，,q,:,，得第二部分的映射；,得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算,N,=,Z,P,，式中,Z,、,P,是,F,(,s,),在,s,右半平面的零点数和极点数。,若已知,P,，并能确定,N,，,可求出,Z,=,N,+,P,。当,Z,=0,时，系统稳定；否则不稳定。,以,s,=,j,w,代入,F,(,s,),，令,w,从,0,变化，得第一部分的映射；,以,s,=,j,w,代入,F,(,s,),，令,w,从,0,，得第三部分的映射。,10,F(s),对原点的包围，相当于 对,(-1,j0),的包围；因此映射曲线,F(s),对原点的包围次数,N,与 对,(-1,j0),点的包围的次数一样。,乃奎斯特路径的第,部分的映射是 曲线向右移,1,；第,部分的映射对应 ，即,F(s)=1;,第,部分的映射是第,部分映射的关于实轴的对称。,F(s),的极点就是 的极点，因此,F(s),在右半平面的极点数就是 在右半平面的极点数。,由 可求得 ，而 是开环频率特性。一般在 中，分母阶数比分子阶数高，所以当 时，即,F(s)=1,。（,对应于映射曲线第,部分）,第,2,个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的辅助方程为 ，为开环频率特性。因此，有以下三点是明显的：,11,F(s),与 的关系图。,12,根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取乃奎斯特路径，则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳定性。就是下面所述的,乃奎斯特稳定判据,。,乃奎斯特稳定判据,：若系统的开环传递函数在右半平面上有 个极点，且开环频率特性曲线对,(-1,j0),点包围的次数为,N,，（,N0,顺时针，,N=1,时，包围,(-1,j0),点，,k1,时，乃氏曲线逆时针包围,(-1,j0),点一圈，,N=-1,，,而 ，则 闭环系统是稳定的。,当,K,=1,时，乃氏曲线通过,(,1,，,j0),点，属临界稳定状态。,当,K,0,时，由题知,P=1,，图知,N=1,，,Z=N+P=2,，闭环系统不稳定。,当,K0,时，由题知,P=1,，图知,N=0,，,Z=N+P=1,，闭环系统不稳定。,25,例,已知非最小相位系统开环传递函数为,确定闭环系统稳定的,K,值范围。不稳定时求出闭环右极点数。,解,：,26,当,K0,时，由题知,P=1,，图知,N=0,，,Z=N+P=1,，闭环系统不稳定。,27,乃奎斯特稳定判据的应用步骤,确定开环右极点数,P,；,画出开环系统乃奎斯特图（包括正负频率及,s,平面中特定路径在,G,k,(,s,),平面的映射）；,确定,N,；,计算,Z,=,N,+,P,，当,Z,=0,时闭环系统稳定，当,Z,0,时闭环系统不稳定，当,Z,0,时计算有误。,28,例,已知非最小相位系统开环传递函数为,确定闭环系统稳定的,K,值范围。不稳定时求出闭环右极点数。,解,：,29,当,K,6,时，乃氏曲线不包围,(,1,，,j0),点，,N=0,，,Z=N+P=2,，系统不稳定。,(,1,，,j0),(,1,，,j0),(,1,，,j0),开环系统有,2,个右极点，,P=2,。,当,6,K,8,时，乃氏曲线逆时针包围,(,1,，,j0),点,1,圈，,N=,1,，,Z=N+P=1,系统不稳定。,只有当开环增益保持在一定范围内才稳定的系统称为条件稳定系统。,30,通常，只画出 的开环乃氏图，这时闭环系统在,s,右半平面上的极点数为：。式中，为 变化时，开环乃氏图顺时针包围,(-1,j0),点的圈数。,不,包围,(-1,j0),点，,0,型,系统,包围,(-1,j0),点，,型系统和,型系统,对应的乃奎斯特路径分别为：,31,四、在对数坐标图上判断系统的稳定性：,开环系统的极坐标图（乃氏图）和对数坐标图（波德图）有如下的对应关系：,1,、乃氏图上单位圆对应于对数坐标图上的零分贝线；。,2,、乃氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的,-180,度相位线。,乃氏图频率特性曲线在 上的正负穿越在对数坐标图上的对应关系：在对数坐标图上 的范围内，当 增加时，相频特性曲线从下向上穿过,-180,度相位线称为正穿越。因为相角值增加了。反之称为负穿越。,32,对照图如下：,正,穿越,负穿越,正,穿越,负穿越,相角方向为正,增加时，,相角增大,对数坐标图上乃氏稳定判据如下：,设开环频率特性 在,s,右半平面的极点数为,P,，,则闭环系统稳定的充要条件是：对数坐标图上幅频特性 的所有频段内，当频率增加时，对数相频特性对,-180,度线的正负穿越次数差为,P/2,。,闭环系统右半,s,极点数为：，式中 为正负穿越次数差。若,Z=0,，,闭环系统稳定；若,Z0,，,闭环系统不稳定。,33,小结,柯西幅角定理。满足该定理的条件。,N=z-p,辅助方程。其极点为开环极点，其零点为闭环极点。,乃奎斯特稳定判据。几种描述形式；,、,型系统的乃氏路径极其映射；最小相位系统的乃氏判据；对数坐标图上乃氏判据的描述。,对数频率特性图和乃奎斯特频率特性图的关系。,34,系统的相对稳定性,35,乃氏图幅值和相角关系为：,当 时，,当 时，,式中，分别称为相角、幅值穿越频率,上述关系在对数坐标图上的对应关系,:,当 时，,当 时，,作业：,5-9(a)(b),5-11(2),36,当频率特性曲线穿过,(-1,j0),点时，系统处于临界稳定状态。这时：。,37,稳定裕量,稳定裕量的定义,的,几何意义,截止频率,相角裕量,相角交界频率,幅值裕量,的,物理意义,系统在 方面的稳定储备量,幅值,相角,一般要求,38,显然，当 时，即 和 时，闭环系统是稳定的；否则是不稳定的。对于最小相位系统，和 是同时发生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕量来表示系统的稳定裕量。常用相角裕量。,幅值稳定裕量物理意义,：,稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加 倍（奈氏图）或增加 分贝（波德图），则系统处于临界状态。若增加的倍数大于 倍（或 分贝），则系统变为不稳定。,比如，若增加开环放大系数,K,，,则对数幅频特性曲线将上升，而相角特性曲线不变。可见，开环放大系数太大，容易引起系统的不稳定。,相位稳定裕量的物理意义,：,稳定系统在幅值穿越频率 处将相角减小 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。,39,稳定裕量,稳定裕量的计算,解法,I,：,由幅相曲线求,例,1,，求,(1)令,试根得,40,稳定裕量,(2.1)令,可得,41,稳定裕量,(2.2),将,G(j,w,),分解为实部、虚部形式,令,得,代入实部,42,稳定裕量,由,L,(,w,):,得,解法,II,：由,Bode,图求,43,稳定裕量,解,.,作,L,(,w,),求,法,I:,例,2,，求,法,II:,44,稳定裕量,求,w,g,整理得,解出,45,稳定裕量的,概念,(,开环频率指标,),稳定裕量的,定义,稳定裕量,计算方法,的,几何意义,截止频率,相角裕量,相角交界频率,幅值裕量,的,物理意义,稳定裕量的,意义,46,