2025年中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优易错难题篇及答案解析.doc

-中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优 易错 难题篇及答案解析(1)

一、二次函数
1．（10分）（•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．

（1）请用配措施求二次函数图象最高点P坐标；
（2）小球落点是A，求点A坐标；
（3）连接抛物线最高点P与点O、A得△POA，求△POA面积；
（4）在OA上方抛物线上存在一点M（M与P不重叠），△MOA面积等于△POA面积．请直接写出点M坐标．
【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．
【解析】
试题分析：（1）运用配措施抛物线一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象最高点P坐标；
（2）联立两解析式，可求出交点A坐标；
（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；
（4）过P作OA平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间距离相等，根据同底等高两个三角形面积相等，可得△MOA面积等于△POA面积．设直线PM解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM解析式为y=x+3．再与抛物线解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M坐标．
试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
故二次函数图象最高点P坐标为（2，4）；
（2）联立两解析式可得：，解得：，或．
故可得点A坐标为（，）；
（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．

S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA
=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××
=4+﹣
=；
（4）过P作OA平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA面积等于△POA面积．
设直线PM解析式为y=x+b，
∵P坐标为（2，4），
∴4=×2+b，解得b=3，
∴直线PM解析式为y=x+3．
由，解得，，
∴点M坐标为（，）．

考点：二次函数综合题

2．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，通过点A抛物线y=ax2﹣3x+c对称轴是x=．
（1）求抛物线解析式；
（2）平移直线l通过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中点P坐标为（6，2），点E是x轴上点，点F是y轴上点，当PE⊥PF时，抛物线上与否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？假如存在，祈求出点Q坐标，假如不存在，请阐明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【解析】
【分析】
（1）先求得点A坐标，然后根据抛物线过点A，对称轴是x=列出有关a、c方程组求解即可；
（2）设P（3a，a），则PC=3a，PB=a，然后再证明∠FPC=∠EPB，最终通过等量代换进行证明即可；
（3）设E（a，0），然后用含a式子表达BE长，从而可得到CF长，于是可得到点F坐标，然后根据中点坐标公式可得到，，从而可求得点Q坐标（用含a式子表达），最终，将点Q坐标代入抛物线解析式求得a值即可．
【详解】
（1）当y=0时，，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得，
解得，抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵平移直线l通过原点O，得到直线m，
∴直线m解析式为y=x．
∵点P是直线1上任意一点，
∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．
又∵PE=3PF，
∴．
∴∠FPC=∠EPB．
∵∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠FPC+∠CPE=90°，
∴FP⊥PE．
（3）如图所示，点E在点B左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．

∵CF=3BE=18﹣3a，
∴OF=20﹣3a．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴，，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q坐标代入抛物线解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．
∴Q（﹣2，6）．
如下图所示：当点E在点B右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．

∵CF=3BE=3a﹣18，
∴OF=3a﹣20．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴，，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q坐标代入抛物线解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．
∴Q（2，﹣6）．
综上所述，点Q坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【点睛】
本题重要考察是二次函数综合应用，解答本题重要应用了矩形性质、待定系数法求二次函数解析式、中点坐标公式，用含a式子表达点Q坐标是解题关键．

3．如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上两点，经
过点A、C、B抛物线一部分C1与通过点A、D、B抛物线一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C坐标为（0，），点M是抛物线C2：（＜0）顶点．

（1）求A、B两点坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上与否存在一点P，使得△PBC面积最大？若存在，求出△PBC面积最大值；若不存在，请阐明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求值．
【答案】（1）A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．S△PBC最大值为
（3）或时，△BDM为直角三角形．
【解析】
【分析】
（1）在中令y=0，即可得到A、B两点坐标．
（2）先用待定系数法得到抛物线C1解析式，由S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC得到△PBC面积体现式，根据二次函数最值原理求出最大值．
（3）先表达出DM2，BD2，MB2，再分两种状况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m值．
【详解】
解：（1）令y=0，则，
∵m＜0，∴，解得：，．
∴A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．理由如下：
∵设抛物线C1体现式为（），
把C（0，）代入可得，．
∴Ｃ1体现式为：，即．
设P（p，），
∴ S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC=．
∵<0，∴当时,S△PBC最大值为．
（3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，），
∴BD2=，BM2=，DM2=．
∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种状况：
当∠BMD=90°时，BM2+ DM2= BD2，即＋=，
解得：,(舍去)．
当∠BDM=90°时，BD2+ DM2= BM2，即＋=，
解得：，(舍去) ．
综上所述，或时，△BDM为直角三角形．

4．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴正半轴交于点A．
（1）求抛物线解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x取值范围；
（2）在第二象限内抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB面积．

【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣4x，自变量x取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB面积=15．
【解析】
【分析】
（1）将函数图象通过点B坐标代入函数解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P坐标，将△PAB面积构导致长方形去掉三个三角形面积．
【详解】
（1）由题意得，，
解得，
∴抛物线解析式为y=x2-4x，
令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，
结合图象知，A坐标为（4，0），
根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x取值范围是0≤x≤4；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，

设P（x，x2-4x）,
∵PA⊥BA
∴∠PAF+∠BAE=90°,
∵∠PAF+∠FPA=90°,
∴∠FPA=∠BAE
又∠PFA=∠AEB=90°
∴△PFA∽△AEB,
∴，即，
解得，x= −1，x=4（舍去）
∴x2-4x=-5
∴点P坐标为（-1，-5），
又∵B点坐标为（1，-3），易得到BP直线为y=-4x+1
因此BP与x轴交点为（，0）
∴S△PAB=
【点睛】
本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题关键，尤其是运用待定系数法将两条直线体现式解出，运用点坐标求三角形面积是关键．

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线顶点．
（1）求抛物线解析式和直线AC解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM周长最小，求出点M坐标；
（3）试探究：在拋物线上与否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边三角形是直角三角形？若存在，祈求出符合条件点P坐标；若不存在，请阐明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC解析式为y=3x+3；（2）点M坐标为（0，3）；
（3）符合条件点P坐标为（，）或（，﹣），
【解析】
分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后运用待定系数法求直线AC解析式；
（2）运用二次函数性质确定D坐标为（1，4），作B点有关y轴对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），运用两点之间线段最短可判断此时MB+MD值最小，则此时△BDM周长最小，然后求出直线DB′解析式即可得到点M坐标；
（3）过点C作AC垂线交抛物线于另一点P，如图2，运用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC解析式为y=-x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC解析式为y=-x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC垂线交抛物线于另一点P时，运用同样措施可求出此时P点坐标．
详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a=2，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），
设直线AC解析式为y=px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，
∴直线AC解析式为y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D坐标为（1，4），
作B点有关y轴对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），

∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD值最小，
而BD值不变，
∴此时△BDM周长最小，
易得直线DB′解析式为y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，
∴点M坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC垂线交抛物线于另一点P，如图2，

∵直线AC解析式为y=3x+3，
∴直线PC解析式可设为y=﹣x+b，
把C（0，3）代入得b=3，
∴直线PC解析式为y=﹣x+3，
解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）；
过点A作AC垂线交抛物线于另一点P，直线PC解析式可设为y=﹣x+b，
把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，
∴直线PC解析式为y=﹣x﹣，
解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，﹣）.
综上所述，符合条件点P坐标为（，）或（，﹣）.
点睛：本题考察了二次函数综合题：纯熟掌握二次函数图象上点坐标特征和二次函数性质；会运用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数关系，通过解方程组求把两函数交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短处理最短途径问题；会运用分类讨论思想处理数学问题．

6．某商场经营某种品牌玩具，购进时单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x元．
（1）写出销售量y（件）和获得利润w（元）与销售单价x（元）之间函数关系；
（2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完毕不少于540件销售任务，求商场销售该品牌玩具获得最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣10x+1000；w=﹣10x2+1300x﹣30000
（2）商场销售该品牌玩具获得最大利润是8640元．
【解析】
【分析】
（1）运用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表达出y＝600﹣10（x﹣40），再运用w= y•（x﹣30）即可表达出w与x之间关系式；（2）先将w＝﹣10x2+1300x﹣30000变成顶点式，找到对称轴，运用函数图像增减性确定在44≤x≤46范围内当x＝46时有最大值，代入求值即可解题.
【详解】
解：
（1）依题意，易得销售量y（件）与销售单价x（元）之间函数关系：y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000
获得利润w（元）与销售单价x（元）之间函数关系为：w＝y•（x﹣30）＝（1000﹣10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000
（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46
w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝65
∴当44≤x≤46时，y随x增大而增大
∴当x＝46时，w最大值＝8640元
即商场销售该品牌玩具获得最大利润是8640元．
【点睛】
本题考察了二次函数实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间关系时,需要用代数式表达销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式性质是解题关键.

7．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线通过A、C两点，与x轴另一交点为点B．

（1）求抛物线函数体现式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，
①连接BC、CD、BD，设BD交直线AC于点E，△CDE面积为S1，△BCE面积为S2．求：最大值；
②如图2，与否存在点D，使得∠DCA＝2∠BAC？若存在，直接写出点D坐标，若不存在，阐明理由．
【答案】（1）；（2）①当时，最大值是；②点D坐标是
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到A（-4，0），C（0，2）代入y=-x2+bx+c，于是得到结论；
（2）①如图，令y=0，解方程得到x1=-4，x2=1，求得B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形性质即可得到结论；
②根据勾股定理逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角直角三角形，取AB中点P，求得P（-，0），得到PA=PC=PB=，过D作x轴平行线交y轴于R，交AC延线于G，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：（1）根据题意得A（-4，0），C（0，2），
∵抛物线y=-x2+bx+c通过A．C两点，
∴，
∴，
抛物线解析式为： ;
（2）①令，
∴
解得： ,
∴B（1，0）
过点D作轴交AC于M，过点B作轴交AC于点N，

∴∥
∴
∴
设：
∴
∵
∴
∴
∴当时，最大值是 ;
②∵A（-4，0），B（1，0），C（0，2），
∴AC=2，BC=，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是以∠ACB为直角直角三角形，
取AB中点P，
∴P（-，0），
∴PA=PC=PB=，
∴∠CPO=2∠BAC，
∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，
过D作x轴平行线交y轴于R，交AC延长线于G，如图，

∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，
∴∠CDG=∠BAC，
∴tan∠CDG=tan∠BAC=，
即RC：DR=，
令D（a，-a2-a+2），
∴DR=-a，RC=-a2-a，
∴（-a2-a）：（-a）=1：2，
∴a1=0（舍去），a2=-2，
∴xD=-2，
∴-a2-a+2=3,
∴点D坐标是
【点睛】
本题是二次函数综合题，波及待定系数法求函数解析式，相似三角形判定和性质，解直角三角形等知识点，对作出辅助线是解题关键，难度较大．

8．如图，已知顶点为抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点．
（1）求值；
（2）求函数解析式；
（3）抛物线上与否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请阐明理由．

【答案】（1）﹣3；（2）yx2﹣3；（3）M坐标为（3，6）或（，﹣2）．
【解析】
【分析】
（1）把C（0，﹣3）代入直线y＝x+m中解答即可；
（2）把y＝0代入直线解析式得出点B坐标，再运用待定系数法确定函数关系式即可；
（3）分M在BC上方和下方两种状况进行解答即可．
【详解】
（1）将C（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：
m＝﹣3；
（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：
x＝3，
因此点B坐标为（3，0），
将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：
，
解得：，
因此二次函数解析式为：yx2﹣3；
（3）存在，分如下两种状况：

①若M在B上方，设MC交x轴于点D，
则∠ODC＝45°+15°＝60°，
∴OD＝OC•tan30°，
设DC为y＝kx﹣3，代入（，0），可得：k，
联立两个方程可得：，
解得：，
因此M1（3，6）；
②若M在B下方，设MC交x轴于点E，
则∠OEC＝45°-15°＝30°，
∴OE＝OC•tan60°＝3，
设EC为y＝kx﹣3，代入（3，0）可得：k，
联立两个方程可得：，
解得：，
因此M2（，﹣2）．
综上所述M坐标为（3，6）或（，﹣2）．
【点睛】
此题是一道二次函数综合题，纯熟掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．

9．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c通过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上点P处．
（1）求这条抛物线体现式；
（2）求线段CD长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O位置，这时点P落在点E位置，假如点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点四边形面积为8，求点M坐标．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+；（2）线段CD长为2；（3）M点坐标为（0，）或（0，﹣）．
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法求抛物线解析式；
（2）运用配措施得到y=﹣（x﹣2）2+，则根据二次函数性质得到C点坐标和抛物线对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，﹣t），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t，则P（2+t，﹣t），然后把P（2+t，﹣t）代入y=﹣x2+2x+得到有关t方程，从而解方程可得到CD长；
（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），运用抛物线平移规律确定E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，运用梯形面积公式得到•（m++2）•2=8当m＜0时，运用梯形面积公式得到•（﹣m++2）•2=8，然后分别解方程求出m即可得到对应M点坐标．
【详解】（1）把A（﹣1，0）和点B（0，）代入y=﹣x2+bx+c得
，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+；
（2）∵y=﹣（x﹣2）2+，
∴C（2，），抛物线对称轴为直线x=2，
如图，设CD=t，则D（2，﹣t），
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上点P处，
∴∠PDC=90°，DP=DC=t，
∴P（2+t，﹣t），
把P（2+t，﹣t）代入y=﹣x2+2x+得﹣（2+t）2+2（2+t）+=﹣t，
整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，
∴线段CD长为2；
（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），
∵抛物线平移，使其顶点C（2，）移到原点O位置，
∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，
而P点（4，）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点E，
∴E点坐标为（2，﹣2），
设M（0，m），
当m＞0时，•（m++2）•2=8，解得m=，此时M点坐标为（0，）；
当m＜0时，•（﹣m++2）•2=8，解得m=﹣，此时M点坐标为（0，﹣）；
综上所述，M点坐标为（0，）或（0，﹣）．

【点睛】本题考察了二次函数综合题，波及到待定系数法、抛物线上点坐标、旋转性质、抛物线平移等知识，综合性较强，对添加辅助线、运用数形结合思想纯熟有关知识是解题关键.

10．如图，已知二次函数图象顶点坐标为，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点坐标为．
（1）求二次函数解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M左侧，过M、N作x轴垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长最大值；
（3）当矩形MNHG周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使面积是矩形MNHG面积？若存在，求出该点横坐标；若不存在，请阐明理由．

【答案】（1） （2）最大值为10
（3）故点P坐标为：或或．
【解析】
【分析】
（1）二次函数体现式为：，将点B坐标代入上式，即可求解；
（2）矩形MNHG周长，即可求解；
（3），解得：，即可求解．
【详解】
（1）二次函数体现式为：，
将点B坐标代入上式得：，解得：，
故函数体现式为：…①；
（2）设点M坐标为，则点，
则，，
矩形MNHG周长，
∵，故当，C有最大值，最大值为10，
此时，点与点D重叠；
（3）面积是矩形MNHG面积，
则，
连接DC，在CD得上下方等距离处作CD平行线m、n，
过点P作y轴平行线交CD、直线n于点H、G，即，
过点P作于点K，

将、坐标代入一次函数体现式并解得：
直线CD体现式为：，
，∴，，
设点，则点，
，
解得：，
则，
解得：，
故点，
直线n体现式为：…②，
联立①②并解得：，
即点、坐标分别为、；
故点P坐标为：或或．
【点睛】
重要考察了二次函数解析式求法和与几何图形结合综合能力培养．要会运用数形结合思想把代数和几何图形结合起来，运用点坐标意义表达线段长度，从而求出线段之间关系．

11．在平面直角坐标系中，抛物线过点，，与y轴交于点C，连接AC，BC，将沿BC所在直线翻折，得到，连接OD．
（1）用含a代数式表达点C坐标．
（2）如图1，若点D落在抛物线对称轴上，且在x轴上方，求抛物线解析式．
（3）设面积为S1，面积为S2，若，求a值．

【答案】（1）；
(2) 抛物线体现式为：；
(3) 或
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，得到抛物线体现式为：，即可求解；
（2）根据相似三角形判定证明，再根据相似三角形性质得到，即可求解；
（3）连接OD交BC于点H，过点H、D分别作x轴垂线交于点N、M，由三角形面积公式得到，，，而，即可求解．
【详解】
（1）抛物线体现式为：，即，则点；
（2）过点B作y轴平行线BQ，过点D作x轴平行线交y轴于点P、交BQ于点Q，
∵，，
∴，

设：，点，
，
∴，
∴，
其中：，，，，，，
将以上数值代入比例式并解得：，
∵，故，
故抛物线体现式为：；
（3）如图2，当点C在x轴上方时，连接OD交BC于点H，则，
过点H、D分别作x轴垂线交于点N、M，

设：，
，
，而，
则，，
∴，则，
则，，
则，则，
则，
解得：（舍去负值），
，
解得：（不合题意值已舍去），
故：．当点C在x轴下方时，同理可得：；故：或
【点睛】
本题考察是二次函数综合运用、一次函数、三角形相似、图形面积计算，其中（3）用几何措施得出：，是本题解题关键．

12．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数体现式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，求△BCP面积最大值；
（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m值．

【答案】（1）这个二次函数体现式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=；（3）当△BMN是等腰三角形时，m值为，﹣，1，2．
【解析】
分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间距离是较大纵坐标减较小纵坐标，可得PE长，根据面积和差，可得二次函数，根据二次函数性质，可得答案；
（3）根据等腰三角形定义，可得有关m方程，根据解方程，可得答案．
详解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得
，
解得，
这个二次函数体现式是y=x2-4x+3；
（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），
设BC体现式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得
，
解这个方程组，得

直线BC解析是为y=-x+3，
过点P作PE∥y轴
，
交直线BC于点E（t，-t+3），
PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，
∴S△BCP=S△BPE+SCPE=（-t2+3t）×3=-（t-）2+，
∵-＜0，∴当t=时，S△BCP最大=.
（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3）
MN=m2-3m，BM=|m-3|，
当MN=BM时，①m2-3m=（m-3），解得m=，
②m2-3m=-（m-3），解得m=-
当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，
m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）
当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，
-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），
当△BMN是等腰三角形时，m值为，-，1，2．
点睛：本题考察了二次函数综合题，解（1）关键是待定系数法；解（2）关键是运用面积和差得出二次函数，又运用了二次函数性质，解（3）关键是运用等腰三角形定义得出有关m方程，要分类讨论，以防遗漏．

13．已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．
（1）当a=1时，求抛物线与x轴交点坐标及对称轴；
（2）①试阐明无论a为何值，抛物线C1一定通过两个定点，并求出这两个定点坐标；
②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2体现式；
（3）若（2）中抛物线C2顶点到x轴距离为2，求a值．
【答案】（1）（﹣1，0）或（5，0）（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）②y=﹣ax2+4ax﹣5（3）a=或
【解析】
试题分析：（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；
（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点横坐标，即可解题；
②根据抛物线翻折理论即可解题；
（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题
试题解析：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，
∴对称轴为y=2；
∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；
∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；
（2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，
整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；
∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；
∴抛物线C1一定通过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；
②这两个点连线为y=﹣5；
将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，不过对称轴没变；
∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5，
（3）抛物线C2顶点到x轴距离为2，
则x=2时，y=2或者﹣2；
当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；
当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；
∴a=或；
考点：1、抛物线与x轴交点；2、二次函数图象与几何变换

14．已知抛物线图象如图所示：
（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后解析式为　　．
（2）判断△ABC形状，并阐明理由．
（3）在抛物线对称轴上与否存在一点P，使得以A、C、P为顶点三角形是等腰三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，阐明理由．

【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形；（3）存在，、、．
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象平移规律，可得新函数解析式；
（2）根据自变量与函数值对应关系，可得A，B，C坐标，根据勾股定理及逆定理，可得答案；
（3）根据等腰三角形定义，分三种状况，可得有关n方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
（1）将该抛物线向上平移2个单位，得：yx2x+2．
故答案为yx2x+2；
（2）当y=0时，x2x+2=0，解得：x1=﹣4，x2=1，即B（﹣4，0），A（1，0）．
当x=0时，y=2，即C（0，2）．
AB=1﹣（﹣4）=5，AB2=25，AC2=（1﹣0）2+（0﹣2）2=5，BC2=（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2=20．
∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；
（3）yx2x+2对称轴是x，设P（，n），AP2=（1）2+n2n2，CP2（2﹣n）2，AC2=12+22=5.分三种状况讨论：
①当AP=AC时，AP2=AC2，n2=5，方程无解；
②当AP=CP时，AP2=CP2，n2（2﹣n）2，解得：n=0，即P1（，0）；
③当AC=CP时，AC2=CP2，（2﹣n）2=5，解得：n1=2，n2=2，P2（，2），P3（，2）．
综上所述：在抛物线对称轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点三角形是等腰三角形，点P坐标（，0），（，2），（，2）．
【点睛】
本题考察了二次函数综合题．解（1）关键是二次函数图象平移，解（2）关键是运用勾股定理及逆定理；解（3）关键是运用等腰三角形定义得出有关n方程，要分类讨论，以防遗漏．

15．空地上有一段长为a米旧墙MN，某人运用旧墙和木栏围成一种矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．
（1）已知a=20，矩形菜园一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成矩形菜园面积为450平方米．如图1，求所运用旧墙AD长；
（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理运用旧墙及所给木栏设计一种方案，使得所围成矩形菜园ABCD面积最大，并求面积最大值．

【答案】（1）运用旧墙AD长为10米．（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）按题意设出AD，表达AB构成方程；
（2）根据旧墙长度a和AD长度表达矩形菜园长和宽，注意分类讨论s与菜园边长之间数量关系．
【详解】
（1）设AD=x米，则AB=米
依题意得，＝450
解得x1=10，x2=90
∵a=20，且x≤a
∴x=90舍去
∴运用旧墙AD长为10米．
（2）设AD=x米，矩形ABCD面积为S平方米
①假如按图一方案围成矩形菜园，依题意
得：
S=，0＜x＜a
∵0＜a＜50
∴x＜a＜50时，S随x增大而增大
当x=a时，S最大=50a-a2

②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得
S=，a≤x＜50+
当a＜25+＜50时，即0＜a＜时，
则x=25+时，S最大=（25+）2=，
当25+≤a，即≤a＜50时，S随x增大而减小
∴x=a时，S最大==，
综合①②，当0＜a＜时，-（）=＞0
＞，此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为平方米
当≤a＜50时，两种方案围成矩形菜园面积最大值相等．
∴当0＜a＜时，围成长和宽均为（25+）米矩形菜园面积最大，最大面积为平方米；
当≤a＜50时，围成长为a米，宽为（50-）米矩形菜园面积最大，最大面积为（）平方米．
【点睛】
本题以实际应用为背景，考察了一元二次方程与二次函数最值讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系．