上海锐角三角比讲义全.doc

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海伊教育学科教师辅导讲义
学员编号：年 级：九年级课时数：
学员：鸿敬辅导科目：数学学科教师：高老师
课题
锐角三角比
讲课时间：10月25日
备课时间：10月25日

教学目

（1）理解锐角三角比概念。
（2）会求特殊锐角（30°、45°、60°）三角比值。
（3）会用计算器求锐角三角比值；能根据锐角三角比值，运用计算器求锐角大小。
（4）会解直角三角形。
（5）理解仰角、俯角、坡度、坡角等概念，并能处理有关实际问题。

重点、难点

重点是应用锐角三角比意义与运用解直角三角形措施进行有关几何计算。
难点是解直角三角形应用。

讲课措施

联想质疑——交流研讨——归纳总结——实践提高

教学过程
一、 情景设置（知识导入）

二、 探索研究
[知识点总结与归纳]
锐角三角比概念（正切、余切、正弦、余弦）
已知锐角，求三角比
已知锐角一种三角比，求锐角
直角三角形中边角关系（三边之间、两锐角之间、一锐角与两边之间）
解直角三角形
已知一边和一锐角
已知两边
解直角三角形应用

1、 锐角三角比
（1） 定义：在直角三角形ABC中，为一锐角，则
∠A正弦=
∠A余弦= ,
∠A正切=
∠A余切=
注：三角函数值是一种比值．
定义前提是有一种角为直角，故假如题目中无直角条件时，应设法构造一种直角。
若为一锐角，则取值分别是：
。
同一种锐角正切和余切值互为倒数，即：

2、 特殊锐角三角比值
（1） 特殊锐角（30°，45°，60°）三角比值

（2） 同角，互余两角多三角比之间关系：
倒数关系：
平方关系：
积商关系：
余角和余函数关系：
假如，那么（正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系）。

注意：求锐角三角比值问题
（1） 在直角三角形中，给定两边求锐角三角比，关键是弄清某锐角“对边”“邻边”，掌握三角比定义。
（2） 给出锐角度数，求这个锐角三角比
特殊锐角，一般状况下，使用精确值；在实际应用中，根据问题规定处理。
求非特殊锐角三角比值，使用计算器或查表求值。
（3） 当锐角不是直角三角形角，首先观测有否相等锐角可代换，并且可代换锐角含在某直角三角形中，假如没有可代换相等锐角，可作合适垂线构建具有这个锐角直角三角形。
3、 解直角三角形
（1） 在直角三角形中，除直角外，尚有5个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外已知两个元素（其中至少具有一条边），求出其他所有未知元素过程，叫做解直角三角形。
（2） 解直角三角形常用到关系：
锐角关系：，
三边关系：勾股定理：
边角关系：
直角三角形面积：
（3） 当需规定解三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形，再求解。
（4） 解直角三角形类型有：
已知两条边；已知一条边和一种锐角。
（5） 解法分类：已知斜边和一种锐角解直角三角形；
已知一条直角边和一种锐角解直角三角形；
已知两边解直角三角形．

注意：解直角三角形措施：可概括为“有弦（斜边）则弦（正弦，余弦），无弦用切，宁乘勿除，取原避中”。这几句话含义是：当已知条件中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，则用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则尽量用乘法，避免用除法；既可以用已知原始数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，避免用中间数据后引起连锁错误或较大误差。

4、 解直角三角形应用
（1） 仰角和俯角 视线和水平线所成角中，视线在水平线上方叫做仰角，在水平线下方叫做俯角。
（2） 坡角和坡度 坡面与水平面夹角叫做坡角。坡面铅直高度h与水平宽度l比叫做坡度（或叫做坡比），用i标志，即i=h:l,一般坡度要写成1:m形式，坡角正切是坡面坡度。
（3） 方向角 一般以观测者位置为中心将正北或正南方向为始边旋转到目方向线所成锐角。

三、 课堂练习
例1已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么如下各式中，对是
　　　A、　　　B、　　　C、　　　D、
[考点规定]此题考察锐角三角函数概念。
[思绪点拨]根据题目所给条件，可画出直角三角形，结合图形容易判断是∠B正切值。
[答案]选C。
[措施点拨]部分学生会直接凭想象判断并选择成果，从而容易导致错误。突破措施：此类题目自身难度不大，但却容易出现错误，关键是要画出图形，结合图形进行判断更具直观性，可减少错误发生。

例2某山路坡面坡度,某人沿此山路向上前进200米,那么他在本来基础上升高了__________米．
[考点规定]本是考察坡度与坡角正切值关系。
[思绪点拨]坡度即坡角正切值为，因此坡角正弦值可求得等于，因此沿着山路前进200米，则升高200×=10（米）。[答案]填10。

[措施点拨]少数学生由于未能对理解坡度意义，而出现使用错误。突破措施：牢记坡度表达坡角正切值即坡角对边：坡角邻边=，然后再结合直角三角形，可求出坡角正弦值，从而容易求得成果。
例3如图8-1，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC=．
求：（1）DC长；（2）sinB值．
[考点规定]此题考察锐三角比概念有关知识与其简单运用。
[思绪点拨]（1）∵在Rt△ABC中，cos∠ADC＝＝，设CD＝3k，∴AD＝5k
又∵BC＝AD，∴3k+4＝5k，∴k＝2． ∴CD＝3k＝6
（2）∵BC＝3k＋4＝6＋4＝10，AC＝＝4k＝8
∴AB＝
∴sinB= [答案]（1）CD＝6；（2）sinB=。
[措施点拨]此题关键是抓住“AD＝BC”这一相等关系，应用锐角三角函数定义与勾股定理解题．
0.5m

3m

例4如下图，秋千链子长度为3m，静止时秋千踏板（大小忽视不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线夹角）约为，则秋千踏板与地面最大距离约为多少？(参照数据：≈0.8,≈0.6)
[考点规定]此题考察运用锐角三角比概念和解直角三角形处理实际生活中直角三角形问题．
[思绪点拨]设秋千链子上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B处．过点A，
B铅垂线分别为AD，BE，点D，E在地面上，过B作BC⊥AD于点C．
在Rt中，∵，，
∴AC=≈=1.8（m）．
图8-3-2
∴≈（m）．　
∴≈（m）．
[答案]秋千摆动时踏板与地面最大距离约为m．
[措施点拨]部分学生想直接求出踏板离地最高距离即BE，但却缺乏条件。突破措施：通过作辅助线，将BE转化到CD位置上，根据题目所给条件容易求出AC，从而可求得CD长。
解题关键：运用解直角三角形求解实际问题关键在于构造合适直角三角形。

●考点突破措施总结
锐角三角函数与解直角三角形在近年中考中，难度比此前有所减少，与课改相一致是提高了应用规定，强调运用解直角三角形知识处理生活实际中有关测量、航海、定位等方面运用。因此，在本专题中，有如下几点应加以注意。
1.对理解锐三角函数概念，能精确体现各三角函数，并能说出常用特殊角三角函数值。
2.在完毕锐角三角函数填空、选择题时，要能根据题意画出有关图形，结合图形解题更具直观性。
3.能将实际问题转化为有关直角三角形问题，即把实际问题抽象为几何问题，研究图形，运用数形结合思想、方程思想等处理生活问题。
4.重视基础，不停创新，掌握解直角三角形基本技能，能灵活应对在测量、航海、定位等现代生活中常见问题，这也是后来中考命题趋势。

四、 课后作业
一、填空题
1．如图，假如△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇长为____________．
(不取近似值. 如下数据供解题使用：sin15°=，cos15°=)
2．用计算器计算：．（精确到0.01）
3．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直公路，从甲地测得公路走向是北偏东48°．甲、乙两地间同步动工，若干天后，公路精确接通，则乙地所修公路走向是南偏西度．
第4题图
x
O
A
y
B
北
甲
北
乙
第3题图

第1题图

4．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个4单位，抵达B点后观测到原点O在它南偏东60°方向上，则本来A坐标为（成果保留根号）．
5．求值：sin260°+cos260°= ．
6．在直角三角形ABC中，∠A=，BC=13，AB=12，那么．
7．根据图中所给数据，求得避雷针CD长约为_______m（成果精确到0.01m）．（可用计算器求，也可用如下参照数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）
A
40°
52m
C
D
第5题图
B
43°¤

第6题图

8．如图，自动扶梯AB段长度为20米，倾斜角A为α，高度BC为米（成果用含α三角比表达）．
二、选择题
9．在△ABC中，∠C＝900，AC＝BC＝1，则tanA值是（ ）
A． B． C．1 D．
10．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上高线，已知∠ACD正弦值是，则值是（ ）
A． B． C． D．
第11题图
11．如图，梯子AB靠在墙上，梯子底端A到墙根O距离为2米，梯子顶端B到地面距离为7米．现将梯子底端A向外移动到，使梯子底端到墙根O距离等于3米，同步梯子顶端B下降到，那么（ ）
A．等于1米 B．不小于1米
C．不不小于1米 D．不能确定
第12题图
12．如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD＝AB，连结CD，若cot∠BCD＝3，则tanA＝（ ）
A． B．1 C． D．
三、解答题
13．已知等腰梯形ABCD中，AD＋BC＝18cm，sin∠ABC＝，AC与BD相交于点O，∠BOC＝1200，试求AB长．
第13题图

14．如图，河对岸有一铁塔AB．在C处测得塔顶A仰角为30°，向塔前进16米抵达D，在D处测得A仰角为45°，求铁塔AB高．

15．如图，本市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB=5m，则BC长度是多少？现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED长度为多少？（成果保留三个有效数字）
[参照数据：]

●章节检测答案
一、填空题
1．（点拨：连结PP＇，过点B作BD⊥PP＇，由于∠PBP＇=30°，因此∠PBD=15°，运用sin15°=，先求出PD，乘以2即得PP＇）
2．2.35
3．48（点拨：根据两直线平行，错角相等判断）
4．(0，)（点拨：过点B作BC⊥AO，运用勾股定理或三角函数可分别求得AC与OC长）
5．1（点拨：根据公式sin2+cos2=1）
6．（点拨：先根据勾股定理求得AC=5，再根据求出成果）
7．4.86（点拨：运用正切函数分别求了BD，BC长）
8．（点拨：根据，求得）
二、选择题
9． C
10．D
11．C（点拨：运用勾股定理先求出AB长，再求出长）
12．A（点拨：过点D作DE⊥CB延长线于点E，易证得△ACB与△DEB全等，因此∠A=∠BDE，BC=BE。又由于cot∠BCD＝3，所CE=3DE，所tanA=tan∠BDE=）
三、解答题
13．解：如图，作DE∥AC交BC延长线于E，则四边形ACED是平行四边形．
∴AD＝CE，DE＝AC，易证△ABC≌△DCB
∴AC＝DB，BD＝DE
∴△DBE为等腰三角形
BE＝BC＋AD＝18cm
分别过A、D作AG⊥BC于G，DF⊥BC于F
∵∠BDE＝∠BOC＝1200，∴∠BDF＝600
∴BF＝BE＝9cm，AG＝DF＝cm
在Rt△ABG中，sin∠ABG＝
∴AB＝（cm）
答：AB长是 cm．
14．在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB．
在Rt△ABC中， ∵∠ACB=30°， ∴BC=AB．
设AB=x（米），∵CD=16，∴BC=x+16.∴x+16=x
． 即铁塔AB高为米．
15．在R t△BCD中，∵ BD=5, ∴ BC=5= 4.1955≈4.20.
在R t△BCD中，BE=BC+CE= 6.20,
∴ DE== =≈7.96
答：BC长度约为4.20,钢缆ED长度约7.96.
（若BC=4.1955暂不扣分，不过ED长度未保留三个有效数字扣1分）

8. 近三年中考数学有关锐角三角比题型

年份
考点
分值

锐角三角比概念、坡度
14（8）

锐角三角比概念
10（5）

锐角三角比概念、解直角三角形
24（16）

（4分）
A
B
C
图6
18．在中，，（如图6）．假如圆半径为，且通过点，那么线段长等于．

（10分）
21．（此题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）
“创意设计”企业员工小王不慎将墨水泼在一设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清晰（如图7所示）．已知图纸上图形是某建筑物横断面示意图，它是以圆半径所在直线为对称轴轴对称图形，是与圆交点．
O
C
A
D
E
H
图8

图7

（1）请你协助小王在图8中把图形补画完整；
（2）由于图纸中圆半径值已看不清晰，根据上述信息（图纸中是坡面坡度），求值．

（10分）
21．（此题满分10分，每题满分各5分）
如图4，在梯形中，，联结．
（1）求值；
（2）若分别是中点，联结，求线段长．
A
D
C
图4
B

（10分）
21.机器人“海宝”在某圆形区域演出“按指令行走”，如图5所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最终沿正向行走至点C处，点B、C都在圆O上.（1）求弦BC长；（2）求圆O半径长.
图5
（此题参照数据：sin 67.4° = ，cos 67.4° = ，tan 67.4° = ）

（14分）
25．如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC延长线交于点P.
（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE长；
（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD正切值；
（3）若，设CE=x，△ABC周长为y，求y有关x函数关系式.

图9 图10(备用) 图11(备

9. 课后考点巩固
考点一、锐角三角比概念：
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，那么等于………………………………（ ）.
(A)tanA； (B)cotA ； (C)sinA ； (D)cosA .
2. Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=,∠A =,则AB长为…………………（ ）
（A） ； （B） ； （C） ； （D） ．
3. 如图，在△ABC中，AB=2,AC=3,BC=4,则值是……………………（ ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
（A）　；（Ｂ）；　（Ｃ）；　（Ｄ）以上都不是．

考点二、特殊锐角三角比值：
１．计算：

２．求值：

３．求值：

考点三、锐角三角比计算：
A
B
C
D
E
G
1. 如图，在△ABC中，AB=AC , BD、CE分别为两腰上中线，且BD⊥CE，则=__________.

2. 如图，矩形ABCD中，AB=3 , ，E为 BC 边上一点，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线AC上，记作B′.
（1）求BE长；
（2）连接DB′，求cot∠B’DC值.
A D

B′

BE C

3. 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADB=45°, A D
翻折梯形ABCD，使点B重叠于点D，折痕分别交边AB、 F
BC于F、E，若AD=6,BC=14,
求：（1）BE长；
（2）∠C余切值.

B E C

4. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°， A
AC=BC，P是△ABC一点，且
∠APB=∠APC=135°.
（1） 求证：△CPA∽△APB；
（2） 试求tan∠PCB值.
P

C B

考点四、仰角、俯角与坡度、坡角：
1. 某飞机飞行高度为，从飞机上测得地面控制点俯角为，那么飞机到控制点距离是________________.（用与含三角比表达）
2. 某山路路面坡度为1:，若沿此山路向上前进90米，则升高了_______米.
3. 一种小球由地面沿着坡度1:2坡面向上前进了10米，此时小球距离地面高度为______米.
4. 修筑一坡度为3:4大坝，假如设大坝斜坡坡角为，那么∠正切值是……（ ）.
(A) ; (B) ; (C) ; (D) .

考点五、解直角三角形与应用：
1. 底角为15°，腰长为6等腰三角形面积是____________.
2. 如图，A, B , C 三点在同一平面，从山脚缆车站A测得山顶C仰角为
45°，测得另一缆车站B仰角为30°，AB间缆绳长500米（自然弯曲忽视不计）.(≈1.73,精确到1米)
（1） 求缆车站B与缆车站A间垂直距离；
（2） 乘缆车达缆车站B，从缆车站B测得山顶C仰角为60°，求山顶C与缆车站A间垂直距离.
C

B

A 水平线 M

3. 如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,D是边AB上一点，且
tan∠BCD=. A
(1) 试求sinB值； D
(2) 试求△BCD面积.

B C

4. 如图，沙泾河一段两岸、互相平行，C、D是河岸上间隔60米两个电线杆.
小明在河岸上点A处测得∠DAB=35°，然后沿河岸走了120米抵达B处，测得∠CBF=70°，求该段河流宽度CF值.（成果精确到0.1米,计算中也许用到数据如下表）
D C

角度
sin
cos
tan
35°
0.57
0.82
0.70
70°
0.94
0.34
2.75

A B F

10.课后考点巩固练习：
1、直角三角形斜边与一直角边比是：1，且较大锐角为θ，则sinθ等于（ ）
A． B． C． D．
2、已知楼房AB高50m，如图，铁塔塔基距楼房房基间水平距离BD为50m，塔高CD为m．则（ ）
A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°

3、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD长为（ ）
A． B．2 C．1 D．2

4、横断面为等腰梯形河坝，若下底AB=，上底CD=7.5，高为4，那么斜坡CB坡度为（ ）
A． B． C． D．：1
5、如图，某建筑物BC直立于水平地面上，AC=9米，要建造阶梯AB，使每阶高不超过20厘米，则此阶梯至少要建________阶（最终一阶局限性20厘米时，按1阶计算，取1.732）．

6、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，AD∶BC=2∶5，E是CD上一点，假如沿折痕BE将ΔBCE翻折，点C恰好与点A重叠，求∠ABE正切值？ A D

E

B C

7、如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，若、长是有关一元二次
方程两个根，且
（1）求值．
（2）若为轴上点，且求通过、两点直线解析式，并判断与与否相似？
（3）若点在平面直角坐标系，则在直线上与否存在点使以、、、为顶点四边形为菱形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请阐明理由．

x
y
A
D
B
O
C

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