2025年初三数学二次函数的专项培优练习题及答案.doc

-初三数学 二次函数专题 培优练习题及答案

一、二次函数
1．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c图像通过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上一种动点，设其横坐标为m.

（1）求抛物线解析式；
（2）若动点P在直线OE下方抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F是抛物线对称轴l上一点，在抛物线上与否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件点P坐标；若不存在，请阐明理由.
【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点坐标为 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.
【解析】
分析：（1）运用对称性可得点D坐标，运用交点式可得抛物线解析式；
（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE解析式表达点G坐标，表达PG长，根据面积和可得四边形AOPE面积，运用配措施可得其最大值；
（3）存在四种状况：
如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P坐标；同理可得其他图形中点P坐标．
详解：（1）如图1，设抛物线与x轴另一种交点为D，

由对称性得：D（3，0），
设抛物线解析式为：y=a（x-1）（x-3），
把A（0，3）代入得：3=3a，
a=1，
∴抛物线解析式；y=x2-4x+3；
（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），

∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠AOE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=3，
∴E（3，3），
易得OE解析式为：y=x，
过P作PG∥y轴，交OE于点G，
∴G（m，m），
∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，
∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，
=×3×3+PG•AE，
=+×3×（-m2+5m-3），
=-m2+m，
=（m-）2+，
∵-＜0，
∴当m=时，S有最大值是；
（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，
易得△OMP≌△PNF，
∴OM=PN，
∵P（m，m2-4m+3），
则-m2+4m-3=2-m，
解得：m=或，
∴P坐标为（，）或（，）；
如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，
∴PN=FM，
则-m2+4m-3=m-2，
解得：x=或；
P坐标为（，）或（，）；
综上所述，点P坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
点睛：本题属于二次函数综合题，重要考察了二次函数综合应用，相似三角形判定与性质以及解一元二次方程措施，解第（2）问时需要运用配措施，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程思想处理问题．

2．如图，有关x二次函数y=x2+bx+c图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数体现式；
（2）在y轴上与否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．祈求出点P坐标；
（3）有一种点M从点A出发，以每秒1个单位速度在AB上向点B运动，另一种点N从点D与点M同步出发，以每秒2个单位速度在抛物线对称轴上运动，当点M抵达点B时，点M、N同步停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
【答案】（1）二次函数体现式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒抵达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【解析】
【分析】
（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数体现式；
（2）先求出点B坐标，再根据勾股定理求得BC长，当△PBC为等腰三角形时分三种状况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分别根据这三种状况求出点P坐标；
（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【详解】
解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，

解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数体现式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种状况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P3（0，-3）；
③当BP=BC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重叠，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；

（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
当点M出发1秒抵达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．

3．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴正半轴交于点A．
（1）求抛物线解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x取值范围；
（2）在第二象限内抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB面积．

【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣4x，自变量x取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB面积=15．
【解析】
【分析】
（1）将函数图象通过点B坐标代入函数解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P坐标，将△PAB面积构导致长方形去掉三个三角形面积．
【详解】
（1）由题意得，，
解得，
∴抛物线解析式为y=x2-4x，
令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，
结合图象知，A坐标为（4，0），
根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x取值范围是0≤x≤4；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，

设P（x，x2-4x）,
∵PA⊥BA
∴∠PAF+∠BAE=90°,
∵∠PAF+∠FPA=90°,
∴∠FPA=∠BAE
又∠PFA=∠AEB=90°
∴△PFA∽△AEB,
∴，即，
解得，x= −1，x=4（舍去）
∴x2-4x=-5
∴点P坐标为（-1，-5），
又∵B点坐标为（1，-3），易得到BP直线为y=-4x+1
因此BP与x轴交点为（，0）
∴S△PAB=
【点睛】
本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题关键，尤其是运用待定系数法将两条直线体现式解出，运用点坐标求三角形面积是关键．

4．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2通过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B；点P是抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2上一动点，且点P在x轴下方，过点P作x轴垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D，过点D作PD垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D′（不与点D重叠），连接PD′，设点P横坐标为m：
（1）①直接写出a值；
②直接写出抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2函数体现式一般式；
（2）当抛物线y＝a（x﹣h）2通过原点时，设△PDD′与△OAB重叠部分图形周长为L：
①求值；
②直接写出L与m之间函数关系式；
（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、D、D′为顶点四边形是菱形？直接写出h值．

【答案】（1）①；②y＝﹣2x；
（2）①1；
②L＝；
（3）h＝±．
【解析】
【分析】
（1）①将x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣2）2﹣2中计算即可；②y＝﹣2x；
（2）将（0，0）代入y＝a（x﹣h）2中，可求得a＝，y＝x2，待定系数法求OB、AB解析式，由点P横坐标为m，即可表达出对应线段求解；
（3）以点O、A、D、D′为顶点四边形是菱形，DD′＝OA，可知点D纵坐标为2，再由AD＝OA＝4即可求出h值．
【详解】
解：（1）①将x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣2）2﹣2中，
得：0＝a（0﹣2）2﹣2，
解得：a＝；
②y＝﹣2x；．
（2）∵抛物线y＝a（x﹣h）2通过原点，a＝；
∴y＝x2，
∴A（4，0），B（2，﹣2），
易得：直线OB解析式为：y＝﹣x，直线AB解析式为：y＝x﹣4
如图1，

，
①

②如图1，当0＜m≤2时，L＝OE+EF+OF＝，
当2＜m＜4时，如图2，设PD′交x轴于G，交AB于H，PD交x轴于E，交AB于F，

则，
，

∵DD′∥EG
，即：EG•PD＝PE•DD′，得：EG•（2m）＝（2m﹣m2）•2m
∴EG＝2m﹣m2，EF＝4﹣m
∴L＝EG+EF+FH+GH＝EG+EF+PG

；
（3）如图3，

∵OADD′为菱形
∴AD＝AO＝DD′＝4，
∴PD＝2，

【点睛】
本题是二次函数综合题，考察了待定系数法求函数解析式，菱形性质，抛物线平移等，解题时要注意考虑分段函数表达措施．

5．如图所示，已知平面直角坐标系xOy，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)

(1)求该抛物线体现式，并写出该抛物线对称轴和顶点坐标；
(2)记该抛物线对称轴为直线l，设抛物线上点P(m,n)在第四象限，点P有关直线l对称点为E，点E有关y轴对称点为F，若四边形OAPF面积为20，求m、n值.
【答案】(1)y=-，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）
(2)m、n值分别为 5，-5
【解析】
（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，得：
4b+c-16=0，b+c-1="3" ，
解得：b="4" ， c=0．
因此抛物线体现式为：．
y=-，
因此 抛物线对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）．
（2） 由题可知，E、F点坐标分别为（4-m，n），（m-4，n）．
三角形POF面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，
三角形AOP面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，
四边形OAPF面积= 三角形POF面积+三角形AOP面积=20，
因此 4|n|=20， n=-5．（由于点P(m,n)在第四象限，因此n<0）
又n=-+4m，
因此-4m-5=0，m=5．（由于点P(m,n)在第四象限，因此m>0)
故所求m、n值分别为 5，-5．

6．如图，二次函数y=ax2+bx+c图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）；
（1）求二次函数解析式；
（2）连接AC，在直线AC上方抛物线上与否存在点N，使△NAC面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N坐标，若不存在，阐明理由．
（3）若点M在x轴上，与否存在点M，使以B、C、M为顶点三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M坐标；若不存在，阐明理由．
（4）若P为抛物线上一点，过P作PQ⊥BC于Q，在y轴左侧抛物线与否存在点P使△CPQ∽△BCO（点C与点B对应），若存在，求出点P坐标，若不存在，阐明理由．

【答案】（1）二次函数解析式为：y=-x2-x+2；；（2）最大值为1，此时N（-1，2）；（3）M坐标为（-1，0）或（1±，0）或（-，0）；（4）点P坐标为：（-1，2）或（-，-）．
【解析】
【分析】
（1）运用交点式求二次函数解析式；
（2）求直线AC解析式，作辅助线ND，根据抛物线解析式表达N坐标，根据直线AC解析式表达D坐标，表达ND长，运用铅直高度与水平宽度积求三角形ANC面积，根据二次函数最值可得面积最大值，并计算此时N坐标；
（3）分三种状况：当B、C、M为顶点三角形是等腰三角形时，分别以三边为腰，画图形，求M坐标即可；
（4）存在两种状况：①如图4，点P1与点C有关抛物线对称轴对称时符合条件；
②如图5，图3中M（-，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，则△CP2Q∽△BCO，P2为直线CM抛物线交点．
【详解】
（1）∵二次函数y=ax2+bx+c图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），
设二次函数解析式为：y=a（x+2）（x-1），
把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），
a=-1，
∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，
∴二次函数解析式为：y=-x2-x+2；
（2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2），

设直线AC解析式为：y=kx+b，
把A（-2，0）、C（0，2）代入得：，
解得：，
∴直线AC解析式为：y=x+2，
∴D（n，n+2），
∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n，
∴S△ANC=×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1，
∴当n=-1时，△ANC面积有最大值为1，此时N（-1，2），
（3）存在，分三种状况：
①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）；

②如图2，由勾股定理得：BC=，
以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=，
此时，M2（1-，0），M3（1+，0）；
③如图3，作BC中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4，

设OM4=x，则CM4=BM4=x+1，
由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，
解得：x=，
∵M4在x轴负半轴上，
∴M4（-，0），
综上所述，当B、C、M为顶点三角形是等腰三角形时，M坐标为（-1，0）或（1±，0）或（-，0）；
（4）存在两种状况：
①如图4，过C作x轴平行线交抛物线于P1，过P1作P1Q⊥BC，

此时，△CP1Q∽△BCO，
∴点P1与点C有关抛物线对称轴对称，
∴P1（-1，2），
②如图5，由（3）知：当M（-，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，
过P2作P2Q⊥BC，此时，△CP2Q∽△BCO，

易得直线CM解析式为：y=x+2，
则，
解得：P2（-，-），
综上所述，点P坐标为：（-1，2）或（-，-）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，计算量大，考察了运用待定系数法求函数解析式、运用函数解析式求其交点坐标、三角形相似性质和判定、等腰三角形性质和判定，是一种不错二次函数与几何图形综合题，采用了分类讨论思想，第三问和第四问要考虑周全，不要丢解．

7．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（-1，-2），抛物线F：y=x2-2mx+m2-2与直线x=-2交于点P．
（1）当抛物线F通过点C时，求它解析式；
（2）设点P纵坐标为yP，求yP最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤-2，比较y1与y2大小.

【答案】(1) ；(2).
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线F：y=x2-2mx+m2-2过点C（-1，-2），可以求得抛物线F体现式；
（2）根据题意，可以求得yP最小值和此时抛物线体现式，从而可以比较y1与y2大小.
【详解】
(1) ∵抛物线F通过点C（－1，－2），
∴.
∴m1=m2=-1.
∴抛物线F解析式是.
(2)当x=-2时，=.
∴当m=-2时，最小值为－2.
此时抛物线F体现式是.
∴当时，y随x增大而减小.　
∵≤－2，
∴>.
【点睛】
本题考察二次函数性质、二次函数图象上点坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题关键是明确题意，找出所求问题需要条件，运用数形结合思想解答问题．

8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线顶点，过点D作x轴垂线，垂足为E，连接DB．
（1）求此抛物线解析式及顶点D坐标；
（2）点M是抛物线上动点，设点M横坐标为m．
①当∠MBA＝∠BDE时，求点M坐标；
②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m值．

【答案】（1）（1，4）（2）①点M坐标（﹣，）或（﹣，﹣）；②m值为 或
【解析】
【分析】
（1）运用待定系数法即可处理问题；
（2）①根据tan∠MBA=，tan∠BDE==，由∠MBA=∠BDE，构建方程即可处理问题；②由于点M、N有关抛物线对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线对称轴与x轴交点，即OP=1，易证GM=GP，即|-m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可处理问题.
【详解】
（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，
得到，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，
∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D坐标（1，4）；
（2）①作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB=90°，设M（m，﹣m2+2m+3），

∴MG=|﹣m2+2m+3|，BG=3﹣m，
∴tan∠MBA=，
∵DE⊥x轴，D（1，4），
∴∠DEB=90°，DE=4，OE=1，
∵B（3，0），
∴BE=2，
∴tan∠BDE==，
∵∠MBA=∠BDE，
∴=，
当点M在x轴上方时， =，
解得m=﹣或3（舍弃），
∴M（﹣，），
当点M在x轴下方时， =，
解得m=﹣或m=3（舍弃），
∴点M（﹣，﹣），
综上所述，满足条件点M坐标（﹣，）或（﹣，﹣）；
②如图中，∵MN∥x轴，

∴点M、N有关抛物线对称轴对称，
∵四边形MPNQ是正方形，
∴点P是抛物线对称轴与x轴交点，即OP=1，
易证GM=GP，即|﹣m2+2m+3|=|1﹣m|，
当﹣m2+2m+3=1﹣m时，解得m=，
当﹣m2+2m+3=m﹣1时，解得m=，
∴满足条件m值为或.
【点睛】
本题考察二次函数综合题、锐角三角函数、正方形判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形处理问题，学会运用参数构建方程处理问题，属于中考压轴题．

9．如图，抛物线图象过点.

（1）求抛物线解析式；
（2）在抛物线对称轴上与否存在一点P，使得△PAC周长最小，若存在，祈求出点P坐标及△PAC周长；若不存在，请阐明理由；
（3）在（2）条件下，在x轴上方抛物线上与否存在点M（不与C点重叠），使得？若存在，祈求出点M坐标；若不存在，请阐明理由．
【答案】（1）；（2）存在，点，周长为：；（3）存在，点M坐标为
【解析】
【分析】
（1）由于条件给出抛物线与x轴交点，故可设交点式，把点C代入即求得a值，减小计算量．
（2）由于点A、B有关对称轴：直线对称，故有，则，因此当C、P、B在同一直线上时，最小．运用点A、B、C坐标求AC、CB长，求直线BC解析式，把代入即求得点P纵坐标．
（3）由可得，当两三角形以PA为底时，高相等，即点C和点M到直线PA距离相等．又由于M在x轴上方，故有．由点A、P坐标求直线AP解析式，即得到直线CM解析式．把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线与x轴交于点
∴可设交点式
把点代入得：

∴抛物线解析式为
（2）在抛物线对称轴上存在一点P，使得周长最小．
如图1，连接PB、BC
∵点P在抛物线对称轴直线上，点A、B有关对称轴对称

∵当C、P、B在同一直线上时，最小

最小
设直线BC解析式为
把点B代入得：，解得：
∴直线BC：

∴点使周长最小，最小值为．
（3）存在满足条件点M，使得．
∵S△PAM＝S△PAC
∴当以PA为底时，两三角形等高
∴点C和点M到直线PA距离相等
∵M在x轴上方

，设直线AP解析式为
解得：
∴直线
∴直线CM解析式为：

解得：（即点C），
∴点M坐标为

【点睛】
考察了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称最短途径问题，勾股定理，平行线间距离到处相等，一元二次方程解法．其中第（3）题条件给出点M在x轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单．

10．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1顶点为G．

（1）求出抛物线C1解析式，并写出点G坐标；
（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k值：
（3）在（2）条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上与否存在点N，使得以P、Q、N为顶点三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N坐标：若不存在，请阐明理由．
【答案】（1）抛物线C1解析式为y=﹣x2+2x+3，点G坐标为（1，4）；（2）k=1；（3）M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．
【解析】
【分析】（1）由点A坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；
（2）设抛物线C2解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′坐标为（m+1，0），点G′坐标为（1，m），代入所设解析式求解可得；
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立有关x方程，解之求得x值从而深入求解即可．
【详解】（1）∵点A坐标为（﹣1，0），
∴OA=1，
∴OC=3OA，
∴点C坐标为（0，3），
将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：，
解得：，
∴抛物线C1解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
因此点G坐标为（1，4）；
（2）设抛物线C2解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，
过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，

∵△A′B′G′为等边三角形，
∴G′D=B′D=m，
则点B′坐标为（m+1，0），点G′坐标为（1，m），
将点B′、G′坐标代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：
，
解得：（舍），，
∴k=1；
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），
∴PQ=OA=1，
∵∠AOQ、∠PQN均为钝角，
∴△AOQ≌△PQN，
如图2，延长PQ交直线y=﹣1于点H，

则∠QHN=∠OMQ=90°，
又∵△AOQ≌△PQN，
∴OQ=QN，∠AOQ=∠PQN，
∴∠MOQ=∠HQN，
∴△OQM≌△QNH（AAS），
∴OM=QH，即x=﹣x2+2x+2+1，
解得：x=（负值舍去），
当x=时，HN=QM=﹣x2+2x+2=，点M（，0），
∴点N坐标为（+，﹣1），即（，﹣1）；
或（﹣，﹣1），即（1，﹣1）；
如图3，

同理可得△OQM≌△PNH，
∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，
解得：x=﹣1（舍）或x=4，
当x=4时，点M坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，
∴点N坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；
综上点M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．
【点睛】本题考察是二次函数综合题，波及到知识有待定系数法、等边三角形性质、全等三角形判定与性质等，纯熟掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形性质、全等三角形判定与性质、运用分类讨论思想是解题关键.

11．如图，已知二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点．

（1）求二次函数解析式；
（2）将沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，直线y=m（m＞0）交于M、N两点，求线段MN长度（用含m代数式表达）；
（3）在（2）条件下，、交于A、B两点，假如直线y=m与、图象形成封闭曲线交于C、D两点（C在左侧），直线y=﹣m与、图象形成封闭曲线交于E、F两点（E在左侧），求证：四边形CEFD是平行四边形．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）根据待定系数法即可处理问题．
（2）先求出抛物线y2顶点坐标，再求出其解析式，运用方程组以及根与系数关系即可求出MN．
（3）用类似（2）措施，分别求出CD、EF即可处理问题．
试题解析：（1）∵二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点，∴，解得：，∴二次函数解析式．
（2）∵=，∴顶点坐标（﹣3，），∵将沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，∴抛物线顶点坐标（﹣1，），∴抛物线为，由，消去y整理得到，设，是它两个根，则MN===；
（3）由，消去y整理得到，设两个根为，，则CD===，由，消去y得到，设两个根为，，则EF===，∴EF=CD，EF∥CD，∴四边形CEFD是平行四边形．

考点：二次函数综合题．

12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线l通过A，C两点，连接BC．
（1）求直线l解析式；
（2）若直线x=m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE长；
（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内抛物线上，与否存在点P，使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出点P坐标；若不存在，请阐明理由．

【答案】（1）y=；（2）DE=；（3）存在点P（，），使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题目中函数解析式可以求得点A和点C坐标，从而可以求得直线l函数解析式；
（2）根据题意作出合适辅助线，运用三角形相似和勾股定理可以解答本题；
（3）根据题意画出对应图形，然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC=∠OCB，然后根据题目中条件和图形，运用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题．
【详解】
（1）∵抛物线y=x2+x-2，
∴当y=0时，得x1=1，x2=-4，当x=0时，y=-2，
∵抛物线y=x2+x-2与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，
∴点A坐标为（-4，0），点B（1，0），点C（0，-2），
∵直线l通过A，C两点，设直线l函数解析式为y=kx+b，
，得，
即直线l函数解析式为y=−x−2；
（2）直线ED与x轴交于点F，如图1所示，

由（1）可得，
AO=4，OC=2，∠AOC=90°，
∴AC=2，
∴OD=，
∵OD⊥AC，OA⊥OC，∠OAD=∠CAO，
∴△AOD∽△ACO，
∴，
即，得AD=，
∵EF⊥x轴，∠ADC=90°，
∴EF∥OC，
∴△ADF∽△ACO，
∴，
解得，AF=，DF=，
∴OF=4-=，
∴m=-，
当m=-时，y=×（−）2+×（-）-2=-，
∴EF=，
∴DE=EF-FD=−＝；
（3）存在点P，使∠BAP=∠BCO-∠BAG，
理由：作GM⊥AC于点M，作PN⊥x轴于点N，如图2所示，

∵点A（-4，0），点B（1，0），点C（0，-2），
∴OA=4，OB=1，OC=2，
∴tan∠OAC=，tan∠OCB=，AC=2，
∴∠OAC=∠OCB，
∵∠BAP=∠BCO-∠BAG，∠GAM=∠OAC-∠BAG，
∴∠BAP=∠GAM，
∵点G（0，-1），AC=2，OA=4，
∴OG=1，GC=1，
∴AG=，，即，
解得，GM=，
∴AM==，
∴tan∠GAM=，
∴tan∠PAN=，
设点P坐标为（n，n2+n-2），
∴AN=4+n，PN=n2+n-2，
∴，
解得，n1=，n2=-4（舍去），
当n=时，n2+n-2=，
∴点P坐标为（，），
即存在点P（，），使∠BAP=∠BCO-∠BAG．
【点睛】
本题是一道二次函数综合题，解答本题关键是明确题意，作出合适辅助线，找出所求问题需要条件，运用三角形相似、锐角三角函数和二次函数性质解答．

13．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=c分别交y轴正半轴于点C和第一象限点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上一点（包括端点），其横坐标为m．
（1）直接写出点P坐标和抛物线解析式；
（2）当m为何值时，△MAB面积S获得最小值和最大值？请阐明理由；
（3）求满足∠MPO=∠POA点M坐标．

【答案】（1）点P坐标为（3，4），抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）当m=0时，S取最小值，最小值为；当m=3时，S取最大值，最大值为5．（3）满足∠MPO=∠POA点M坐标为（0，4）或（，）．
【解析】
【分析】（1）代入y=c可求出点C、P坐标，运用一次函数图象上点坐标特征可求出点A、B坐标，再由△PCB≌△BOA即可得出b、c值，进而可得出点P坐标及抛物线解析式；
（2）运用二次函数图象上点坐标特征求出点F坐标，过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，由点M横坐标可得出点M、E坐标，进而可得出ME长度，再运用三角形面积公式可找出S=﹣（m﹣3）2+5，由m取值范围结合二次函数性质即可求出S最大值及最小值；
（3）分两种状况考虑：①当点M在线段OP上方时，由CP∥x轴运用平行线性质可得出：当点C、M重叠时，∠MPO=∠POA，由此可找出点M坐标；②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO=DP，此时∠DPO=∠POA，设点D坐标为（n，0），则DO=n，DP=，由DO=DP可求出n值，进而可得出点D坐标，由点P、D坐标运用待定系数法即可求出直线PD解析式，再联立直线PD及抛物线解析式成方程组，通过解方程组求出点M坐标．综上此题得解．
【详解】（1）当y=c时，有c=﹣x2+bx+c，
解得：x1=0，x2=b，
∴点C坐标为（0，c），点P坐标为（b，c），
∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A坐标为（1，0），点B坐标为（0，3），
∴OB=3，OA=1，BC=c﹣3，CP=b，
∵△PCB≌△BOA，
∴BC=OA，CP=OB，
∴b=3，c=4，
∴点P坐标为（3，4），抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4；
（2）当y=0时，有﹣x2+3x+4=0，
解得：x1=﹣1，x2=4，
∴点F坐标为（4，0），
过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，如图1所示，
∵点M横坐标为m（0≤m≤4），
∴点M坐标为（m，﹣m2+3m+4），点E坐标为（m，﹣3m+3），
∴ME=﹣m2+3m+4﹣（﹣3m+3）=﹣m2+6m+1，
∴S=OA•ME=﹣m2+3m+=﹣（m﹣3）2+5，
∵﹣＜0，0≤m≤4，
∴当m=0时，S取最小值，最小值为；当m=3时，S取最大值，最大值为5；
（3）①当点M在线段OP上方时，∵CP∥x轴，
∴当点C、M重叠时，∠MPO=∠POA，
∴点M坐标为（0，4）；
②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO=DP，此时∠DPO=∠POA，
设点D坐标为（n，0），则DO=n，DP=，
∴n2=（n﹣3）2+16，
解得：n=，
∴点D坐标为（，0），
设直线PD解析式为y=kx+a（k≠0），
将P（3，4）、D（，0）代入y=kx+a，
，解得：，
∴直线PD解析式为y=﹣x+，
联立直线PD及抛物线解析式成方程组，得：，
解得：，．
∴点M坐标为（，）．
综上所述：满足∠MPO=∠POA点M坐标为（0，4）或（，）．

【点睛】本题考察了待定系数法求一次函数解析式、一次（二次）函数图象上点坐标特征、全等三角形性质、二次函数性质、三角形面积以及等腰三角形性质，解题关键是：（1）运用全等三角形性质求出b、c值；（2）运用三角形面积公式找出S=﹣（m﹣3）2+5；（3）分点M在线段OP上方和点M在线段OP下方两种状况求出点M坐标．

14．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）通过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l垂线，垂足分别为点M、N．

（1）求此抛物线解析式；
（2）求证：AO=AM；
（3）探究：
①当k=0时，直线y=kx与x轴重叠，求出此时值；
②试阐明无论k取何值，值都等于同一种常数．
【答案】解：（1）y=x2﹣1
（2）详见解析
（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）把点C、D坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解。
（2）根据抛物线解析式设出点A坐标，然后求出AO、AM长，即可得证。
（3）①k=0时，求出AM、BN长，然后裔入计算即可得解；
②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表达出，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到有关x一元二次方程，运用根与系数关系表达出x1+x2，x1•2，并求出x12+x22，x12•x22，然后裔入进行计算即可得解。
【详解】
解：（1）∵抛物线y=ax2+c（a≠0）通过C（2，0），D（0，﹣1），
∴，解得。
∴抛物线解析式为y=x2﹣1。
（2）证明：设点A坐标为（m，m2﹣1），
则。
∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M纵坐标为﹣2。
∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1。
∴AO=AM。
（3）①k=0时，直线y=kx与x轴重叠，点A、B在x轴上，
∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，
∴。
②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），
则。
联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，
由根与系数关系得，x1+x