2024年中考数学（苏州）第一次模拟考试（含答案）.docx

2024年中考第一次模拟考试（苏州卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：130分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的绝对值是（　　）
A．2 B． C． D．
2．若分式有意义，则x的取值范围是（    ）
A． B． C． D．且
3．下列计算正确的是（    ）
A． B． C． D．
4．某轮滑队所有队员的年龄只有，，，，（岁）五种情况，其中部分数据如图所示，若队员年龄的唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是（    ）

A． B． C． D．
5．如图，在中，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线交于点，过点作，交于点，若，，则（）

A．85° B．75° C．60° D．55°
6．一个圆锥的底面半径为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（    ）
A． B． C． D．
7．如图在平面直角坐标系中，，且，则点B的坐标是（   ）

A． B． C． D．
8．如图，四边形是菱形，边长为，．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动，同时点沿射线的方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点运动到达点时，点也立刻停止运动，连接．的面积为，点运动的时间为秒，则能大致反映与之间的函数关系的图像是（     ）

A．B．C．D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．稀土是制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关数据表明，我国已探明稀土储量约万吨，居世界第一位，将数万用科学记数法可表示为 ．
10．比较大小： （填“”“”或“”）
11．分解因式 ．
12．如图，一次函数与的图象交于点，则关于x的方程的解是 ．

13．中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），其中的24枚邮票大小相同，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚邮票组成了一个圆环，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，以“大雪”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“上圆弧”的长为，“直边长”为，“下圆弧”的长为，则 （用含，的式子表示）．

14．如图，已知，，与的面积和为10，则的长为 ．

15．如图，在边长相同的小正方形网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为 ．

16．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点为该图象在第一象限内的一点，过点作直线的平行线，交轴于点．若点从点出发，沿着抛物线运动到点，则点经过的路程为 ．

三、解答题（本大题共11个小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算：．
18．（4分）解方程：．
19．（8分）解方程组和不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来：
(1)
(2)解不等式组

20．（8分）某校为了解本校七年级学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：

(1)此次调查中样本容量为_______；在扇形统计图中，“非常重视”所占的圆心角的度数为_______；
(2)补全条形统计图；
(3)该校七年级共有学生400人，请估计该校七年级学生对视力保护“比较重视”的学生人数．
21．（8分）北京时间2023年12月27日14时50分，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟一号甲运载火箭，成功将天目一号气象星座19-22星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．小明和小亮对航天知识都非常感兴趣，他们在中国载人航天网站上了解到，航天知识分为“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”等模块．他们决定从“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”四个模块中各自随机选择一个进行学习，设这四个模块依次为、、、．
(1)小明选择学习“梦圆天路”模块的概率为_____；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选择不同模块的概率．
22．（8分）如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，在菱形的对角线上．

(1)求证：；
(2)若为中点，，求的长．
23．（8分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D．

(1)求一次函数的解析式；
(2)对于反比例函数，当时，写出x的取值范围；
(3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S△BDP＝S△ODA，请求出点P的坐标．
24．（8分）如图，是的直径，点在上，点在外，连接，若；

(1)求证：是的切线；
(2)已知，点是的中点，过点作，交于点，若的半径为10，，求的长.
25．（8分）杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，作为今年我国举办的最为盛大的赛事，是向世界展示中国形象、传播中国文化的重要窗口．宁夏枸杞作为几千年来备受推崇、药食同源的滋补上品，小小的红果凝聚和传承着宁夏这片土地上，珍贵的历史记忆和宝贵的精神财富，已然成为宁夏独特的地域符号、主导产业和文化象征，不但为宁夏社会经济发展作出了积极贡献，也为助力“健康中国”跑出了“加速度”．在宁夏一特产专卖店销售某种枸杞，其进价为每千克元，按每千克元出售，平均每天可售出千克，后来经过市场调查发现，单价每降低元，则平均每天的销售可增加千克，若该专卖店销售这种枸杞要想平均每天获利元，请回答：
(1)为尽可能让利于顾客，赢得市场，每千克枸杞应降价多少元？
(2)根据市场需求，该店将售价定为多少出售，每天可获取最大利润，最大利润是多少？
26．（8分）已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线经过点与点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点在线段下方的抛物线上，过点作的平行线交线段于点，交轴于点．
①如果两点关于抛物线的对称轴对称，联结，当时，求的正切值；
②如果，求点的坐标．
27．（10分）【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的右侧，连接，你能得到哪些结论呢？
①小明说：“在点的运动过程中，只要保证在边的右侧，的度数是固定的，我能求出的度数”；小强说：“在点的运动过程中，只要保证在边的右侧，我能得到从点发出的三条线段的数量关系”．
②小涛说：“我利用，如图2，在上截取，连接，再利用旋转的性质，就可以得到小明和小强的结论”．
请你根据小涛的思路，求的度数，并探究线段的数量关系．

【类比分析】
（2）李老师发现同学们都利用了转化的思想，转化角，转化线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面问题，请你解答．
如图3，在中，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的左侧，连接，过作于点，求证：．
【学以致用】
（3）如图4，在中，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的右侧，连接，过作于，线段的中点为，连接，若，求四边形的面积．

2024年中考第一次模拟考试（苏州卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的绝对值是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．
【详解】解：的绝对值是2，即．
故选：A．
2．若分式有意义，则x的取值范围是（    ）
A． B． C． D．且
【答案】B
【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．根据分式的分母不能为0求解即可得．
【详解】解：∵分式有意义，
，
解得，
故选：B．
3．下列计算正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法是解题的关键．根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法可进行排除选项．
【详解】A． ，原计算错误，故不符合题意；
B．，原计算正确，故符合题意；
C． ，原计算错误，故不符合题意；
D．，原计算错误，故不符合题意；
故选：B．
4．某轮滑队所有队员的年龄只有，，，，（岁）五种情况，其中部分数据如图所示，若队员年龄的唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了条形统计图，中位数，众数，熟悉条形统计图，掌握中位数，众数的相关概念是解答本题的关键．根据题目，利用众数和中位数的定义，得到这组数据的中位数为：，众数是，由此得到答案．
【详解】解：由题图中数据可知：
小于的人有人，大于的人也有人，
这组数据的中位数为：，
队员年龄的唯一的众数与中位数相等，
众数是，即年龄为的人最多，
岁的队员最少有人，
故选：．
5．如图，在中，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线交于点，过点作，交于点，若，，则（）

A．85° B．75° C．60° D．55°
【答案】D
【分析】本题考查作图-基本作图、平行线的性质，㠇练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
由题意可得为的角平分线，，则可得根据三角形外角性质可得，平角性质可得再结合三角形内角和定理可列出方程，进而可得出答案．
【详解】由题意可得为的角平分线，，

，
，，    

，
故选：D．
6．一个圆锥的底面半径为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求圆锥侧面积；
利用圆锥侧面展开图的弧长底面周长，可求得圆锥的底面周长以及圆锥母线长，那么圆锥的侧面积底面周长母线长．
【详解】解：底面半径为3，则底面周长，侧面展开图是半圆，则母线长，
圆锥的侧面积是
故选：B．
7．如图在平面直角坐标系中，，且，则点B的坐标是（   ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．过点B作轴于点C，过点A作轴于点D，、相交于点E，证明，据此求解即可．
【详解】解：过点B作轴于点C，过点A作轴于点D，、相交于点E．

∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点B的坐标是，
故选：B．
8．如图，四边形是菱形，边长为，．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动，同时点沿射线的方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点运动到达点时，点也立刻停止运动，连接．的面积为，点运动的时间为秒，则能大致反映与之间的函数关系的图像是（     ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查函数的图象与解析之间的联系，解决问题的关键在于弄清图形的变化情况，结合勾股定理，给出面积的表达式，即可解题．
【详解】解：①当在上时，作，如图所示：

由题知，，
，
，
，则，解得，
故，
②当在上时，即时，，
③当在上不与重合，且Q在上时，作，如图所示：

，，
，
，
则，
④当Q在延长线上时，
．
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．稀土是制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关数据表明，我国已探明稀土储量约万吨，居世界第一位，将数万用科学记数法可表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1．
【详解】解：万即大于1，用科学记数法表示为，其中，，
∴万用科学记数法表示为，
故答案为：．
10．比较大小： （填“”“”或“”）
【答案】
【分析】此题主要考查了有理数大小，有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】解：，，
，
．
故答案为：．
11．分解因式 ．
【答案】
【分析】题目主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式及完全平方公式分解因式是解题关键．
【详解】解：
故答案为：．
12．如图，一次函数与的图象交于点，则关于x的方程的解是 ．

【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据图象的交点的横坐标就是方程的解即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：由图象得：
方程的解是，
故答案为：．
13．中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），其中的24枚邮票大小相同，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚邮票组成了一个圆环，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，以“大雪”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“上圆弧”的长为，“直边长”为，“下圆弧”的长为，则 （用含，的式子表示）．

【答案】
【分析】本题考查弧长公式，根据题意，作出图形，数形结合，利用弧长公式表示出，，找到两者之间的关系即可得到答案，熟记弧长公式是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示：

，
；，
，
故答案为：．
14．如图，已知，，与的面积和为10，则的长为 ．

【答案】
【分析】本题考查三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
如图，过点A作于点H，过点D作于点K．证明，推出，设，，构建方程组求出，可得结论．
【详解】解：如图，过点A作于点H，过点D作于点K．

，，
，，，
，
，
，
，
又，
，
，
设，

与的面积和为10，
即，，
在中，,即，
则有，
，
．
故答案为： ．
15．如图，在边长相同的小正方形网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为 ．

【答案】/
【分析】本题考查了求余弦，连接，根据勾股定理和勾股定理逆定理，推出，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解．
【详解】解：连接，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点为该图象在第一象限内的一点，过点作直线的平行线，交轴于点．若点从点出发，沿着抛物线运动到点，则点经过的路程为 ．

【答案】
【分析】根据题意，可以先求出点的坐标，从而可以得到直线的解析式，再根据，点在抛物线上，可以写出点的坐标和对应的直线的解析式，再根据题意，可以得到点横坐标的最大值，从而可以得到点经过的路程．
【详解】解：∵二次函数，
∴当时，当时，，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
，
即直线的函数解析式为，
∵，点在抛物线上且在第一象限，
∴设点的坐标为，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为，
令且，
解得，
此时直线的解析式为，当时，
∴点横坐标最大值是，
∴点经过的路程为：，
故答案为：．
三、解答题（本大题共11个小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（4分）17．计算：．
【详解】原式

（4分）18．解方程：．
【详解】解：，
去分母，化为整式方程得：，
即，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
（8分）19．解方程组和不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来：
(1)
(2)解不等式组

【详解】（1）解：，
得：③，
得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴原方程组的解为：；
（2）解：
解不等式①，得，
解不等式②，得
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

所以原不等式组解集为．
（8分）20．某校为了解本校七年级学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：

(1)此次调查中样本容量为_______；在扇形统计图中，“非常重视”所占的圆心角的度数为_______；
(2)补全条形统计图；
(3)该校七年级共有学生400人，请估计该校七年级学生对视力保护“比较重视”的学生人数．
【详解】（1）解：由题知，（人），，
故答案为：80，．
（2）解：（人），

（3）解：（人），
答：七年级学生对视力保护“比较重视”的学生人数约为180人．
（8分）21．北京时间2023年12月27日14时50分，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟一号甲运载火箭，成功将天目一号气象星座19-22星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．小明和小亮对航天知识都非常感兴趣，他们在中国载人航天网站上了解到，航天知识分为“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”等模块．他们决定从“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”四个模块中各自随机选择一个进行学习，设这四个模块依次为、、、．
(1)小明选择学习“梦圆天路”模块的概率为_____；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选择不同模块的概率．
【详解】（1）解：小明选择学习“梦圆天路”模块的概率为，
故答案为：；
（2）树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小明和小亮选择不同模块的结果有12种，
小明和小亮选择不同模块的概率．
（8分）22．如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，在菱形的对角线上．

(1)求证：；
(2)若为中点，，求的长．
【详解】（1）四边形是矩形，
，，
．
，，
．
四边形是菱形，
，
，
，
；
（2）连接，

四边形是菱形，
，．
为中点，
．
，
，，
四边形是平行四边形，
．
四边形是矩形，
，，
．
（8分）23．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D．

(1)求一次函数的解析式；
(2)对于反比例函数，当时，写出x的取值范围；
(3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S△BDP＝S△ODA，请求出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，﹣2；
∴A，B；
把A、B的坐标代入得；
解得；
∴一次函数的解析式为．
（2）∵；
由图象可知，当时，．
（3）∵一次函数为；
∴D；
∵A，
∴；
∴，
设点P的坐标为： ，；
∴，；
当P在直线下方时，如图1，则；
；
解得；
∴点P．
当P在直线AB的上方时，如图2，则；
；
解得；
∴点P；
综上可得：点P的坐标为： 或 ．

（8分）24．如图，是的直径，点在上，点在外，连接，若；

(1)求证：是的切线；
(2)已知，点是的中点，过点作，交于点，若的半径为10，，求的长.
【详解】（）证明：连接，

∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：设与相交于点F，过点E作于点G，如图所示：

∵，，点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由可设，根据勾股定理可知，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（8分）25．杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，作为今年我国举办的最为盛大的赛事，是向世界展示中国形象、传播中国文化的重要窗口．宁夏枸杞作为几千年来备受推崇、药食同源的滋补上品，小小的红果凝聚和传承着宁夏这片土地上，珍贵的历史记忆和宝贵的精神财富，已然成为宁夏独特的地域符号、主导产业和文化象征，不但为宁夏社会经济发展作出了积极贡献，也为助力“健康中国”跑出了“加速度”．在宁夏一特产专卖店销售某种枸杞，其进价为每千克元，按每千克元出售，平均每天可售出千克，后来经过市场调查发现，单价每降低元，则平均每天的销售可增加千克，若该专卖店销售这种枸杞要想平均每天获利元，请回答：
(1)为尽可能让利于顾客，赢得市场，每千克枸杞应降价多少元？
(2)根据市场需求，该店将售价定为多少出售，每天可获取最大利润，最大利润是多少？
【详解】（1）解：设每千克枸杞应降价元，
根据题意，得，
化简，得  ，
解得．
为尽可能让利于顾客，赢得市场，
，
答：每千克枸杞应降价元；
（2）设每千克枸杞应降价元，每天获得利润为元，
根据题意得：，
，
当时，有最大值，最大值为，
此时售价为元，
该店将售价定为元出售，每天可获取最大利润，最大利润是元．
（8分）26．已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线经过点与点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点在线段下方的抛物线上，过点作的平行线交线段于点，交轴于点．
①如果两点关于抛物线的对称轴对称，联结，当时，求的正切值；
②如果，求点的坐标．
【详解】（1）解：∵直线经过点与点
则当；
∴
∴
解得
；
（2）解：①如图：
∵，且两点关于抛物线的对称轴对称，
∴，
则

∵
∴轴
则
∵过点作的平行线交线段于点，交轴于点．
∴
则
∵轴交于两点（点在点的左侧），
∴
∴，
∴
∵
则的正切值等于；
②设，的解析式为
∴把代入
得
解得
∵过点作的平行线交线段于点，交轴于点
∴设的解析式为
把代入
得
∴
令，
即
当
解得
则把代入
得
∴
∵过点作轴，过点作轴，

∴
∴
∵
∴
∵，，
∴，
∴
解得
∵点在线段下方的抛物线上，
∴（舍去）
∴．
把代入
∴
∴点的坐标
（10分）27．【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的右侧，连接，你能得到哪些结论呢？
①小明说：“在点的运动过程中，只要保证在边的右侧，的度数是固定的，我能求出的度数”；小强说：“在点的运动过程中，只要保证在边的右侧，我能得到从点发出的三条线段的数量关系”．
②小涛说：“我利用，如图2，在上截取，连接，再利用旋转的性质，就可以得到小明和小强的结论”．
请你根据小涛的思路，求的度数，并探究线段的数量关系．

【类比分析】
（2）李老师发现同学们都利用了转化的思想，转化角，转化线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面问题，请你解答．
如图3，在中，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的左侧，连接，过作于点，求证：．

【学以致用】
（3）如图4，在中，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的右侧，连接，过作于，线段的中点为，连接，若，求四边形的面积．

【详解】解：（1）在上截取，连接．如图1，

．
是等边三角形，
．
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，
，
，即．
在和中，，
．
，

．
．
，
．
（2）证明：在上截取，连接．如图2，

．
是等边三角形，
．
线段绕点逆时针旋转得到线段，
．
，即
在和中，
，
．
又为等边三角形，
．
，
．
（3）解：连接，如图3．

线段绕点逆时针旋转得到线段．
，
是等边三角形．
，
为中点，
．
在中，，
，于．
，
．
又，

，即，
，
，
，
．
在上截取，由（1）得是等边三角形，．
，
．
过作于，

．
．
，，
．
四边形的面积．