2024年中考数学（陕西）第二次模拟考试（含答案）.docx

2024年中考第二次模拟考试（陕西卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（2024·陕师大附中摸底考试）（﹣1）2024等于（　　）
A．﹣2020 B．2020 C．﹣1 D．1
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　）

A．70° B．65° C．35° D．5°
4．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．3
7．如图，分别与相切于两点，，则(　　　)

A． B． C． D．
8．（2023·四川自贡·统考中考真题）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（    ）
A．10 B．12 C．13 D．15
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．与 最接近的自然数是 ________．
10．如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为__________度．

11．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连结．若，则_________

12．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为_______

13．（2023·四川达州·统考中考真题）在中，，，在边上有一点，且，连接，则的最小值为___________．
三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14．（5分）计算：
15．（5分）计算：．
16．（5分）解关于x的不等式组
17．（5分）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC=45°．（保留作图痕迹．不写作法）

18．（5分）如图，AB、CD相交于点O，AO=BO，AC∥DB．求证：AC=BD．

19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，1)，B(－1，－1)，
C(－3，3)．(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)

(1)将△ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到△A1B1C1(点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1)，画出平移后的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1绕着坐标原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2(点A1，B1，C1的对应点分别为点A2，B2，C2)，画出旋转后的△A2B2C2；
(3)求△A1B1C1在旋转过程中，点C1旋转到点C2所经过的路径的长．(结果用含π的式子表示)
20．（5分）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________．
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
21．（6分）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．

(1)求的度数．
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）
22．（7分）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．

(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数．
23．（7分）某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．学校随机抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．
等级
劳动积分
人数
A

4
B

m
C

20
D

8
E

3

请根据以上图表信息，解答下列问题：
(1)统计表中_________，C等级对应扇形的圆心角的度数为_________；
(2)学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人；
24．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝12，求线段EC的长．

25．（8分）如图，抛物线过点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）【模型建立】
（1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．
①求证：；
②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若，，求的值．

2024年中考第二次模拟考试（陕西卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、 选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（2024·陕师大附中摸底考试）（﹣1）2024等于（　　）
A．﹣2020 B．2020 C．﹣1 D．1
【答案】D
【解析】（﹣1）2024=1，
故选：D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　）

A．70° B．65° C．35° D．5°
【答案】B
【解析】作CF∥AB，

∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE∥DE，
∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，
∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，
∴∠BCE＝65°，
故选：B．
4.下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误．
故选：C．
5.已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴k﹤0，
A．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；
B．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；
C．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；
D．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=﹥0，此选项不符合题意，
故选：B．
6.（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】解：、为边的三等分点，，
，，，
，是的中位线，
，
，

，
，即，
解得：，
，
故选：C．
7.如图，分别与相切于两点，，则(　　　)

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：连接OA、OB，
∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵∠P=72°，
∴∠AOB=108°，
∵C是⊙O上一点，
∴∠ACB=54°．
故选：C．

8.（2023·四川自贡·统考中考真题）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（    ）
A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】B
【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线
∵抛物线经过两点
∴，
即，
∴，
∵抛物线与轴有交点，
∴，
即，
即，即，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．与 最接近的自然数是 ________．
【答案】2
【解析】解：，可得，
∴，
∵14接近16，
∴更靠近4，
故最接近的自然数是2．
故答案为：2．
10.（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为__________度．

【答案】
【解析】解：∵正五边形的每一个内角为，
将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，
则，
∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，
∴，，
在中，，
故答案为：．
11.（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连结．若，则_________

【答案】
【解析】解：∵菱形，
∴，，，
∴由勾股定理，得，
∵E为边的中点，
∴
12.（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为_______

【答案】
【解析】解：如图所示，过点B作轴，

∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∵与关于直线对称，
∴，
∴，
∴，B，O三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将其代入得：，
13.（2023·四川达州·统考中考真题）在中，，，在边上有一点，且，连接，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】解：如图，作的外接圆，圆心为，连接、、，过作于，过作，交的垂直平分线于，连接、、，以为圆心，为半径作圆；
，为的外接圆的圆心，
，，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
即，
由作图可知，在的垂直平分线上，
，
，
又为的外接圆的圆心，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
在中，
，
在中，
，
即最小值为，
故答案为：．

三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14.（5分）（2024·铁一中滨河摸底）计算：
【解析】原式

．
15.（5分）（2023·辽宁大连·统考中考真题）计算：．
【解析】解：

16.（5分）（2023·湖南永州·统考中考真题）解关于x的不等式组
【解析】解：，
解①得，，
解②得，，
原不等式组的解集为．
17.（5分）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）

【解析】解：如图，点P即为所求．

作法：（1）以点C为圆心，以任意长为半径画弧交AC于D，交BC于E，
（2）以点B为圆心，以CD长为半径画弧，交BC于F，
（3）以点F为圆心，以DE长为半径画弧，交前弧于点M，
（3）连接BM，并延长BM与AC交于点P，则点P即为所求．

18.（5分）（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，AB、CD相交于点O，AO=BO，AC∥DB．求证：AC=BD．

【解析】（方法一）
∵AC//DB，
∴∠A=∠B，∠C=∠D．
在△AOC与△BOD中
∵∠A=∠B，∠C=∠D，AO=BO，
∴△AOC≌△BOD．
∴AC=BD．
（方法二）∵AC//DB，
∴∠A=∠B．
在△AOC与△BOD中，
∵，
∴△AOC≌△BOD．
∴AC=BD．
19.（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，1)，B(－1，－1)，C(－3，3)．(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)

(1)将△ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到△A1B1C1(点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1)，画出平移后的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1绕着坐标原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2(点A1，B1，C1的对应点分别为点A2，B2，C2)，画出旋转后的△A2B2C2；
(3)求△A1B1C1在旋转过程中，点C1旋转到点C2所经过的路径的长．(结果用含π的式子表示)
【解析】(1)根据题意得A1(0，3)，B1(3，1)，C1(1，5)，连接A1C1，B1C1，A1B1，如图所示．

(2)如图所示．
(3)∵C1(1，5)，∴OC1＝，点C1旋转到点C2所经过的路径的长为＝π.
20.（5分）36．（2023·江苏苏州·统考中考真题）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________．
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
【解析】（1）解：搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为；
（2）如图，画树状图如下：

所有可能的结果数为16个，第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果数为3个，
∴第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率为：．
21.（6分）（2024·陕西学业水平测试模拟三）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．

(1)求的度数．
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）
【解析】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）该运动员能挂上篮网，理由如下．
如图，延长交于点，

∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴该运动员能挂上篮网．
22.（7分）（2023·全国·统考中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．

(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数．
【解析】（1）解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，
∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天，（天）
∴甲组比乙组多挖掘了30天，故答案为：30；
（2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为，
将和两个点代入，可得，
解得，
∴
（3）解：甲组每天挖（千米）
甲乙合作每天挖（千米）
∴乙组每天挖（千米），乙组挖掘的总长度为（千米）
设乙组己停工的天数为a，
则，
解得，
答：乙组己停工的天数为10天．
23.（7分）（2023·山东·统考中考真题）某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．学校随机抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．
等级
劳动积分
人数
A

4
B

m
C

20
D

8
E

3

请根据以上图表信息，解答下列问题：
(1)统计表中_________，C等级对应扇形的圆心角的度数为_________；
(2)学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人；
【解析】（1）解：由统计图可知：D等级的人数有8人，所占比为，
∴抽取学生的总人数为（人），
∴，C等级对应扇形的圆心角的度数为；
故答案为15，；
（2）解：由题意得：（人），
答：该学校“劳动之星”大约有760人
24.（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝12，求线段EC的长．

【解析】证明：（1）连接OC，

∵CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCE＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵∠AOC+∠OCE＝180°，
∴∴AD∥EC；
（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，

∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠D＝∠ACB＝60°，
∴sin∠ADB＝，
∴AD＝＝8，
∴OA＝OC＝4，
∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，
∴四边形OAFC是矩形，
又∵OA＝OC，
∴四边形OAFC是正方形，
∴CF＝AF＝4，
∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，
∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵tan∠EAF＝，
∴EF＝AF＝12，
∴CE＝CF+EF＝12+4．
25.（8分）（2023·四川达州·统考中考真题）如图，抛物线过点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）解：将点代入解析式得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在，或或或，，证明如下：
∵，
∵抛物线的解析式为，
∴对称轴为：，
设点，
若为菱形的边长，菱形，
则，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
若为菱形的边长，菱形，
则，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
综上可得：
或或，．
26.（10）（2023·甘肃武威·统考中考真题）【模型建立】
（1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．
①求证：；
②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若，，求的值．

【解析】（1）①证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
∴．

②．理由如下：
∵和关于对称，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）．理由如下：
如图，过点作于点，得．

∵和关于对称，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∴．
∵是直角三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，即．
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
如图，过点作于点．

∵，
∴，
．
∴．
∴．