2024年中考数学（湖南长沙）第二次模拟考试（含答案）.docx

2024年中考第二次模拟考试（湖南长沙卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的绝对值是（    ）
A．2024 B． C． D．
2．2024年元旦假期的到来，点燃了消费者的出游热情，也激发了旅游市场的活力．元旦假期三天，长沙市共接待游客万人次． 数据“万”用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
4．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”，下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．  B．  C．   D．  
5．如图，过三角形顶点作，，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ）
A．   B．  C．  D．  
7．如图，在中考体育模拟测试中，某校10名学生体育模拟测试成绩如图所示，对于这10名学生的体育模拟测试成绩，下列说法错误的是（    ）

A．极差是10 B．众数是90分
C．平均数是91分 D．中位数是90分
8．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（    ）

A． B． C． D．
9．如图是长沙某4S店新能源车轮胎展厅陈列的轮胎正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当轮胎正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切．若，，则此轮胎的半径为（    ）

A． B． C． D．
10．若三条长度分别为，，的线段能构成三角形，我们就把称为三角数组，已知是三角数组，则下列说法正确的是（    ）
①一定是三角数组；②不一定是三角数组；
③一定是三角数组；④不一定是三角数组；
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．要使代数式有意义，则x应满足的条件是 ．
12．若，则 的值为 ．
13．如图，四边形是圆内接四边形，，则的度数为 度．

14．已知一次函数，如果y随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围为 ．
15．如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么 ．
16．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数： ；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如： …，若此类勾股数的勾为 ，则其弦是 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25每题10分，共72分）
17．计算：．
18．化简：，再从，0，1中选择一个你喜爱的x的值代入求值．
19．长沙第一高楼位于芙蓉区五一商圈的国金中心，是旅游打卡圣地，小明想了解它的具体高度，通过下面方法进行测算．如图，小明站在楼前的平地B处，观测到国金大厦的最高点G仰角为15°，他朝正前方笔直行走900.8米来到C处，此时观测到国金大厦的最高点G仰角为30°，若小明的眼睛离地面1.6米．

(1)求长沙第一高楼国金大厦的高度；
(2)小明还要走多远（的距离）才能到达国金大厦？
20．如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，点F，G在上，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
21．我市某中学开展了“强国复兴有我”迎国庆知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩（满分100分），按得分划分为A：，B：，C：，D：四个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图表．

分数段（分）
频数（人）
频率

10

a
b

16
c

4
d
请根据以上信息回答下列问题：
(1)这次抽样调查的样本容量为______；
(2)其中频数分布表中______，______并补全频数分布直方图；
(3)若该校共有1200名同学参赛，成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，估计全校学生成绩为“优”等的学生有多少人．
22．定义：过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“捷线”．

(1)等边三角形“捷线”条数是________；
(2)如图，中，，点在上，且，求证：是的“捷线”；
(3)在中，，，，、分别在边、上，且是的“捷线”，求的长．
23．某茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下：
茶叶品种
进价（元/斤）
售价（元/斤）
甲
a
200
乙

300
已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同．
(1)求a的值；
(2)茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，其中甲种茶叶不少于80斤且不超过120斤．
①求销售完这两种茶叶的最大利润；
②“五一”期间，茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低m元（），甲种茶叶的售价不变，为保证销售完这两种茶叶的利润的最小值不低于31800元，求m的最大值．
24．如图，内接于，是的直径，，是的切线，点D是AC上一动点（点D不与点A，B重合），连接BD并延长交AC于点H，交CF于点E，连接AE，AD．

(1)求的面积；
(2)当时，求的长；
(3)若的面积记为，的面积记为，的面积记为，的面积记为，，请用含k的代数式表示的值．
25．在平面直角坐标系中有且只有一个交点的两个函数称为“亲密函数”，这个唯一的交点称为他们的“密接点”．例如：与有且只有一个交点，则称这两个函数为“亲密函数”，点称为他们的“密接点”．
(1)判断下列几组函数，是“亲密函数”的在 内记“”，不是“亲密函数”的在 内记“”；
与；
与；
与．
(2)一次函数与反比例函数（其中为常数，)，且他们的“密接点”到原点的距离等于，求的值．
(3)两条直线与都是二次函数的“亲密函数”，且“密接点”分别为．记直线与的交点的纵坐标为，直线与轴的交点的纵坐标为．试判断与的关系，并证明你的判断．

2024年中考第二次模拟考试（湖南长沙卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的绝对值是（    ）
A．2024 B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果．
【详解】
解：的绝对值是2024．
故选：A．
2．2024年元旦假期的到来，点燃了消费者的出游热情，也激发了旅游市场的活力．元旦假期三天，长沙市共接待游客万人次． 数据“万”用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，其中，的取值是解题的关键．确定的值的方法是看数变成时，小数点的移动，当小数点向左移动时，的值与移动位数相同；当小数点向右移动时，小数点移动位数的相反数等于的值．
【详解】解：万=，
故选：．
3．下列计算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
此题考查了幂的运算法则和乘法公式，根据幂的运算法则和乘法公式计算后即可得到答案．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项正确，符合题意．
故选：D．
4．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”，下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．B．   C．   D．  
【答案】B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．此题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转后与自身重合．
【详解】解：A．标志既不是轴对称又不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B．标志既是轴对称又是中心对称图形，故选项符合题意；
C．标志是轴对称但不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D．标志既不是轴对称又不是中心对称图形，故选项不符合题意．
故选：B．
5．如图，过三角形顶点作，，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，得，根据三角形内角和，即可求出．
【详解】∵，
∴，
∵，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查平行线和三角形的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，三角形的内角和．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ）
A．   B．  
C．   D．  
【答案】D
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：
由①得，得：，
由②得：，
则不等式组的解集为，
在数轴上表示为：

故选：D．
7．如图，在中考体育模拟测试中，某校10名学生体育模拟测试成绩如图所示，对于这10名学生的体育模拟测试成绩，下列说法错误的是（    ）

A．极差是10 B．众数是90分
C．平均数是91分 D．中位数是90分
【答案】A
【分析】
此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、极差，能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、极差是解题的关键．根据众数、中位数、平均数、极差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．
【详解】
解：A、∵，∴极差是，
故A符合题意；
B、∵90出现了5次，出现的次数最多，
∴众数是90；故此选项不符合题意；
C、平均数是；
故此选项不符合题意；
D、∵共有10个数，
∴中位数是第5、6个数的平均数，
∴中位数是；故此选项不符合题意．
故选：A．
8．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下：

A
B
C
D
A

（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）

（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）

（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）

由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种，
故其概率为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
9．如图是长沙某4S店新能源车轮胎展厅陈列的轮胎正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当轮胎正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切．若，，则此轮胎的半径为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，过点作，交于点，交于点，则点为轮胎与边的切点，由矩形的性质得，，则，得，，，设轮胎的半径为，则，，然后由勾股定理列出方程即可求解．
【详解】解：连接，过点作，交于点，交于点，

则，
轮胎正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，
点为切点，
四边形是矩形，
，，
，
，，，
设轮胎的半径为，则，，，
在中，由勾股定理得：，
即，解得：，
轮胎的半径是．
故选：C．
10．若三条长度分别为，，的线段能构成三角形，我们就把称为三角数组，已知是三角数组，则下列说法正确的是（    ）
①一定是三角数组；②不一定是三角数组；
③一定是三角数组；④不一定是三角数组；
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】，且，先证明，即可证明，由此即可判断①②；根据是一个三角数组，不是一个三角数组即可判断③④．
【详解】解：∵是三角数组，
∴可设，且，
∴，
∵，
∴，
∴一定是三角数组，故①正确，②不正确；
∵是一个三角数组，，
∴不是一个三角数组，
∴当是三角数组时，不一定是三角数组，故③错误，④正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，实数比较大小，正确理解题意是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．要使代数式有意义，则x应满足的条件是 ．
【答案】
【分析】直接利用二次根式有意义条件和分式有意义求出x的取值范围．
【详解】解：代数式有意义，
可得：，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义与分式有意义的条件是解题的关键．
12．若，则 的值为 ．
【答案】
【分析】将变形后可得即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为；
【点睛】本题考查了运用整体思想求代数式值，将条件和问题进行准确变形再整体代入计算是解题的关键．
13．如图，四边形是圆内接四边形，，则的度数为 度．

【答案】
【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，根据圆的内接四边形的对角互补，结合已知即可求解．
【详解】解：∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
14．已知一次函数，如果y随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围为 ．
【答案】/
【分析】利用一次函数中一次项系数正负性与y随自变量x的增大而变化的情况列不等式计算即可．
【详解】y随自变量x的增大而减小，
，
，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查一次函数的性质，一次函数中一次项系数，y随自变量x的增大而增大；，y随自变量x的增大而减小．熟悉此函数图像性质是解题的关键．
15．如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么 ．
【答案】
【分析】根据根的判别式为零时，有两个相等的实数根，就可以求出的值．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
16．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数： ；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如： …，若此类勾股数的勾为 ，则其弦是 ．
【答案】
【分析】根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数，（m为偶数且），根据所给的二组数找规律可得结论．
【详解】根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数， （m为偶数且 ），则另一条直角边 ，弦 ．
则弦为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25每题10分，共72分）
17．计算：
【答案】
【分析】
本题考查实数的混合运算，先计算特殊角三角函数值，零次幂，负整数次幂，绝对值，再进行加减运算即可，正确计算是解题的关键．
【详解】解：

18．化简：，再从，0，1中选择一个你喜爱的x的值代入求值．
【答案】，当时，值为
【分析】根据分式的混合运算法则将原式进行化简，然后选择一个使分式有意义的值代入求解即可．
【详解】解：

，
∵，
∴，
∴当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解本题的关键，选择喜欢的值代入时要注意使分式有意义．
19．长沙第一高楼位于芙蓉区五一商圈的国金中心，是旅游打卡圣地，小明想了解它的具体高度，通过下面方法进行测算．如图，小明站在楼前的平地B处，观测到国金大厦的最高点G仰角为15°，他朝正前方笔直行走900.8米来到C处，此时观测到国金大厦的最高点G仰角为30°，若小明的眼睛离地面1.6米．

(1)求长沙第一高楼国金大厦的高度；
(2)小明还要走多远（的距离）才能到达国金大厦？
【答案】(1)长沙第一高楼国金大厦的高度DG为452米
(2)小明还要走450.4米才能到达国金大厦

【分析】（1）根据题意可得：米，米，，，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答；
（2）根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：米，米，，，
∵是的一个外角，，
∴，
∴，
∴米，
在中，（米），
∴（米），
∴长沙第一高楼国金大厦的高度为452米；
（2）由题意得：，
在中，米，
∴（米），
∴米，
∴小明还要走米才能到达国金大厦．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，点F，G在上，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）由菱形的性质得到，进而证明是的中位线，得到，再由，， 即可证明四边形是矩形；
（2）根据线段中点的定义得到，在中，由勾股定理得．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵E是的中点，
∴是的中位线，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，即，
∴四边形是矩形；

（2）解：∵E是的中点，，
∴，
在中，由勾股定理得．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的判定，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
21．我市某中学开展了“强国复兴有我”迎国庆知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩（满分100分），按得分划分为A：，B：，C：，D：四个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图表．

分数段（分）
频数（人）
频率

10

a
b

16
c

4
d
请根据以上信息回答下列问题：
(1)这次抽样调查的样本容量为______；
(2)其中频数分布表中______，______并补全频数分布直方图；
(3)若该校共有1200名同学参赛，成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，估计全校学生成绩为“优”等的学生有多少人．
【答案】(1)
(2)，
(3)人．

【分析】此题考查了扇形统计图、频数分布表等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（）由等级的频数除以频率求出参赛学生共有的人数，即可解决问题；
（）用总人数减去其它等级的人数即可求出成绩在等级的学生人数，得到a的值，用C等级的人数除以总人数即可得到c的值，根据所求补全统计图即可；
（）由C、D等级的人数之和的占比乘以全校人数同学即可．
【详解】（1）参赛学生共有（人），
即这次抽样调查的样本容量为，
故答案为：
（2）成绩在等级的学生人数为（人），
即
，
故答案为：，
补全频数分布直方图如下：

（3）（人）
答：估计全校学生成绩为“优”等的学生有人．
22．定义：过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“捷线”．

(1)等边三角形“捷线”条数是________；
(2)如图，中，，点在上，且，求证：是的“捷线”；
(3)在中，，，，、分别在边、上，且是的“捷线”，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)

【分析】（1）过等边三角形的内心分别作三边的平行线，可得答案；
（2）利用，得，则是的“捷线”；
（3）根据“捷线”的定义知，与相似，当时，利用相似三角形的性质解决问题．
【详解】（1）解：过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图所示，

则，，，
，，是等边三角形的捷线，
故答案为：3；
（2）证明：，，
，
，
，
是的“捷线”；
（3）解：设是的内心，连接，
则平分，
是的捷线，
与相似，
分两种情况：①当时，，
，，，
，
作于点，如图所示，

则，是的内切圆半径，
，
平分，
，
，
，
即，
，
，
，
，
即，
，
②当时，
，，
同理可得，
综上：．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的内心，勾股定理，直角三角形的内切圆半径等知识，本题综合性强，有一定的难度．
23．某茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下：
茶叶品种
进价（元/斤）
售价（元/斤）
甲
a
200
乙

300
已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同．
(1)求a的值；
(2)茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，其中甲种茶叶不少于80斤且不超过120斤．
①求销售完这两种茶叶的最大利润；
②“五一”期间，茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低m元（），甲种茶叶的售价不变，为保证销售完这两种茶叶的利润的最小值不低于31800元，求m的最大值．
【答案】(1)100
(2)①41000元；②m的最大值为40

【分析】（1）由题意：用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
（2）①设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，由题意得出y与x的一次函数关系式，再由一次函数的性质即可得出结论；
②设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，由题意得出y与x的一次函数关系式，再由一次函数的性质结合题意得出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴a的值为100；
（2）解：①设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，
由题意得：，其中，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y的最大值，
答：销售完这两种茶叶的最大利润为41000元；
②设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，
由题意得：，
∵，
∴，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，y的最小值，
解得：，
∴m的最大值为40．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确得出一元一次不等式和一次函数关系式．
24．如图，内接于，是的直径，，是的切线，点D是AC上一动点（点D不与点A，B重合），连接BD并延长交AC于点H，交CF于点E，连接AE，AD．

(1)求的面积；
(2)当时，求的长；
(3)若的面积记为，的面积记为，的面积记为，的面积记为，，请用含k的代数式表示的值．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】
（1）根据圆周角定理先得到，勾股定理求出，再利用三线合一求出，即可利用面积公式求出答案；
（2）根据已知得到，过点E作，交延长线于点G，根据平行线间的距离处处相等得，再根据30度角的性质得到的长；
（3）根据相似三角形及勾股定理分别求出，即可得到的值．
【详解】（1）∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴，
又∵是的切线，
∴,
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
过点E作，交延长线于点G，则，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，，
∴．
【点睛】此题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
25．在平面直角坐标系中有且只有一个交点的两个函数称为“亲密函数”，这个唯一的交点称为他们的“密接点”．例如：与有且只有一个交点，则称这两个函数为“亲密函数”，点称为他们的“密接点”．
(1)判断下列几组函数，是“亲密函数”的在 内记“”，不是“亲密函数”的在 内记“”；
与；
与；
与．
(2)一次函数与反比例函数（其中为常数，)，且他们的“密接点”到原点的距离等于，求的值．
(3)两条直线与都是二次函数的“亲密函数”，且“密接点”分别为．记直线与的交点的纵坐标为，直线与轴的交点的纵坐标为．试判断与的关系，并证明你的判断．
【答案】(1)；；；
(2)的值为或；
(3)，证明见解析．

【分析】（）根据“亲密函数”的定义即可作出判断；
（）由一次函数与反比例函数(其中为常数，)是“亲密函数”，可得 ，求出或，或，根据到原点的距离等于，求出的值，即可求解；
（）设直线，直线，由直线与都是二次函数的“亲密函数”， 且“密接点”分别为，可得，，，，设直线的解析式为，求出，，即可求证．
【详解】（1）解：∵与有且只有一个交点，
∴这两个函数是“亲密函数”，
故答案为：；
∵与没有交点，
∴这两个函数不是“亲密函数”，
故答案为：；
∵与有且只有一个交点，
∴这两个函数是“亲密函数”，
故答案为： ；
（2）解：∵一次函数与反比例函数(其中为常数，)是“亲密函数”，
∴方程有且只有一个实数根，
∴有两个相等的实数根，
∴，
∴或，
当时，，
解得，
∴，
∵“密接点”到原点的距离等于，
∴，
解得或(不合，舍去)，
∴；
当时，，
解得，
∴，
∵“密接点”到原点的距离等于，
∴ ，
解得或(不合，舍去)，
∴；
综上，的值为或；
（3）解：．
证明：设直线，直线，
∵两条直线与都是二次函数的“亲密函数”，且“密接点”分别为，
∴，
即 有两个相等的实数根，
∴，
∴，，
∴，
同理可得，，
设直线的解析式为，
∴，，
得，
，
∴，
令，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了新定义，一次函数、反比例函数与二次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是读懂“亲密函数”、“密接点”的定义，理解它们之间的关系．