2025年大学数学与应用数学（概率论基础）试题及答案.doc

2025年大学数学与应用数学（概率论基础）试题及答案

（考试时间：90分钟 满分100分）
班级______ 姓名______

第I卷（选择题 共30分）
答题要求：本大题共10小题，每小题3分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设随机事件A与B互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则下列结论正确的是（ ）
A. P(A∪B)=P(A)+P(B) B. P(A∪B)>P(A)+P(B) C. P(A∪B)<P(A)+P(B) D. P(A∪B)=P(A)P(B)
2. 已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，则λ的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则关于X的边缘概率密度fX(x)为（ ）
A. ∫f(x,y)dy B. ∫f(x,y)dx C. ∫f(x,y)dxdy D. ∫f(x,y)dydx
4. 设随机变量X的概率密度为f(x)={2x, 0<x<1; 0, 其他}，则P(0.5<X<1.5)的值为（ ）
A. 0.75 B. 0.5 C. 7/8 D. 3/4
5. 已知随机变量X和Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(1,1)，则Z=X+Y服从（ ）
A. N(0,2) B. N(1,2) C. N(0,1) D. N(1,1)
6. 设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本，则样本均值X̅服从（ ）
A. N(μ,σ²/n) B. N(μ,σ²) C.N(0,1) D. N(nμ,nσ²)
7. 设总体X的均值为μ，方差为σ²，X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本，则样本方差S²是σ²的（ ）
A. 无偏估计量 B. 有偏估计量 C. 矩估计量 D. 极大似然估计量
8. 对于给定的显著性水平α，假设检验的拒绝域为（ ）
A. 使原假设成立的区域 B. 使备择假设成立的区域 C. 使检验统计量取值落入的区域 D. 使检验统计量取值不落入的区域
9. 设随机变量X和Y的相关系数为ρXY，则下列结论错误的是（ ）
A. |ρXY|≤1 B. ρXY=1时，X和Y完全正相关 C. ρXY=-1时，X和Y完全负相关 D. ρXY=0时，X和Y相互独立
10. 设随机变量X服从均匀分布U(0,1)，则Y=-2lnX服从（ ）
A. 正态分布 B. 指数分布 C. 泊松分布 D. 均匀分布

第II卷（非选择题 共70分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
答题要求：将答案填写在题中横线上。
11. 已知P(A)=0.4，P(B)=-0.3，P(A∪B)=0.6，则P(AB)=______。
12. 设随机变量X的分布函数为F(x)={0, x<0; x², 0≤x<1; 1, x≥1}，则P(0.5<X<1)=______。
13. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为P(X=i,Y=j)=pij，i,j=1,2，则P(X=1)=______。
14. 已知随机变量X服从正态分布N(1,4)，则P(|X-1|≤2)=______。（参考数据：Φ(1)=0.8413）
15. 设总体X服从参数为λ的指数分布，其概率密度为f(x)={λe^(-λx), x>0; 0, x≤0}，X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本，则λ的极大似然估计量为______。

三、计算题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
答题要求：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16. 设随机变量X的概率密度为f(x)={ax²+bx+c, 0<x<1; 0, 其他}，且E(X)=0.5，求a,b,c的值。
17. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={2, 0<x<1, 0<y<x; 0, 其他}，求：
(1) 关于X和Y的边缘概率密度fX(x)和fY(y)；
(2) P(X+Y≤1)。
18. 已知总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本，求μ和σ²的极大似然估计量。

四、综合题（本大题共1小题，15分）
答题要求：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
材料：设某地区居民的月收入X服从正态分布N(μ,σ²)，现随机抽取100名居民进行调查，得到他们的月收入数据如下（单位：元）：
3500, 3800, 4200, 4500, 4800, 5000, 5200, 5500, 5800, 6070, 6200, 6500, 6800, 7000, 7200,
7500, 7800, 8000, 8200, 8500, 8800, 9000, 9200, 9500, 9800, 10000, 10200, 10500, 10800,
11000, 11200, 11500, 11800, 12000, 12200, 12500, 12800, 13000, 13200, 13500, 13800, 14000,
14200, 14500, 14800, 15000, 15200, 15500, 15800, 16000, 16200, 16500, 16800, 17000, 17200,
17500, 17800, 18000, 18200,
18500, 18800, 19000, 19200,
19500, 19800, 20000, 20200,
20500, 20800, 21000, 21200,
21500, 21800, 22000, 22200,
22500, 22800, 23000, 23200,
23500, 23800, 24000, 24200,
24500, 24800, 25000, 25200,
25500, 25800, 26000, 26200,
26500, 26800, 27000, 27200,
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