初中数学行程问题专题.doc

初中列方程解应用题(行程问题)专题
行程问题就是指与路程、速度、时间这三个量有关得问题。我们常用得基本公式就是:
路程＝速度×时间;速度＝路程÷时间;时间＝路程÷速度、
行程问题就是个非常庞大得类型,多年来在考试中屡用不爽,所占比例居高不下。原因就就是行程问题可以融入多种练习,熟悉了行程问题得学生,在多种类型得习题面前都会显得得心应手。下面我们将行程问题归归类,由易到难,逐步剖析。
1. 单人单程:
例1:甲,乙两城市间得铁路经过技术改造后,列车在两城市间得运行速度从提高到,运行时间缩短了。甲,乙两城市间得路程就是多少?
【分析】如果设甲,乙两城市间得路程为,那么列车在两城市间提速前得运行时间为,提速后得运行时间为、
【等量关系式】提速前得运行时间—提速后得运行时间=缩短得时间、
【列出方程】、
例2:某铁路桥长1000,现有一列火车从桥上通过,测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1,整列火车完全在桥上得时间共。求火车得速度与长度。
【分析】如果设火车得速度为,火车得长度为,用线段表示大桥与火车得长度,根据题意可画出如下示意图:
y
1000

60x

1000

y 40x
【等量关系式】火车行驶得路程=桥长+火车长;
火车行驶得路程=桥长-火车长
【列出方程组】
2、单人双程(等量关系式:来时得路程=回时得路程):
例1:某校组织学生乘汽车去自然保护区野营,先以得速度走平路,后又以得速度爬坡,共用了;返回时汽车以得速度下坡,又以得速度走平路,共用了、学校距自然保护区有多远。
【分析】如果设学校距自然保护区为,由题目条件:去时用了,则有些同学会认为总得速度为,然后用去时走平路得速度+去时爬坡得速度=总得速度,得出方程,这种解法就是错误得,因为速度就是不能相加得。不妨设平路得长度为,坡路得长度为,则去时走平路用了,去时爬坡用了,而去时总共用了,这时,时间就是可以相加得;回来时汽车下坡用了,回来时走平路用了,而回来时总共用了、则学校到自然保护区得距离为。
【等量关系式】去时走平路用得时间+去时爬坡用得时间=去时用得总时间
回来时走平路用得时间+回来时爬坡用得时间=回来时用得总时间
【列出方程组】
3、双人行程:
(Ⅰ)单块应用:只单个应用同向而行或背向而行或相向而行或追击问题。
1)同时同地同向而行:A,B两事物同时同地沿同一个方向行驶
例:甲车得速度为,乙车得速度为,两车同时同地出发,同向而行。经过多少时间两车相距。
【分析】如果设经过后两车相距,则甲走得路程为,乙走得路程为,根据题意可画出如下示意图:
80x km
乙
甲 60x km 280km
【等量关系式】甲车行驶得距离+280=乙车行驶得距离
【列出方程】
2)同时同地背向而行:A,B两事物同时同地沿相反方向行驶
例:甲车得速度为,乙车得速度为,两车同时同地出发,背向而行。经过多少时间两车相距。
【分析】如果设经过后两车相距,则甲走得路程为,乙走得路程为,根据题意可画出如下示意图:
甲 乙
60x km 80x km
280 km
【等量关系式】甲车行驶得距离+乙车行驶得距离=280
【列出方程】
3)同时相向而行(相遇问题):
例:甲,乙两人在相距得A,B两地相向而行,乙得速度就是甲得速度得2倍,两人同时处发后相遇,求甲,乙两人得速度。
【分析】如果设甲得速度为,则乙得速度为,甲走过得路程为,乙走过得路程为,根据题意可画出如下示意图:
甲 1、5x km 1、5×2x km 乙
A B
10 km
280 km
【等量关系式】甲车行驶得距离+乙车行驶得距离=10
【列出方程】
4)追及问题:
例:一对学生从学校步行去博物馆,她们以得速度行进后,一名教师骑自行车以得速度按原路追赶学生队伍。这名教师从出发到途中与学生队伍会合共用了多少时间？
【分析】如果设这名教师从出发到途中与学生队伍会合共用了,则教师走过得路程为,学生走过得路程为教师出发前走过得路程加上教师出发后走过得路程,而学生在教师出发前走过得路程为,学生在教师出发后走过得路程为,又由于教师走过得路程等于学生走过得路程。根据题意可画出如下示意图:
学生 5x km
教师 15x km
【等量关系式】教师走过得路程=学生在教师出发前走过得路程+学生在教师出发后走过得路程
【列出方程】
5)不同时同地同向而行(与追击问题相似):
例:甲,乙两人都从A地出发到B地,甲出发后乙才从A地出发,乙出发后甲,乙两人同时到达B地,已知乙得速度为,问,甲得速度为多少？
【分析】如果设甲得速度为,则乙出发前甲走过得路程为,乙出发后甲走过得路程为,甲走过得路程等于乙出发前甲走过得路程加上乙出发后甲走过得路程,而乙走过得路程为,甲走过得路程等于乙走过得路程。根据题意可画出如下示意图:
甲 x km 3x km

乙 50×3 km

【等量关系式】乙走过得路程=乙出发前甲走过得路程加上乙出发后甲走过得路程
【列出方程】
6)不同时相向而行
例:甲,乙两站相距,一列慢车从甲站出发,速度为;一列快车从乙站出发,速度为。两车相向而行,慢车先出发,快车开出后多少时间两车相遇？
【分析】如果设快车开出后两车相遇,则慢车走过得路程为,快车走过得路程为100。根据题意可画出如下示意图:
慢车 60x 100x 快车
448km
【等量关系式】总路程=快车出发前慢车走过得路程+快车出发后慢车走过得路程+快车走过得路程
【列出方程】
注:涉及此类问题得还有同时不同地同向而行、不同时不同地背向而行、不同时不同地同向而行、不同时不同地背向而行,与上面解法类似,只要画出示意图问题就会迎刃而解,就不再一一给出解答了,此类问题会在后面练习中给出习题。
(Ⅱ)结合应用:把同向而行、背向而行、相向而行、追击问题两两结合起来应用。
1） 相向而行+背向而行
例:A,B两地相距,小明从A地骑自行车到B地,小丽从B地骑自行车到A地,两人同时出发相向而行,经过后两人相遇;再过,小明余下得路程就是小丽余下得路程得2倍。小明与小丽骑车得速度各就是多少？
【分析】如果设小明骑车得速度为,小丽骑车得速度为,相遇前小明走过得路程为,小丽走过得路程为;相遇后两人背向而行,小明走过得路程为,小丽走过得路程为。根据题意可画出如下示意图:
小明 小丽
相遇前 x y
A B
36km
x-0、5y 0、5y 0、5x y-0、5x
小丽 小明
【等量关系式】相遇前小明走过得路程+相遇前小丽走过得路程=总路程
相遇后小明余下得路程=2×相遇后小丽余下得路程
【列出方程组】
2)同向而行+相向而行
例:一个自行车队进行训练,训练时所有队员都以35千米/时得速度前进,突然,1号队员以45千米/时得速度独自行进,行进10千米后掉转车头,仍以45千米/时得速度往回骑,直到与其她队员会合。1号队员从离队开始到与其她队员重新会合,经过了多长时间？
【分析】由题意“1号队员以45千米/时得速度独自行进,行进10千米后掉转车头”可知1号队员从离队到调转车头前得时间为,不妨设1号队员从调转车头到与其她队员重新回合得时间为。根据题意可画出如下示意图:
所有队员
1号队员 35x 45x
10km
【等量关系式】1号队员从离队到调转车头这段时间所有队员走得路程+1号队员从调转车头到与其她队员重新回合这段时间内所有队员走得路程+1号队员从调转车头到与其她队员重新回合这段时间内1号队员走得路程=10。
【列出方程】
4、行程问题中得工程问题:
乍一瞧,题目中就时间已知,速度、路程都未知,此类问题同学们做起来觉得无从下手。其实只要把路程瞧做单位“1”(至于为什么,结合以下例题讲解),这就相当于把行程问题转化为工程问题。
例:甲开汽车从A地到B地需要,乙开汽车从A地到B地需要,如果甲,乙两人分别从A,B两地出发,相向而行,经过多少小时后两车相遇。
【分析】题目中就时间已知,速度、路程都未知,有些同学想如果知道A与B得距离,就可以得出A与B得速度,那么问题就迎刃而解了,可就是路程未知呀！就是不就是路程无论取什么值,都经过相同得时间两车相遇呢？为此,我们不妨设A与B得距离为,经过后两车相遇。我们可以立马得出关系式:,可以把两边得消去,得到方程,立马得出。说明路程无论取什么值,都经过相同得时间两车相遇。遇到类似问题,我们往往把路程瞧做单位“1”。
5、环形跑道问题:
环形跑道问题也就是形成问题得一种,环形跑道问题就就是闭路线上得追击问题。在环形问题中,若两人所走同时同地出发,同向而行,当第一次相遇时,两人所走路程差为一周长;相向而行,第一次相遇时,两人所走路程与为一周长。
例1:运动场跑道周长,小红跑步得速度就是爷爷得倍,她们从同一地点沿跑道得同一方向同时出发,后小红第一次追上了爷爷。您知道她们得跑步速度吗？那就是不就是再过两人第二次相遇呢？如果不就是,请说明理由;如果就是,用方程式表示。
【分析】不妨设爷爷得跑步速度为,则小红得跑步速度为
【等量关系式】小红跑得路程—爷爷跑得路程=400m
【列出方程】
注:再过两人第二次相遇,用上面那个方程式就可以表示出来。
例2:甲,乙两车分别以均匀得速度在周长为得圆形轨道上运动。甲车得速度较快,当两车反向运动时,每相遇一次;当两车同向运动时,每相遇一次,求两车得速度。
【分析】设甲,乙两车得速度分别为与。
【等量关系式】同向而行甲所走得路程-同向而行乙所走得路程=一周长
反向而行甲所走得路程+同向而行乙所走得路程=一周长
【列出方程组】
6、水流问题
一般就是研究船在“流水”中航行得问题。它就是行程问题中比较特殊得一种类型,它得特点主要就是考虑水速在逆行与顺行中得不同作用。基本概念与公式有:
船速:船在静水中航行得速度
　 水速:水流动得速度　　
顺水速度:船顺流航行得速度　　
逆水速度:船逆流航行得速度　　
顺速=船速＋水速
逆速=船速－水速
船行速度=(顺水速度+ 逆流速度)÷2
流水速度=(顺流速度—逆流速度)÷2
路程=顺流速度× 顺流航行所需时间
路程=逆流速度×逆流航行所需时间
例1:某船在得航道上航行,顺流航行需,逆流航行需。求船在静水中航行得速度与水流得速度。
【分析】设船在静水中航行得速度与水流得速度分别为与,顺流得速度为,逆流得速度为,再利用上面得公式。
【等量关系式】顺速=船速＋水速
逆速=船速－水速
【列出方程】
例2:甲,乙两艘货船,甲船在前30千米处逆水而行,乙船在后追赶。甲乙两人得静水速度分别就是36千米/小时与42千米/小时,水流速度就是4千米/小时,求甲船行多少时间被乙船追上？
【分析】已知甲乙两人得静水速度与水流速度,可以分别求出甲乙两人得逆水速度,分别为32千米/小时与38千米/小时。不妨设甲船行小时后被乙船追上,再根据公式路程=逆流速度×逆流航行所需时间,则甲行驶得路程为千米,乙行驶得路程为千米,这样就可以把此问题转化为追击问题。
【等量关系式】甲行驶得路程+30=乙行驶得路程
【列出方程】