大学（数学）线性代数应用2026年综合测试题及答案.doc

大学（数学）线性代数应用2026年综合测试题及答案

（考试时间：90分钟 满分100分） 班级______ 姓名______

一、选择题（总共10题，每题3分，每题只有一个正确答案，请将正确答案的序号填在括号内）
1. 已知矩阵\(A\)是\(3\times3\)矩阵，且\(\vert A\vert = 2\)，则\(\vert -2A\vert\)的值为（ ）
A. -16 B. -4 C. 4 D. 16
2. 设\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(A^2 = A\)，则\(A\)的特征值只能是（ ）
A. 0或1 B. -1或1 C. 0或 -1 D. 任意实数
3. 向量组\(\alpha_1=(1,0,0)^T,\alpha_2=(0,1,0)^T,\alpha_3=(0,0,1)^T\)的秩为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. 若\(A\)是正交矩阵，则\(A^TA\)等于（ ）
A. \(A\) B. \(A^{-1}\) C. \(I\) D. \(0\)
5. 已知线性方程组\(Ax = b\)有解，且\(r(A)=r(A,b)=r\lt n\)，则方程组的解空间的维数为（ ）
A. \(n - r\) B. \(r\) C. \(n\) D. \(r - n\)
6. 设矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)为（ ）
A. \(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\) B. \(\begin{pmatrix}4&2\\-3&1\end{pmatrix}\) C. \(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}\) D. \(\begin{pmatrix}1&2\\-3&4\end{pmatrix}\)
7. 若向量\(\alpha=(1,2,3)^T\)，\(\beta=(x,1,2)^T\)正交，则\(x\)的值为（ ）
A. -4 B. 4 C. -2 D. 2
8. 已知二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_2\)，则其矩阵为（ ）
A. \(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\) B. \(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&1&3\end{pmatrix}\) C. \(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\) D. \(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}\)
9. 设\(A\)是可逆矩阵，则\((A^)^{-1}\)等于（ ）
A. \(\frac{1}{\vert A\vert}A\) B. \(\vert A\vert A\) C. \(\frac{1}{\vert A\vert}A^{-1}\) D. \(\vert A\vert A^{-1}\)
10. 若\(A\)是正定矩阵，则\(A\)的各阶顺序主子式（ ）
A. 全小于0 B. 全等于0 C. 全大于0 D. 不全大于0

二、填空题（总共5题，每题4分，请将答案填在横线上）
1. 设矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)，则\(AB=\)______。
2. 已知向量\(\alpha=(1,2,3)^T\)，\(\beta=(4,5,6)^T\)，则\(\alpha\cdot\beta=\)______。
3. 若矩阵\(A\)满足\(\vert A\vert = 0\)，则\(A\)______（填“可逆”或“不可逆”）。
4. 二次型\(f(x_1,x_2)=2x_1^2 + 3x_2^2 + 4x_1x_2\)的正惯性指数为______。
5. 设向量组\(\alpha_1=(1,1,1)^T,\alpha_2=(1,2,3)^T,\alpha_3=(1,3,t)^T\)线性相关，则\(t=\)______。

三、判断题（总共5题，每题3分，请判断对错，对的打“√”，错的打“×”）
1. 若\(A\)，\(B\)为同阶方阵，则\((AB)^T = A^TB^T\)。（ ）
2. 向量组中任意一个向量都可由其余向量线性表示，则该向量组线性相关。（ ）
3. 若矩阵\(A\)与\(B\)相似，则\(\vert A\vert=\vert B\vert\)。（ ）
4. 正定二次型的矩阵一定是正定矩阵。（ ）
5. 若\(A\)是正交矩阵，则\(\vert A\vert = 1\)。（ ）

四、解答题（总共3题，每题10分）
1. 已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)，求\(A\)的秩\(r(A)\)。
2. 求解线性方程组\(\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 4\\2x_1 + 4x_2 + 6x_3 = 8\\3x_1 + 6x_2 + 9x_3 = 12\end{cases}\)。
3. 已知二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3\)，求其标准形。

五、证明题（总共2题，每题10分）
1. 设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(AB = 0\)，证明\(r(A)+r(B)\leq n\)。
2. 证明：实对称矩阵的特征值都是实数。

答案：
一、选择题
1. A
2. A
3. D
4. C
5. A
6. A
7. A
8. A
9. A
10. C

二、填空题
1. \(\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\)
2. 32
3. 不可逆
4. 2
5. 5

三、判断题
1. ×
2. √
3. √
4. √
5. ×

四、解答题
1. 对\(A\)进行初等行变换：\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\stackrel{r_2-r_