2025年大学大三（逻辑学）数理逻辑基础试题及解析.doc

2025年大学大三（逻辑学）数理逻辑基础试题及解析

（考试时间：90分钟 满分100分）
班级______ 姓名______

第I卷（选择题 共30分）
答题要求：本卷共6题，每题5分。每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确答案的序号填在括号内。

1. 以下哪个是命题逻辑中的重言式？（ ）
A. p→¬p B. (p→q)∧q→p C. p∨¬p D. (p∧q)→(p∨q)
2. 谓词逻辑中，“所有的人都会思考”可以表示为（ ）
A.?x(H(x)→T(x)) B.?x(H(x)∧T(x)) C.?x(H(x)→T(x)) D.?x(H(x)∧T(x))，其中H(x)表示x是人，T(x)表示x会思考
3. 与命题“¬(p∨q)”逻辑等价的是（ ）
A. ¬p∨¬q B. ¬p∧¬q C. p∧¬q D. ¬p∨q
4. 在逻辑推理中，“肯定前件式”是指（ ）
A. (p→q)∧p→q B. (p→q)∧q→p C. (p→q)∧¬p→¬q D. (p→q)∧¬q→¬p
5. 设A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A - B等于（ ）
A. {1} B. {4} C. {1,4} D. {2,3}
6. 以下关于集合运算的说法，正确的是（ ）
A. A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) B. A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) C. A - (B∪C)=(A - B)∪(A - C) D. 以上都不对

第II卷（非选择题 共70分）

（一）填空题（每题5分，共20分）
答题要求：请将正确答案填在横线上。

1. 命题“如果今天下雨，那么我就不去上学”的逆否命题是____________________。
2. 在谓词逻辑中，量词的作用域是____________________。
3. 设集合A={a,b,c}，B={b,c,d}，则A×B=____________________。
4. 逻辑联结词“异或”用符号表示为____________________。

（二）简答题（每题10分，共20分）
答题要求：简要回答问题，要有必要的步骤和解释。

1. 简述命题逻辑和谓词逻辑的区别。
2. 说明集合的交并补运算的定义。

（三）证明题（每题15分，共30分）
答题要求：写出详细的证明过程，包括推理依据。

1. 证明：(p→q)∧(q→r)→(p→r)是重言式。
2. 已知A⊆B，证明：A∩B = A。

答案部分：
第I卷：1. C 2. A 3. B 4. A 5. A 6. B
第II卷：（一）1. 如果我去上学，那么今天不下雨。2. 紧跟量词后面的公式。3. {(a,b),(a,c),(a,d),(b,b),(b,c),(b,d),(c,b),(c,c),(c,d)} 4. ⊕ （二）1. 命题逻辑研究命题之间的逻辑关系，以命题为基本单位；谓词逻辑引入了个体词、谓词和量词，能更深入地刻画命题的内部结构和逻辑关系。2. 交集：由所有既属于A又属于B的元素组成的集合；并集：由所有属于A或者属于B的元素组成的集合；补集：在全集U中，由所有不属于A的元素组成的集合。 （三）1. 设(p→q)∧(q→r)为真，则(p→q)为真且(q→r)为真。若p为真，由p→q为真可得q为真，再由q→r为真可得r为真，所以p→r为真；若p为假，p→r也为真。所以(p→q)∧(q→r)→(p→r)是重言式。2. 因为A⊆B，所以对于任意x∈A，都有x∈B。那么既属于A又属于B的元素就是A中的元素，所以A∩B = A。