2.1几何证明概述.ppt

精选2021版课件,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第二章 几何证明,本章研究的主要内容：,一、几何证明及其方法,二、几类常见几何问题的证明,三、几个著名的几何定理,1,精选2021版课件,2.1,几何证明概述,2.2.1,命题及其结构,1,、命题的四种形式（变化）,命题的构成,前提（题设）,结论,命题可分为真命题与假命题,数学命题的一般形式,（假言命题）,若,P,，则,Q,.,或,符号“”表示推出,.,2,精选2021版课件,命题的换质,否命题,命题,的换位,命题的四种形式,逆命题,原命题：,若,P,则,Q,.,逆命题：,若,P,则,Q,.,逆否命题：,若,P,则,Q,.,否命题：,若,P,则,Q,.,(,互逆,),(,互逆,),互,否,互,否,互逆否,3,精选2021版课件,命题的四种形式的真假关系：,互为逆否的命题同真假,2,、逆命题与逆定理,逆,命题就是逆定理吗？,一个定理的逆定理是唯一的吗？,.,如“等腰三角形顶角的平分线也是底边,的中垂线”,此命题有,5,个逆定理,.,4,精选2021版课件,5,精选2021版课件,B,A,D,C,6,精选2021版课件,3,、充分条件、必要条件与充要条件,分析如下命题：,(1),平行四边形对角线互相平分,.,(2),菱形对角线互相垂直,.,4,、证明的意义,证明的含义和作用,证明的组成,论题,即要证明的问题,论据,即已知为真的命题,论证,即一系列的推理,7,精选2021版课件,5,、证明要严谨,证明中常见的错误有：论题错误、论,据不足、论证不充分等,判断一个命题不成立，通常是找反例,.,例,1,有一组对边相等和一组对角相等的,四边形是平行四边形,A,D,B,C,题设：四边形,ABCD,中,AD,=,BC,A,=,C,.,求证：,ABCD,是平行四,边形,.,8,精选2021版课件,A,F,D,E,B,C,证明：如图做辅助线,(,证明略,),思考：以上证明有,问题吗？,问题出在哪里？能举出反例吗？,E,A,D,B,C,如右下图所示，作等腰三,角形,DAE,，在,AB,边上任取一,点,B,，作等腰梯形,BEDC,.,得四边形,ABCD,.,显然四,边形,ABCD,符合题目条件，,但,ABCD,非平行四边形,.,9,精选2021版课件,例,2,设两个三角形有两边及外接圆半径成比例，,则必相似,.(,前苏联中学教材中定理,),A,B,C,M,N,O,证法一：,在如图两三角形中有,(,O,是外心,),则,同理可证：,故,10,精选2021版课件,证法二：,如图，则因,表圆半径,),可见,从而,证毕,思考：以上证明一定成立吗？,可考虑,的特例，,即得：“同园内接两三角形，若有,两边分别相等，则必全等”这显然,不成立！,(,如下页图,),11,精选2021版课件,例,3,一个三角形的两边和其中一边的高，同另一三角形的两边和其中一边的高对应相等，则此两个三角形全等,.(,这曾经是我国初中课本上的一道习题,),证题思路如下图：,12,精选2021版课件,作业：,1,例,3,中的结论成立吗？如不成立试举出,反例,.,2.,写出命题“两直线夹角的平分线上一点距,此两边等远”的逆命题、否命题及逆否命题，,并证明其逆命题,.,3.,证明：圆外切四边形的一双对边之和等,于另一双对边之和,.,叙述并证明其逆定理,.,3,题逆定理证明提示：,(,用反证法或同一法,),13,精选2021版课件,2.1.2,直接证法与间接证法,1.,直接证法与间接证法的意义,直接证法,这种由原题入手的证明方法叫直接证法,.,间接证法,将一个命题改为它的等效命题来进行证,明，这样的证明方法叫间接正法,.,14,精选2021版课件,反证法,反证法就是证明一个命题时，直接证明不,容易，而证明其逆否命题成的一种方法,.,运用反证法证明的一般步骤是：,否定结论；,由此结合已知 推出矛盾；,因此原结论不能为假，只能为真。,15,精选2021版课件,反证法的类型：,归谬法,结论的反面只有一款。,穷举法,结论的反面有若干款。,应用举例：,例,4,园内不是直径的两弦，不能平分。,已知：,求证：,证明：（用归谬法证）,16,精选2021版课件,例,5,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。,已知：,求证：,证明：（用穷举法）,17,精选2021版课件,同一法,当欲证某图形具有某种性质而又不易,直接证明时，有时候可以作出具有所示性,质的图形，然后证明所作图形就是同一个，,把它们等同起来。这种证法叫做同一法。,能用同一法证明的命题，实际上是依,据事实：具有所示性质的图形是唯一的。,例,5,以正方形,ABCD,的一边,CD,为底向形,内作等腰三角形,ECD,使其两底角为 ，则,是等边三角形。,18,精选2021版课件,证明方法,直接证法,间接正法,反证法,同一法,归谬法,穷举法,（,3,）证明方法分类,证明：（同一法）,19,精选2021版课件,作业：,1.,两圆相交，则其交点不能在连心线的同侧,.,2.,若 与 有公共底边 ，且,，则点 在 外部,.,3.,设梯形两腰之和等于一腰，则此腰两邻角,的平分线必通过另一腰的中点,.,4.,以正方形一边为底在正方形所在的一侧作,等腰三角形，使其顶角为 ，则将其顶点与,正方形另两顶点连接，必构成正三角形,.,20,精选2021版课件,2.1.3,分析法与综合,法,1.,分析法,执果索因,D,C,B,A,(,因,),(,果,),向下,找结,论的,充分,条件,21,精选2021版课件,例,6,外接于 ，则它们的,对角线共点。,证法一：,（用分析法证）,欲证它们对角线,共点,.,只需证,AC,与,EG,互相平分,.,即只需证,AECG,是平行四边形,.,又只需证,AE=CG.,又只需证 ，而此容易,得证,.,22,精选2021版课件,例,7,为 的中线 上任一点，,且 ，求证：,证明：,(,用分析法,),欲证,只需证 ,(,注意到 与,),只需证 ，,只需证 ，,式显然成立,.,23,精选2021版课件,选择性分析法,选择性分析法解题，就是从要求解的结论,B,出,发，希望能一步步把问题转化，但又难以逆推转,化，进而转化为分析要及到结论,B,需要什么样（充,分）的条件，并为此在探求的“三岔口”作方向猜想,和方向择优。假设有条件,C,就有结论,B,，即,C,就是选,择找到的使,B,成立的充分条件（,CB,）；同样的，再,分析在什么样的条件下能选择及到,C,，即,DC,；,；,最终追溯到此结论成立或命题的某一充分条件（或,充分条件组）恰好是已知条件或已知结论,A,为止。,在运用选择性分析法解题时，常使用短语：,“只需,即可”来刻划。,24,精选2021版课件,例,8,如图，四边形 的一条对角线,平行于两对对边之交点的连线 ，求证：,平分,.(1978,年全国数学竞赛题,),B,M,C,N,D,E,F,A,分析：欲证的是线段,等量关系，可试运用比例,线段转化来探讨，但又不,易直接证（若作辅助线证,又另当别论），从而运用,分析法来求解,.,证明：,设,AC,交,BD,于,M,，交,EF,于,N,，则,.,25,精选2021版课件,B,M,C,N,D,E,F,A,要证,BM=MD,作方向猜测，只需证,NE=NF,或,即可,.,事实上这不容易证，,于是再作方向猜测，欲证,BM=MD,，只需,证 或 即可,.,而,从而只需证 即可,.,又只需证 即可,.,26,精选2021版课件,而,故欲证结论获证,.,27,精选2021版课件,可逆性分析法,如果在从结论向已知条件追溯的过程,中，每一步都推求的,充分必要条件,，那么,这种分析法又可叫,可逆分析法,。因而用可,逆分析法命题用选择性分析法一定能证明；,反之，用选择性分析法证明的命题，用可,逆性分析法不一定能证明。,在可逆性分析法的证明中，常用符号“”,来表示，或最后指出“上述每步可逆，故命,题成立”。,28,精选2021版课件,例,9,凸四边形的四边长分别为 ，,两对角线长为 ，则四边形的面积为：,证明：,欲证，则需证,注意到计算四边形,的另一形式的面积公式,(,由三角形面积公式推导,而来,),，两对角线夹角为,时，,，则需证,29,精选2021版课件,即,则需证,再注意到余弦定理，如图有,30,精选2021版课件,则,上述步骤每步均可逆，故原结论获证,.,注：此例结论成为,布瑞须赖尔德,(Brets,chneider,，,18081878),公式,.,31,精选2021版课件,构作性分析法,如果在从结论向已知条件追溯过程中，,在寻找新的充分条件的转化“三岔口”处，需,采取相应的构作性措施：如假设一些条件，,作某些辅助图或式等，再进行探索、推导，,才能追溯到原命题的已知条件（或稍作变形,处理）的分析法叫做,构作性分析法,。,32,精选2021版课件,例,10,如图，是 的中线，任意引,直线 交 于 ，交 于,.,求证：,.,分析：注意到题,中有中点，而求证式,是一个比较特殊的比,例式,.,需要转化来求解,.,证法一：,欲证，只需证 即可,.,若延长,AD,至,H,，使，则只需证,EF,BH,.,33,精选2021版课件,而由题设，,D,为,BC,中点，则,BHCE,为平,行四边形，即有,EF,BH,.,故原命题获证,.,证法二：,欲证 ，,只需证 即可,.,若取,FB,的中点,G,，,则只需证,EF,DG,即可,.,而由题设，,D,为,BC,中点，,即,DG,为,BCF,的中位线，即有,EF,DG,.,故原命题获证,.,34,精选2021版课件,a,b,c,d,e,f,A,B,C,D,E,F,例,11,如图，设凸四边形,ABCD,的边长,分别为,a,b,c,d,，两对角线长分别为,e,f,.,求证：,证明：,(,留作研究题目,),注：,(1),此例是布瑞须赖尔德发现的“四,边形余弦定理”,.,(2),由此例可得托勒密,(,Ptolemy,),定理：四边形中，,，并且等号,当且仅当四边形内接于,圆时成立,.,35,精选2021版课件,设想型分析法,(,合情推理,),在向已知条件的追溯过程中，借助于有,根据的设想、假定，形成“言之成理”的心构,思，再进行“持之有据”的验证逐步地找出正,确途径的分析法又称为设想型分析法,.,在求解一些关于位置关系、轨迹、作图,等问题时，常采用这种方法,.,例,12,在已知锐角三角形的三边上各找,一点，使以三点为顶点的三角形周长最小,.,例,13,已知两边求作三角形，使这两边,上的中线互相垂直,.,以上两例在学习合情推理时再讨论,.,36,精选2021版课件,例,14,如图，在,ABC,中,，,AB,AC,，,求,在此三角形内部且到底边的距离等于两腰的,距离的几何平均值的点的轨迹,.,A,B,C,E,F,H,M,37,精选2021版课件,2.,综合法,由因导果,A,B,C,D,(,果,),(,因,),向,下推,38,精选2021版课件,深入发掘题设内涵，充分运用已知条件,是熟练地运用综合法解题的关键,.,例,15,外接于 ，则它们的,对角线共点。,证法二：,（用综合法证）,把分析法与综合,法结合起来，在分析中有综合法，在综合法,中有分析法或交叉使用去论证，求解命题的,思维方法叫做分析综合法。它通常是从一个,例题的两点向中间“挤”，这样，容易发现证,题的突破口，收到事半功倍的效果。,39,精选2021版课件,作业：,(,用综合法或分析法证明下列各题,),1,中 ，在 上任取一点,E,，在,AB,的延长线上取一点,D,，使,BD=EC.,证明,BC,平分,DE,.,2,证明等腰三角形底边上任意一点到两腰,的距离之和为常量,.,3,证明等腰三角形底边延长线上任意一点,到两腰的距离之差为常量,.,4,证明等边三角形内部任意一点到三边的,距离之和为常量,.(,又若此点去在取在三角形,外，命题将如何变化？,),40,精选2021版课件,2.1.4,演绎法与归纳法,1.,什么是推理？,推理是从一个或几个判断得出一个新的,判断的思维形式,.,推理与证明的区别与联系,最常见的三类推理,:,归纳推理,;,演绎推理,;,类比推理,.,在几何中还常用到合情推理,.,2.,归纳推理,归纳推理是从特殊到一般的思维方法,(,归,纳法,).,41,精选2021版课件,归纳推理,完全归纳,枚举法,(,对象有限,),数学归纳法,(,对象无限,),不完全归纳法,枚举法举例,例,16,证明在圆内同弧所对的圆心角等,于圆周角的两倍,.,证明,(,略,),：,(,分三种情况进行枚举归纳，,即圆心在圆周角的一条边上，圆心在圆周角,内，圆心在圆周角外,)(,作出图形进行分析说,明,),42,精选2021版课件,数学归纳法举例,例,17,圆上一点至内接偶数多边形相间各,边距离之积,等于该点至其余各边的距离之,积,.,已知：是圆内接 边形,圆上,一点,P,到各个边所在直线,的距离依次记为,.,求证：,=,43,精选2021版课件,证明：,(1),当,n,=2,时，即可述为如下命题：,从圆上一点到内接四边形,ABCD,各边做垂线,PE,、,PF,、,PG,、,PH,则,.(,如图,),易证,从而易得,.,即当,n,=2,时命题成立,.,P,P,44,精选2021版课件,(2),设定理对于,n,成立,证明它对于,n,+1,也成立,.,如图,由归纳假设对,于,2,n,边形 有,=,.,而对于四边形,有,.,两式相乘约去因子,p,.,即得求证,.,故,对取任意自然数命题都成立,.,P,p,45,精选2021版课件,不完全归纳举例,例,18,凸,n,边形内角和为,.,3.,演绎推理,演绎推理是从一般到特殊的思维方法,.,演绎推理中最常见的形式是三段论,三段论由三个部分组成,:,大前提,(,全称,判,断,),小前提,(,特殊,判断,),结论,(,最后的判断,).,例如：凡矩形对角线相等，,(,大前提,),正方形是矩形,(,小前提,),所以,正方形对角线相等,.(,结论,),46,精选2021版课件,三段论式推理可以用公式表示为：,所有的,M,都是,B,（大前提）,S,是,M,（小前提）,故,S,是,M,（结论）,数学证明中演绎推理举例,数学中的三段论,为了叙述简便,常常略,去一个前提,(,多半是大前提,),有时甚至略去小,前提只写出结论,.,例,19 (,如图,),D,是线段,BC,的中点,过,D,引射,线,A,是射线上任一点,.,求证,:,ACB,ABC,的,大小顺序不变,与,A,的位置无关,.,(,以下对证明过程进行剖析,),47,精选2021版课件,证明：,不妨设,ACB,ABC,在,射线,DA,上任意取一,即需证明,.,因为,ACB,ABC,所以,AB,AC,(,三角形,中大角对大边,),则,ADB,ADC,(,两三角形若有两边,对应相等,则第三边大者对角也大,),因而 （两三角形若有两边对应,相等,则夹角大者对边也大,),则 （三角形大边对大角）,48,精选2021版课件,4,类比推理,什么是类比推理,?,根据两个对象在某些属性上的相同而得,出这两个对象在其他属性上也可能相同的结,论,.,如对象,A,有属性,a,、,b,、,c,、,d,对象,B,有属,性,a,、,b,、,c,那么就可以得出对象,B,也有属性,d,这一结论,.,类比推理是一中或然性的推理,它只能,给人们提供线索、启发人们思考和发现问,题,结论是否正确,还必须借助其他方法验证,.,49,精选2021版课件,类比推理举例,例,20,在直角三角形中,有勾股定理,.,相应,的,取空间中这样的四面体,:,它的三个面是直,角三角形,把这四面体的这三个面看成直角,三角形的直角边,而把第四面看作斜边,.,又把,这四面体的面积看作直角三角形相应的各边,长,.,于是猜想命题”,那三面的面积的和等,于第四面的平方”,该问题留给同学们自,己研究,.,50,精选2021版课件,5.,合情推理,什么是合情推理,?,论证推理与合情推理的关系,几何问题中的合情推理,猜想,例,21,过,O,外两点,P,、,Q,，作一圆与此圆,相切。,51,精选2021版课件,分析：,首先设想圆已经作出,作法：,（略）,证明：,（略）,52,精选2021版课件,例,22,由等边三角形内任一点，向三边,作垂线，则三垂线段长之和为定值。,分析：,（如图，略）,证明：,（略）,53,精选2021版课件,作业：,1,三角形两边之积等于第三边上的高于,外接圆之积,.(,运用此结论可以证明例,20,而不,用数学归纳法,),用普通归纳法证明,2-3,题,2.,设圆,O,与,O,交于,P,、,Q,两点，过,Q,任作一,直线交圆于,A,、,B,，则,APB,OP O,.,3.,在,ABC,中，,B,2,C,，,AD,BC,于,D,，,M,是,BC,的中点，求证,.,用数学归纳法证明,4-5,题,4,圆内接偶数多边形相间各角之和等于其,余各角之和,.,54,精选2021版课件,5.,从一点,M,作多边形,A,1,A,2,、,A,2,A,3,、,、,A,n,A,1,的垂线,MH,1,、,MH,2,、,、,MH,n,，则,.,6.,证明：从圆上一点到其内接四边形一双,对边的距离之积，等于从该店到两条对角线,的距离之积,.,7.,设,A,、,B,、,C,、,D,为直线上顺次四点，证,明欧拉定理：,.,若使,用有向线段，则不论四点顺序如何，上式总,成立,.,8.,已知两边求作三角形，使这两边上的中,线互相垂直,.,55,精选2021版课件,9.,在 中，求在此三角形内,部且到底边的距离等于两腰的距离的几何,平均值的点的轨迹,.,56,精选2021版课件,2.1.5,几何证明的其他方法,面积法、代,数法、三角法、解析法、复数法、向量法等,1,.,面积法,面积法解题的基本依据,(1),几个面积公式,设在,ABC,中，角,A,、,B,、,C,所对的边依,次为,a,、,b,、,c,，,ha,为,a,边上的高，,R,为外接圆,的半径，,r,为内切圆的半径，,p,为三边之长的,一半，,S,ABC,表示,ABC,的面积，则有,57,精选2021版课件,设凸四边形,ABCD,的边长为,a,、,b,、,c,、,d,，,两对角线长为,e,、,f,，两对角线夹角为 ，,表示四边形,ABCD,的面积，则有,58,精选2021版课件,若记 为一双对角和，,则,(2),几个常用的等积变形定理,面积分割原理：一个图形的面积等于,它的各个部分面积之和；,两个全等形的面积相等；,等底（含同底）等高的两个三角形面,积相等；反之若两三角形等高（或等底）且,等积，则它们等底（或等高）；,59,精选2021版课件,等积平行定理：；且点,在,BC,的同侧 ,.,相似图形的面积比等于其相似比的平,方；,两个同（等）底的三角形（平行四边,形）的面积比等于这边上对应高的比；,两个同（等）高的三角形（平行四边,形）的面积比等于它们底边的比；,(3),几个常用的面积比定理,60,精选2021版课件,夹在两条平线间的两个平面图形，被,平行于这两条平行线的任意直线所截，如果,截得两条线段之比总等于一个常数 ，那么,这两个平面图形的面积之比为 ；,共边比例定理：若 与 的公共,边所在的直线与直线,PQ,交于,M,，则,；,共角比例定理：若在 与 中，,或 ，则,；,61,精选2021版课件,内接于同一圆的两个三角形的面积比,等于三边乘积的比,.,(4),几个重要结论,三角形的三条中线将该三角形分成等面积的,六个小三角形,.,平行四边形的两条对角线将平行四边形分成,面积相等的四个小三角形,.,平行四边形一边上任一点与对边两端点的连,线将该平行四边形分成等积的两部分,.,平行四边形内任一点与四顶点的连线将其分,成四个三角形，则对顶的两个三角形面积之和相,等,.,任意凸四边形两对角线将该四边形分成四个,三角形，对顶的两三角形面积之积相等,.,62,精选2021版课件,面积法解题举例,例,23,用面积法证,明勾股定理,.,B,A,C,D,E,F,G,H,I,63,精选2021版课件,A,B,C,P,D,E,F,例,24,设,P,是,ABC,的,A,平分线上的任意,一点，过,C,引,CE,PB,交,AB,延长线于,E,，过,B,引,BF,PC,交,AC,的延长线于,F,，求证：,BE,CF,.,64,精选2021版课件,2.,代数法,例,25,在同底的一切周长相等的三角形中，,面积最大的是哪一种三角形？,证明：,(,可用代数法证,),借助于代数式的计算而获得几何命题的证,明方法叫做代数法,.,用代数法证几何题，关键是把图形性质的,研究转化为对其数量关系的讨论,.,也就是说，,把几何问题代数化,.,65,精选2021版课件,例,26,已知正方形,ABC,D,，在,BC,边上任取一点,E,，过,E,作,AE,的垂线交角,C,的外角平分线于,F,.,求证：,AE,=,EF,.,3.,三角法,利用图形已有的三角形,(,或添加辅助线，出现三角形,),和题中给出的某些线段和角的特定关系，通过构成三角函数式，结合三角知识通过三角运算，从而使命题获证的方法称为三角法,.,它是几何证明中的一种常用方法,.,证明一：,(,纯几何法,),66,精选2021版课件,证明二：,(,三角法,),67,精选2021版课件,例,27,证明三：,(,用解析,法证,),4.,解析法,解析法也称坐标法，就是把平面几何图形,通过建立直角坐标系，把平面上的点和直线,与数或方程对应，化为代数式或方程，通过,代数运算或解方程达到论证的目的,.,解析法的关键是恰当选择坐标系，此外还,要熟练掌握和善于使用,解析几何有关公式、定,理,.,68,精选2021版课件,5.,向量法,在几何学中，把几何图形看作点的集合，,而平面上的点、线段、可表示为向量,.,因此,可以把作为点的集合的几何图形看作是向量,的集合,.,这样，平面几何中涉及的度量关系,和位置关系，都可以表示为某种向量代数的,运算,.,这种借助于向量代数的运算来证几何,题的方法称为向量法,.,向量法具有书写简便，便于运算等优点,.,但往往难点在于选择媒介向量，在解题时，,要善于把条件与结论的关系或中间向量联系,起来，沟通已知与未知的联系,.,69,精选2021版课件,例,28,证明三角形重心定理,A,G,E,D,C,B,分析,如图，,D,E,是,ABC,边,AC,AB,的中点，,BD,CE,交于,G,.,易知,70,精选2021版课件,6.,复数法,复数,x+yi,(,x,y,为实数,),与复平面上的点可以,建立一一对应关系,.,把几何图形的点看作对,应于复平面的复数，借助于复数的运算，获,得几何命题证明的方法称为复数法,.,用复数法证明几何题，首先将题目给出的,已知条件“翻译”成复数的若干关系式，然后,经过一系列的复数运算，得出一批新的关系,式，最后把它们再“翻译”所需要的几何结论,.,几何条件,复数关系,新的复数关系,几何结论,转化,几何推理,复数运算,转化,71,精选2021版课件,例,29,如图，在矩形,OABC,中，,MN,OA,，,AN,1,，,AB,5,，,OD,D,E,E,A,.,求,证：,O,D,E,A,N,M,C,B,1,2,3,用复数法证几何题，其关键是如何把几何,问题转化为相应的复数问题,.,为此，首先要,掌握复数及其运算的几何意义,.,此外还要熟,悉有关复数运算的常用公式,.,72,精选2021版课件,作业：,1,.,用面积法证明三角形内角平分线定理,.,2,.,O,为,ABC,内任一点，,AO,、,BO,、,CO,分别交对边于,.,用面积法证明,：,3.,（用代数法）圆内三弦,两两相交于,A,、,B,、,C,，且 ，,AR,=,BP,=,CQ,，求证：,ABC,为正,三角形,.,73,精选2021版课件,4.,正方形,ABCD,内接于圆,O,，,P,在,AB,弧上，,求证：,(,用三角法,),5.,（用三角法）,ABC,中,AB,=,AC,，,D,在,AB,上，且,AD,=,BC,，求证：,.,6.,正方形,ABCD,中，,求证：,AP,=,AB,.(,用解析法证,),7.,已知圆内接四边形的两对,角线互相垂直,.,求证过对角线交,点而垂直于一边的直线必平分,其对边,.(,用解析法证,),8.,四边形,ABCD,内接于圆,O,，于,H,，,OG,BC,于,G,.,求证：,(,用解析法证,),74,精选2021版课件,9.,用解析法证三角形重心、垂心、外心共,线,.,10.,用向量法证明直径所对圆周角是直角,.,11.,用向量法证三角形三条高线交于一点,.,12.,用向量法证：,D,、,E,、,F,是正,ABC,三,边,AB,、,BC,、,CA,上三点，并且,AD,=,BE,=,CF,，,AE,、,BF,、,CD,相交于,M,、,H,、,G,.,求证：三角,形,HMG,是正三角形,.,13.,如图，三个正方形,.,求证：,(,复数法,),14.,若三角形的外心和重心重合，求证此,三角形是正三角形,.(,用复数法证,),75,精选2021版课件,7.,几何证明的其他方法,2,割补法、参量法、几何变换法、射影法、,消点法、物理法等,.,留待同学们自己寻找资料研究,.,76,精选2021版课件,割补法,在求解平面几何问题时，根据问题的题设,和结论，合理适当地将原来的图形割去一部,分，或补上一部分，变成一个特设的、简单,的、整体的、熟悉的图形，使原来问题的本,质得到充分显示，通过对新图形的分析，探,索原来问题的答案,.,这种方法我们称为割补,法,.,例,30,在等边凸六边形,ABCDEF,中，,A,+,C,+,E,B,+,D,+,F,.,求证,:,A,D,B,E,C,F,.,77,精选2021版课件,这个问题的解法很多，但都不如下面的,割补法简洁,.,A,F,E,B,D,C,o,78,精选2021版课件,79,精选2021版课件,