2025年大学大二（统计学）数理统计学基础测试题及答案.doc

2025年大学大二（统计学）数理统计学基础测试题及答案

（考试时间：90分钟 满分100分）
班级______ 姓名______

第I卷（选择题 共30分）
答题要求：每题只有一个正确答案，请将正确答案的序号填在括号内。(总共6题，每题5分)
w1. 设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ为来自总体X的样本，则样本均值X̅服从的分布是（ ）
A. N(μ,σ²/n) B. N(μ,σ²) C. N(0,1) D. N(nμ,nσ²)
w2. 设X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，且E(X)=μ，D(X)=σ²，则样本方差S²是总体方差σ²的（ ）
A. 无偏估计量 B. 有偏估计量 C. 一致估计量 D. 相合估计量
w3. 设总体X服从参数为λ的泊松分布，X₁,X₂,…,Xₙ为样本，则样本均值X̅的数学期望E(X̅)为（ ）
A. λ B. λ/n C. nλ D. λ²
w4. 设总体X服从正态分布N(0,1)，X₁,X₂,…,Xₙ为样本，则∑ᵢ₌₁ⁿXᵢ²服从的分布是（ ）
A. N(0,1) B. χ²(n) C. t(n) D. F(n,1)
w5. 在假设检验中，显著性水平α是指（ ）
A. 原假设H₀为真时，拒绝H₀的概率 B. 原假设H₀为假时，接受H₀的概率
C. 原假设H₀为真时，接受H₀的概率 D. 原假设H₀为假时，拒绝H₀的概率
w6. 设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，已知样本容量n=16，样本均值X̅=50，样本标准差S=1，则总体均值μ的置信度为0.95的置信区间为（ ）
A. (49.51,50.49) B. (49.48,50.52) C. (49.45,50.55) D. (49.42,50.58)

第II卷（非选择题 共70分）
w7. （10分）简述中心极限定理的内容。
w8. （15分）设总体X的概率密度为f(x)=θx^(θ - 1)，0<x<1，θ>0，X₁,X₂,…,Xₙ为来自总体X的样本，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量。
w9. （15分）某工厂生产的某种产品的质量指标X服从正态分布N(μ,σ²)，现从该产品中随机抽取25件，测得样本均值X̅=16，样本方差S²=0.09。
（1）求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间；
（2）在显著性水平α=0.05下，检验该产品的质量指标是否符合标准μ₀=16.5。（已知t₀.₀₂₅(24)=2.064，χ²₀.₀₂₅(24)=39.364，χ²₀.₉₇₅(24)=12.401）
w10. （15分）为了研究某种药物对小白鼠体重增长的影响，将20只小白鼠随机分为两组，一组为实验组，一组为对照组。实验组注射该药物，对照组不注射。经过一段时间后，测量两组小白鼠的体重增加量（单位：g），数据如下：
实验组：12.5,13.2,11.8,12.0,12.8,13.5,12.6,12.4,12.7,13.⑴
对照组：10.2,10.5,10.8,11.0,11.2,11.5,11.8,12.0,12.2,12.5
（1）分别计算两组数据的均值和方差；
（2）在显著性水平α=0.05下，检验该药物对小白鼠体重增长是否有显著影响。（已知t₀.₀₂₅(18)=2.101）
w11. （15分）设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ为来自总体X的样本，Y₁=a₁X₁ + b₁，Y₂=a₂X₂ + b₂，…，Yₙ=aₙXₙ + bₙ，其中aᵢ,bᵢ为常数，i = 1,2,…,n。
（1）求Y₁,Y₂,…,Yₙ的均值和方差；
（2）若Y₁,Y₂,…,Yₙ相互独立，证明：∑ᵢ₌₁ⁿ(Yᵢ - μᵢ)²/σ²服从χ²(n)分布，其中μᵢ = E(Yᵢ)。

答案：
w1. A
w2. A
w3. A
w4. B
w5. A
w6. B
w7. 设从均值为μ、方差为σ²（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值X̅的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ²/n的正态分布。
w8. 矩估计量：E(X)=∫₀¹xθx^(θ - 1)dx = θ/(θ + 1)，令X̅ = θ/(θ + 1)，解得θ = X̅/(1 - X̅)，所以θ的矩估计量为θ̂ = X̅/(1 - X̅)。极大似然估计量：L(θ)=∏ᵢ₌₁ⁿθxᵢ^(θ - 1)=θⁿ(∏ᵢ₌₁ⁿxᵢ)^(θ - 1)，取对数lnL(θ)=nlnθ+(θ - 1)∑ᵢ₌₁ⁿlnxᵢ，求导并令导数为0，解得θ̂ = -n/∑ᵢ₌₁ⁿlnxᵢ。
w9. （1）n = 25，X̅ = 16，S² = 0.09，S = 0.3，t₀.₀₂₅(24)=2.064，置信区间为(X̅ - t₀.₀₂₅(24)S/√n,X̅ + t₀.₀₂₅(24)S/√n)=(16 - 2.064×0.3/√25,16 + 2.064×0.3/√25)=(15.876,16.124)。（2）H₀:μ = 16.5，H₁:μ≠16.。t=(X̅ - μ₀)/(S/√n)=(16 - 16.5)/(0.3/√25)= -8.333，|t| = 8.333>t₀.₀₂₅(24)=2.064，拒绝H₀，该产品质量指标不符合标准。
w10. （1）实验组均值X̅₁ = 12.6，方差S₁² = 0.264；对照组均值X̅₂ = 11.4，方差S₂² = 0.304。（2）H₀:μ₁ = μ₂，H₁:μ₁≠μ₂。S_w² = (9×0.264 + 9×0.304)/(10 + 10 - 2)=0.284，t=(X̅₁ - X̅₂)/√(S_w²(1/10 + 1/10))=(12.6 - 11.4)/√(0.284×0.2)=√(1.2²/0.0568)≈4.92，|t| = 4.92>t₀.₀₂₅(18)=2.101，拒绝H₀，该药物对小白鼠体重增长有显著影响。
w11.(1)E(Yᵢ)=aᵢμ + bᵢ，D(Yᵢ)=aᵢ²σ²。(2)因为Yᵢ服从正态分布N(aᵢμ + bᵢ,aᵢ²σ²)，且Y₁,Y₂,…,Yₙ相互独立，所以∑ᵢ₌₁ⁿ(Yᵢ - μᵢ)²/σ² = ∑ᵢ₌₁ⁿ((aᵢX₁ + bᵢ - (aᵢμ + bᵢ))²/σ²)=∑ᵢ₌₁ⁿ(aᵢ(X₁ - μ))²/σ²，而(X₁ - μ)/σ服从N(0,1)，所以∑ᵢ₌₁ⁿ(Yᵢ - μᵢ)²/σ²服从χ²(n)分布。