一元线性回归分析案例.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,最新版整理ppt,*,8.5一元线性回归分析案例,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,1,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,数学统计内容,画散点图,了解最小二乘法的思想,求回归直线方程,y,bx,a,用回归直线方程解决应用问题,2,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间,的,函数关系,是,y=x,2,确定性关系,问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否,有一个确定性的关系？,例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上,进行施肥量对水稻产量影响的试验，得,到如下所示的一组数据：,施化肥量x,15 20 25 30 35 40 45,水稻产量y,330 345 365 405 445 450 455,复习 变量之间的两种关系,3,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,10 20 30 40 50,500,450,400,350,300,施化肥量x,15 20 25 30 35 40 45,水稻产量y,330 345 365 405 445 450 455,x,y,施化肥量,水稻产量,4,最新版整理ppt,自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做,相关关系,。,1、相关关系的定义：,1）：相关关系是一种不确定性关系；,注,对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫,回归分析,。,2）：,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,5,最新版整理ppt,现实生活中存在着大量的相关关系。,如：人的身高与年龄；,产品的成本与生产数量；,商品的销售额与广告费；,家庭的支出与收入。等等,探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律？,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,6,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,10 20 30 40 50,500,450,400,350,300,发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。,探索2：在这些点附近可画直线不止一条，哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？,施化肥量x,15 20 25 30 35 40 45,水稻产量y,330 345 365 405 445 450 455,x,y,散点图,施化肥量,水稻产量,7,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,10 20 30 40 50,500,450,400,350,300,x,y,施化肥量,水稻产量,8,最新版整理ppt,对于一组具有线性相关关系的数据,我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：,称为样本点的中心。,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,9,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,1、所求直线方程叫做,回归直线方程,；,相应的直线叫做,回归直线,。,2、对两个变量进行的线性分析叫做,线性回归分析,。,1、回归直线方程,10,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,2.求回归直线的方法最小二乘法：,称为样本点的中心,。,11,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,4、求回归直线方程的步骤：,（3）代入公式,（4）写出直线方程为y=bx+a,即为所求的回归直线方程。,12,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,应用：利用回归直线方程对总体进行线性相关性的检验,例1、炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握,钢水含碳量和冶炼时间的关系。如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y（从炉料熔化完毕到出刚的时间）的一列数据，如下表所示：,x（0.01%）,104,180,190,177,147,134,150,191,204,121,y（min）,100,200,210,185,155,135,170,205,235,125,（1）y与x是否具有线性相关关系；,（2）如果具有线性相关关系，求回归直线方程；,（3）预测当钢水含碳量为160个0.01%时，应冶炼多少分钟？,13,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,解：(1)列出下表,并计算,i,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,x,i,104,180,190,177,147,134,150,191,204,121,y,i,100,200,210,185,155,135,170,205,235,125,x,i,y,i,10400,36000,39900,32745,22785,18090,25500,39155,47940,15125,14,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,所以回归直线的方程为 =1.267x-30.51,(3)当x=160时,1.267.160-30.51=172,(2)设所求的回归方程为,15,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,5.如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？,在数学3中，我们学习了用相关系数r来衡量两个变量,之间线性相关关系的方法。,相关系数r,16,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,小结：回归分析的内容与步骤：,统计检验通过后，最后是,利用回归模型，根据自变量去估计、预测因变量,。,回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。,其主要内容和步骤是：,首先根据理论和对问题的分析判断，,将变量分为自变量和因变量,；,其次，设法,找出合适的数学方程式（即回归模型）,描述变量间的关系；,由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要,对回归模型进行统计检验,；,17,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,例1,从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为,172cm的女大学生的体重。,案例1：女大学生的身高与体重,解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：,2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。,18,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，体重为因变量,2.回归方程：,1.,散点图；,本例中,r=0.7980.75这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的。,19,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,探究：,身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？,答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重接近于60.316kg。,即，用这个回归方程不能给出每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均体重的值。,20,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,比数学3中“回归”增加的内容,数学统计,画散点图,了解最小二乘法的思想,求回归直线方程,y,bx,a,用回归直线方程解决应用问题,选修2-3统计案例,引入线性回归模型,y,bx,a,e,了解模型中随机误差项,e,产生的原因,了解相关指数,R,2,和模型拟合的效果之间的关系,了解残差图的作用,利用线性回归模型解决一类非线性回归问题,正确理解分析方法与结果,21,最新版整理ppt,1、线性回归模型：,y=bx+a+e，,(3),其中a和b为模型的未知参数，,e称为随机误差,。,y=bx+a+e，,E(e)=0,D(e)=,(4),2、数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是随机误差的效应，称 为,残差,。,3、对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号表示为：,称为,残差平方和,，,它代表了随机误差的效应。,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,22,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,4、两个指标：,（1）类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作,为 的估计量，越小，预报精度越高。,（2）我们可以用,相关指数R,2,来刻画回归的效果，其,计算公式是：,R,2,1，说明回归方程拟合的越好；,R,2,0，说明回归方程拟合的越差。,23,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。,5、残差分析与残差图的定义：,然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，,这方面的分析工作称为残差分析,。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,残差,-6.373,2.627,2.419,-4.618,1.137,6.627,-2.883,0.382,我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为,残差图,。,24,最新版整理ppt,残差图的制作及作用,1、坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；,2、若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；,3、对于远离横轴的点，要特别注意。,身高与体重残差图,异常点,错误数据,模型问题,几点说明：,第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。,另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,25,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,例2,在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：,求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。,价格x,14,16,18,20,22,需求量Y,12,10,7,5,3,解：,26,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,例2,在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：,求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。,价格x,14,16,18,20,22,需求量Y,12,10,7,5,3,列出残差表为,0.994,因而，拟合效果较好。,0,0.3,-0.4,-0.1,0.2,4.6,2.6,-0.4,-2.4,-4.4,27,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,练习：,关于x与y有如下数据：,有如下的两个线性模型：,（1）；（2）,试比较哪一个拟合效果更好。,x,2,4,5,6,8,y,30,40,60,50,70,28,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,6、注意回归模型的适用范围：,（1）回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。样本数据来自哪个总体的，预报时也仅适用于这个总体。,（2）模型的时效性。利用不同时间段的样本数据建立的模型，只有用来对那段时间范围的数据进行预报。,（3）建立模型时自变量的取值范围决定了预报时模型的适用范围，通常不能超出太多。,（4）在回归模型中，因变量的值不能由自变量的值完全确定。正如前面已经指出的，某个女大学生的身高为172cm，我们不能利用所建立的模型预测她的体重，只能给出身高为172cm的女大学生的平均体重的预测值。,29,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,7、一般地，建立回归模型的基本步骤为：,（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。,（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。,（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.,（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。,（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。,30,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,案例2,一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中：,（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28,o,C时产卵数目。,（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？,温度,x,o,C,21,23,25,27,29,32,35,产卵数,y,/个,7,11,21,24,66,115,325,31,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,选变量,解：选取气温为解释变量,x,，产卵数,为预报变量,y,。,画散点图,假设线性回归方程为,：,=bx+a,选 模 型,分析和预测,当,x,=28,时，,y=,19.8728-463.73 93,估计参数,由计算器得：线性回归方程为,y=,19.87,x,-463.73,相关指数R,2,=,r,2,0.864,2,=0.7464,所以，二次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。,探索新知,0,50,100,150,200,250,300,350,0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,方案1,当,x,=28时，,y=,19.8728-463.73 93,一元线性模型,32,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,y=bx,2,+a,变换,y=bt+a,非线性关系 线性关系,方案2,问题,选用y=bx,2,+a，还是y=bx,2,+cx+a？,问题3,产卵数,气温,问题2,如何求a、b？,合作探究,t,=x,2,二次函数模型,33,最新版整理ppt,方案2解答,平方变换,：,令,t=x,2,，产卵数,y,和温度,x,之间二次函数模型,y=bx,2,+a,就转化为产卵数,y,和温度的平方,t,之间线性回归模型,y=bt+a,温度,21,23,25,27,29,32,35,温度的平方,t,441,529,625,729,841,1024,1225,产卵数,y,/个,7,11,21,24,66,115,325,作散点图，并由计算器得：,y,和,t,之间的线性回归方程为,y=,0.367,t,-202.54，相关指数R,2,=,r,2,0.896,2,=0.802,将,t=x,2,代入线性回归方程得：,y=,0.367,x,2,-202.54,当,x,=28时,，y,=0.36728,2,-202.5485，且,R,2,=0.802，,所以，二次函数模型中温度解,释了80.2%的产卵数变化。,t,34,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,问题,变换,y=bx+a,非线性关系 线性关系,问题,如何选取指数函数的底?,产卵数,气温,指数函数模型,方案3,合作探究,对数,35,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,方案3解答,温度,x,o,C,21,23,25,27,29,32,35,z=lgy,0.85,1.04,1.32,1.38,1.82,2.06,2.51,产卵数,y,/个,7,11,21,24,66,115,325,x,z,当x=28,o,C,时，y 44，指数回归模型中温度解释了98.5%的产卵数的变化,由计算器得：z关于,x,的线性回归方程,为z=0.118,x,-1.665，,相关指数R,2,=,r,2,0.9925,2,=0.985,对数变换：在 中两边取常用对数得,令 ，则,就转换为,z,=bx+a,36,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,用身高预报体重时，需要注意下列问题：,1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；,2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；,3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；,4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。,事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。,这些问题也使用于其他问题。,涉及到统计的一些思想：,模型适用的总体；,模型的时间性；,样本的取值范围对模型的影响；,模型预报结果的正确理解。,小结,37,最新版整理ppt,回归分析与相关分析的区别,相关分析中，变量,x,变量,y,处于平等的地位；回归分析中，变量,y,称为因变量，处在被解释的地位，,x,称为自变量，用于预测因变量的变化,相关分析中所涉及的变量,x,和,y,都是随机变量；回归分析中，因变量,y,是随机变量，自变量,x,可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量,相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量,x,对变量,y,的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,38,最新版整理ppt,课题：,选修2-3,8.5 回归分析案例,再冷的石头，坐上三年也会暖,!,作业：,假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y（万元），有如下的统计资料。,使用年限x,2,3,4,5,6,维修费用y,2.2,3.8,5.5,6.5,7.0,若由资料知,y对x呈线性相关关系。试求：,（1）线性回归方程 的回归系数 ；,（2）求残差平方和；,（3）求相关系数 ；,（4）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？,39,最新版整理ppt,