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,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,第五章,分析力学,平衡力学体系的虚功原理,以能量为基础的拉格郎日方程,哈密顿原理及其应用,5.0分析力学发展简史,5.0 发展简史,在以前四章中，牛顿运动定律为解决所有问题的出发点，物体的受力分析是解决问题的必备过程。对于较为复杂的体系，用牛顿定律求解，会有相当大的困难(未知的约束反力，大量的二阶微分方程)。,1788年 拉格郎日 分析力学,(拉格郎日),Lagrange,s,个独立变量描述力学体系的运动，二阶微分方程。,1834年 哈密顿(Hamilton)哈密顿正则方程,2,s,个独立变量描述力学体系的运动：,s,个坐标,s,个动量,一阶微分方程。,1843年 哈密顿(Hamilton)哈密顿原理,莫培督(Maupertuis)、欧拉(Euler)、泊松(Poisson)、,高斯(Gauss)、雅可毕(Jacobi),5.1 约束与广义坐标一、约束的概念,5.1 约束与广义坐标,一、约束的概念和分类,体系：,一群质点，其中每个质点的运动都与其它质点的位,置和运动相关，这个集合成为力学体系。(,质点组,),N,个质点,个坐标数目,约束：,限制质点自由运动的条件。如平面，轨道等。,数学上，表示为一个关于位置、速度、时间的方程。,x,y,z,z,k,个约束方程：剩,个自由坐标,例子：,N,个质点被限制在一个平面内运动，那么该平面是一个约束，约束方程就是该平面的方程：,自由坐标数目,：,3,N,3,N,-,k,3,N,-,N=,2,N,个,一条空间曲线，需要几个方程描述？一个空间曲面呢？,约束的分类,约束的分类,稳定约束,f,(,x,y,z,)=0,不稳定约束,f,(,x,y,z,;,t,)=0,(1),按约束方程,是否显含时间:,(2),质点是否可以,脱离约束：,不可解约束,f,(,x,y,z,;,t,)=0,可解约束,f,(,x,y,z,;,t,),0,有时，微分约束可以通过积分变为完整约束。,而不能通过积分而改变的微分约束叫,不完整约束,。,例如：,(可化为完整约束),(不完整约束),(3),约束是否,与速度相关：,几何约束(完整约束),f,(,x,y,z,;,t,)=0,运动约束(微分约束),完整系：,只受几何约束的力学体系。,(主要内容),不完整系,：,约束中包括不完整约束的力学体系。,二、广义坐标,二、广义坐标,N,个质点,，,k,个约束,No.1,No.2,No.,n,剩下独立变量数目,(,自由度,),：,s,=3,n,-,k,另外选用,s,个,独立参数,q,1,q,2,，,q,n,来描述力学体系：,广义坐标：,相互独立的,s,个坐标,q,1,q,2,，,q,n,不一定是长度，可以是角度等其他物理量。,例：质点(,x,y,z,)限制在球壳,x,2,+y,2,+z,2,=r,2,上运动。,广义坐标：,q,和,j,5.2 虚功原理 一、实位移与虚位移,5.2 虚功原理,一、实位移与虚位移,1.,实位移,：,质点由于运动实际上所发生的位移，以,d,r,表示,2.,虚位移,：,不是由于时间变化而引起，仅仅是根据质点,位置和约束条件而,可能发生,的位移。以,d,r,表示,x,y,轨迹,轨迹,轨迹,d,r,x,y,轨迹,d,r,(平面约束),(线约束),(只有两个可能方向),d,r,(没有约束),二、理想约束,3.特点：,实位移具有唯一性，而虚位移则不唯一，甚至无限多；,在稳定约束的情况下，实位移是虚位移的一种情况；,在非稳定约束下，虚位移并不包含实位移。,二、理想约束,1.虚功：,作用在质点上的力(含约束反力),F,在任意虚,位移,d,r,中所做的功,，,叫做,虚功,。,2.理想约束：,作用在一力学体系上的诸约束反力在,任意虚位移,d,r,中所做的虚功之和为 0,.,(光滑曲线，光滑面,刚性杆，光滑铰链等),d,r,d,r,虚位移,不包含,实位移,的情况,此时，约束反力,始终垂直于约束线或面,三、虚功原理,力学体系处于平衡时：,三、虚功原理,(不可解约束的情况),一个力学体系，具有,n,个质点,，,k,个约束方程,。,F,i,：,主动力的合力,R,i,：,约束力的合力,让每个质点在平衡位置作一次虚位移，相应的虚功为：,对所有质点求和：,=0,(理想约束),平衡条件,：,力学体系的各,主动力,的虚功之和为零。,虚功原理,广义力,虚功原理:,无约束时：,有约束时：,d,r,i,之间并不互相独立。,将,d,r,i,变成互相独立的变量。,对,n,个质点，,k,个约束,:,独立变量,s,=3,n,-,k,广义力,:,例题,例题：,两条均匀杆，用铰链首尾相接，然后把一端通过铰链固定在墙上。在杆的自由端施以力,F,试计算杆的张角。,解,根据虚功原理，主要考虑主动力和主动力作用点的虚位移。,主动力：,P,1,P,2,F,相应的作用点,(,x,1,y,1,),(,x,2,y,2,),(,x,3,y,3,),P,1,点：,P,2,点：,F,点：,总的虚功：,问题：,x,1,x,2,y,3,相互独立吗？,(不!),F,a,b,A,B,P,1,P,2,l,1,l,2,x,y,(续),自由度数目：4,-,2=2，选,a,b,为独立变量。,写出,x,1,x,2,y,3,与独立变量的关系：,F,a,b,A,B,P,1,P,2,l,1,l,2,x,y,于是：,例题,解题步骤：,1.,找出体系中所有的主动力；在固定点建立坐标系；,2.,根据受力点的坐标，写出主动力的虚功；,3.,找出能够描述体系位置的独立变量；,4.,将坐标虚位移通过约束方程变为广义坐标的虚位移；,5.,令广义力为零，求得平衡的条件。,例题,一均质棒斜靠在半径为,r,的半球形碗中，碗内长度为,c,.证明棒全长为 4(,c,2,-,2,r,2,)/,c,.,q,P,m,g,解,主动力：,mg,作用力点：,P,(,x,y,),y,x,虚功：,描述木棒位置的独立变量：,q,约束方程：,结论,5.3 拉格郎日方程一、基本形式的拉格朗日方程,5.3 拉格郎日方程,一、基本形式的拉格郎日方程,出发点：,对每个质点运用牛顿运动定律,化动为静：,动力学问题,静力学问题,两边标乘,d,r,i,，然后对所有质点求和：,(理想约束),现在的目的：,将坐标的虚位移变为独立广义坐标的虚位移:,?,基本形式的拉氏方程,保守系统的拉氏方程,(推导),(1),(1),(2),(2),因为,拉格郎日方程,质点总动能：,由,P,a,=Q,a,，有,基本形式的,拉格郎日方程,基本概念：,广义坐标,：,q,a,广义速度：,广义力,：,Q,a,广义动量,：,广义坐标:,q,广义动量:,广义速度:,广义力:,主动力做虚功：,二、保守系的拉格郎日方程,二、保守系的拉格郎日方程,(,x,i,y,i,z,i,),广义力：,一共,N,个质点，第,i,个质点与第,j,个质点的作用力为,F,ij,。若其为保守,力，,则对应一个势能函数：,V,ij,(,x,i,y,i,z,i,;,x,j,y,j,z,j,)。,体系总势能：,相应第,i,个质点：,从,V,的表达式看出，,V,只是坐标的函数,(续)三、循环积分,定义,拉格郎日函数,L,=,T,-,V,(,动能,-,势能,),拉氏方程：,三、循环积分,在拉氏方程中，若,L,不包含,q,b,，那么,循环坐标,：,q,b,对,的积分称为,循环积分,?,0,四、能量积分五、拉格郎日方程的应用,四、能量积分(自学),在稳定约束的条件下，可以由拉氏方程得到：,五、拉格郎日方程的应用,条件：,理想约束或没有约束,缺点：,无法计算约束反力,(1)根据基本形式的拉氏方程写出动力学方程,基本过程,：(I)找出描述体系的广义坐标；,(II)写出相对于,静止坐标系,的动能；,(III)应用基本形式的拉格郎日方程。,例1,O,x,h,z,x,y,z,w,F,P,例1：,一坐标系,O-xyz,绕静止坐标系,O,-,xhz,的,z,轴以恒定角速度,w,旋转，质点,P,受力,F,的作,用。计算,P,点在转动坐标系中的动力学方程。,解,设,P,在转动坐标系中的坐标为(,x,y,z,),那么,P,的绝对速度,例2,例2：,试写出球坐标系中的动力学方程。,解,j,q,r,x,y,z,i,j,k,P,在质点,P,对应处，,i,j,k,方向的速度为,因此,质点,P,动能,为,广义坐标,：,r,q,j,(续),即：,例3,例3：,如图所示，由两个滑轮和三个砝码组成滑轮组。,略去摩擦及滑轮重量，求每个砝码的加速度。,(2)根据保守力系的拉氏方程求解运动规律,解,(1),确定体系自由度，选取广义坐标,三个砝码的位置并不是相互独立的。,选取如图所示的两个独立坐标：,q,1,和,q,2,。,(2),写出力学体系的动能和势能,砝码,m,1,:,动能：,势能：,m,1,m,2,m,3,q,1,q,2,x,l,1,l,2,砝码,m,2,:,(续),砝码,m,3,:,m,1,m,2,m,3,q,1,q,2,x,l,1,l,2,(3),写出拉格郎日函数,(,C,:所有不包含变量的常数项之和),(4),将,L,代入拉格郎日方程，求解方程,(续),结果：,三个砝码的加速度：,5.5 哈密顿正则方程一、勒让德变换,5.5 哈密顿正则方程,一、勒让德变换(Legendre Transform),拉氏函数,本质上，拉格郎日方程是一个二阶微分方程：,变换的目的,：将方程由二阶变为一阶。,将广义动量视为一个独立变量：,代入拉氏函数，,L,就是,q,a,和,p,a,的函数。,(续),这组 2,s,维的动力学方程并不对称。,s,维,s,维,勒让德变换,就是将一组独立变量变换为另外一组,独立变量的变换。,举例 如何得到形式对称的勒让得变换。,一函数,f,=,f,(,x,y,z,),自变量为,x,y,z,。,其全微分：,利用,此即相当于一组新变量：,u,v,z,和一个新函数,-,f+ux+vy,(续),含义：,将一组变量的部分变为另外一组同等数量的变量后，为了保持全微分的对称形式，需定义另外一个函数。,新函数的形式：,?,把,x,y,看成未知数，,其它的看成已知数。,定义,g,=,-,f,+,ux,+,vy=g,(,u,v,z,),二、正则方程,二、正则方程(Canonical equations),将勒让德变换应用到 拉氏函数中：,定义新函数,：,哈密顿函数,(续),于是得到一组方程：,(,a,=1,2,s,),哈密顿,正则方程,正则变量：,正则方程则给出了正则变量随时间变化的情况。,2,s,维相空间,在,H,的定义中包含 项。该变量通过求解方程组 而替换掉。,三、能量积分与循环积分1.稳定约束：H不显含时间,三、能量积分与循环积分,1.稳定约束 与,T,L,H,是否显含,t,的关系,对于,n,个质点，那么可用 3,n,个变量描述：,若约束稳定(不显含时间)，那么,k,个约束表示为：,由此可以确定出可以自由变动的 3,n,-,k,个不显含时间的广义坐标：,体系总动能：,(质点随时间的变化由广义坐标随时间的变化给出),2.能量积分,对于稳定的力学体系，势能也不是时间的显函数。,因此，,L=T V,也不是时间,t,的显函数。,相应地，,p,a,，及与之相关的,H,也不是时间,t,的显函数。,即 对于稳定约束：,2.能量积分,(1),H,的物理含义,因,L,中的,V,不显含,q,a,故,L,被替换成为,T,.,即 在,稳定约束,的情况下，,H,为体系的总能量。,(续)3.循环积分,(2),能量积分,在稳定约束的情况下，,H,只是,q,a,p,a,的函数。,于是：,即：,T+V=,常量,3.循环积分,(,q,a,:广义坐标，,p,a,:广义动量),若,H,不显含,q,a,，那么,dp,a,/,dt,0,即：,p,a,为守恒量。,(例题1),例题：,设电荷为,e,的电子，在电荷为,Ze,的核力场中运动，,Z,为原子序数。试用正则方程研究电子的运动。,解,用正则方程研究的关键点：写出哈密顿量,H,.,选择广义坐标,为：,r,q,j,写出动能：,写出势能,：,拉格郎日函数,(续),计算与广义坐标相应的广义动量：,写出哈密顿量：,(在约束与时间无关时，也可直接应用,H,=,T,+,V,.,在应用正则方程前，应将广义速度变换为广义动量。),(续),根据正则方程，可以得到：,讨论,：,此即关于,r,和,q,的运动方程。,(若初始时刻体系限制在,j,=0 的体系,内，那么以后体系始终在此平面内。),(例题2),例,质量为,M,的小环，套在半径为,a,光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动。如圆圈在水平面内以匀角速度,w,绕圆圈上某点,O,转动，试求小环沿圆圈切线方向的运动微分方程。,x,y,q,a,l,v,牵,v,相,2,q,解,用正则方程求解的中心工作：找到哈密顿函数,H,.,(1)找出描述小环的广义坐标,：,q,(2)写出质点的拉氏函数,L.,相对速度,牵连速度,小环速度包括,v,牵,v,相,q,(3)找出,p,q,与 的关系,(续),(4)写出哈密顿函数,(5)利用正则方程，写出运动规律。,将,p,q,换掉,用正则方程求解问题：,确定体系自由度数，选定广义坐标；,写出体系的动能和势能，得到拉氏函数；,通过拉氏函数得到广义动量与广义速度的关系；,写出哈密顿函数，将广义速度全部转换为广义动量；,写出正则方程，计算广义动量对时间的微商及偏微分；,将广义动量转换为广义速度，得到动力学方程。,5.6 泊松括号与泊松定理一、泊松括号 1.定义,5.6 泊松括号与泊松定理,一、泊松括号(Poisson bracket),理论物理，特别是量子力学,中要用到的符号。,一个力学量,j,是正则变量,p,a,q,a,(,a,=1,2,s,)及时间,t,的函数:,那么,定义:,泊松括号,1.定义,2.性质,2.与守恒量的关系,正则方程的简单形式：,(,a,=1,2,s,),对于一个力学体系，若一个力学量,j,与时间无关，那么它,是很有价值的一个力学量，称为运动积分。其与哈密顿量的关系,运动积分,j,证明,(QM),3.推广,3.泊松括号的推广,通过类比，可以推广,泊松括号,：,基本性质：,将,j,或,y,或,q,换成,H,同样适用。,(广义坐标与广义动量),(QM),(例题),例题,：,如果,j,是坐标和动量的任意标量函数，即,其中,a,b,c,为常数。证明：,解,先分析清楚选用什么坐标系,-直角坐标系,x,y,z,写出,j,和,J,z,的具体形式：,于是：,+=0,二、泊松定理,二、泊松定理(Poisson theorem),定理目的：从两个守恒量得到第三个守恒量。,假定下列两个量守恒：,根据,(泊松定理),即：若两个量为守恒量，那么它们的泊松括号也为守恒量。,(续)例题,理想情况：,但实际上，在很多情况下，只能给出原有积分的线性组合或恒等式。,例：,一组质点在内保守力的作用下运动，如果,x,y,方向的,两分动量矩为常数，那么,z,方向的动量矩也是常数。证明之。,证明,根据动量矩定义，有,根据泊松定理，,下面计算,(续),由于,J,x,J,y,是常数，根据泊松定理，,J,z,也是常数。,=0,=0,=0,=0,5.7 哈密顿原理一、变分运算的几个法则1.变分的引入,5.7 哈密顿原理,一、变分运算的几个法则,1.变分的引入,历史上的三个经典问题,最速降线问题,：,T,=,T,y,(,x,),A,B,x,y,即：在过,A,、,B,两点的一切函数中，选取一个函数，使得质点从,A,到,B,所花时间最小。这里，时间是函数,y,(,x,),的函数，即泛函。,求时间 T 的最小值，就是求,T,的变化为 0，即,d,T,=0,短程线问题,：,L,=,L,y,(,x,),设,j,(,x,y,z,)=0 为一已知曲面，计算曲面上,A,B,之间距离最短的曲线。,x,y,z,A,B,显然，,A,、,B,间的距离是曲线的函数，即是 y(x)的函数。短程线问题，在数学上表示为,d,L,=0,(续),等周问题,:,S,=,S,r,(,q,),用给定长度的一线段，围出面积最大的一个区域。此时，面积是曲线,r,=,r,(,q,)的函数，即泛函。,q,r,周长=,L,泛函,：,对每一函数,y,(,x,)，集合,l,中都有一个数值与之对应，那么,l,叫做依赖于函数,y,(,x,)的泛函，记为,l,=,l,y,(,x,).,例：,一个函数,j,(,p,q,t,)做一微小变化，得到,y,(,p,q,t,)，那么,它们之间的差被称为函数,j,(,p,q,t,)的变分。,变分,：,将函数,y,(,x,)做微小变化，从而引起泛函,l,y,(,x,)的,微小变化。记为,d,y,d,l,.,函数：,对与每一个数值,x,，都有一个数值,y,与之对应，那么,y,叫做,x,的函数，记为,y=y,(,x,).,微分：,将,x,做一微小变化，那么 函数,y,(,x,)做相应微小变化。,这一微小变化称为 微分，记为,dx,dy,2.变分与微分的比较3.变分的基本性质,3.变分的基本性质,2.变分与微分的比较,函数 与 泛函,相同点：结果都对应着一个数。,不同点：自变量类型不同,函数自变量为数值，泛函的自变量为函数。,变分 与 微分,变分为一函数，而微分为一数值。,微分：,变分：,x,y,y,(,x,),y,+,d,y,dx,dy,4.变分与微分的交换性,4.变分与微分的交换性,如图示，一函数,f,(,x,)，作变分后得到函数,f,+,d,f,。因此：,f,f+,d,f,d,(,f+,d,f,),df,A,B,A,B,x,x+dx,由图可得，,B,与,B,的微分的差就是,df,的变分：,即，微分与变分的次序可以交换：,注意：,等时变分,：,d,t,=0,不等时变分,：,d,t,0,二、哈密顿原理1.体系状态的描述,二、哈密顿原理,假设：,n,个质点组成的力学体系受到,k,个几何约束。其自由度,s=3n,k,.,拉氏,方程,即：时间确定之后，整个力学体系就确定了。,把每个自由度看成是一维空间，那么,s,个自由度构成,s,维空间。,力学体系的某个状态就是,s,维空间中的一个点。,随着时间的连续变化，力学体系在,s,维空间中形成一条曲线。,q,1,q,2,q,i,q,s,1.体系状态的描述,2.哈密顿原理,体系从,A,点运动到,B,点，,哪条路径是真实的,？,(,t,1,),(,t,2,),A,B,2.哈密顿原理,(限保守力系),保守力系拉氏方程,对第,a,个自变量,q,a,做变分：,d,q,a,，乘到拉氏方程两边：,将,d,q,a,乘到,方括号中,化简,(续),=0,因为,t,1,和,t,2,处为固定端点，,如何理解,d,L,？,因为,代入上,页末式,(深入理解),哈密顿原理,其中，,称为,作用函数,，有时也叫,主函数,。,深入理解,力学体系的状态,s,维空间中的一个点。,q,1,q,2,q,i,q,s,t,假定体系通过,A,点和,B,点。那么,AB,两点之间不同的曲线意味着不同的变化规律：,沿曲线,C,1,：,沿曲线,C,2,：,(,t,1,),(,t,2,),A,B,C,1,C,2,C,3,t,不同的曲线对应着不同的,S,值。,即：对应一个真实的路径，对应的变分等于零。,(续),真实轨道具有的性质：,d,S,=0,结论,：,从哈密顿原理就可以得到真实的轨道，即 若轨道,C,，将其轨道作变分后得到的主函数都变大(或变小)，那么轨道,C,就是一条真实的轨道。,满足拉氏函数,的,真实轨道,哈密顿原理,d,S,=0,(微分形式),(积分形式),哈密顿原理文字表述：,保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一初位移转移到另一已知位形的一切可能运动中，真实运动的主函数具有稳定值，即对于真实运动来讲，主函数的变分等于零。,(例题1),评价,：,哈密顿原理是一个非常基本的原理，与牛顿运动定律等价。从该原理可以推得拉氏方程等其他原理、定律，甚至是牛顿运动定律。,例：试由哈密顿原理导出正则方程。,解,哈密顿原理以拉氏函数,L,为基础，,正则方程则以哈密顿函数,H,为基础，二者关系是：,哈密顿原理,变分与积分,可交换,?,(续),=0,合并相同,的变分,由于,d,p,a,与,d,q,a,任意，而且相互独立，因此,等时,变分,(例题2),例：,半径为,a,光滑圆形钢丝，以匀速度,w,绕竖直直径转动，圆圈上套着一质量为,m,的小环。起始时，小环自圆圈的最高点无初速地沿着圆圈下滑。试用哈密顿原理求小环的运动微分方程。,v,v,0,问题：哈密顿原理的关键是什么？,解,(2)写出拉氏函数,L,=,T,V,(1)选用广义坐标：,q,相对速度,牵连速度,小环的绝对速度,q,w,势能,零点,哈密顿原理,下面的目的是将上式中的 变成 .,(续),由于,q,的任意性，,根据前面得到的拉氏函数,(自由度为 1 时的拉氏方程),全章复习,第五章,复 习,(1),一、几个重要的约束：,1.,稳定约束,与,不稳定约束,2.,几何约束,与,微分约束,3.,完整系,与,非完整系,二、几个重要概念,1.,实位移,:由于时间的改变而引起的位移；,2.,虚位移,:假象的根据位置和约束而可能发生的位移；,4.,广义坐标,:用于确定体系状态的、独立变化的参数；,5.,自由度,:独立变化的广义坐标的个数。一个体系的自由,度是固定的，但广义坐标的选取却不唯一。,对非完整系，独立变化的坐标数目可能小于,3,n,-,k,.因此本章理论都只适用于完整系。,(2),三、虚功原理,1.虚功：力（包括主动力和约束反力）在任意虚位移,下所作的功。,2.理想约束：所有约束反力所做的虚功之和为零。,虚功原理：,在理想约束的条件下(不能含摩擦力等),力学体系,平衡,主动力虚功,之和为零,(光滑面，铰链，,不可伸长、压缩等物),求解要点,：建坐标系；写出虚功原理；找出独立广义坐标；,(3),四、拉格朗日方程,实质：,关于广义坐标的一组微分方程；,目的：,求解广义坐标随时间的变化规律，等同于,F,=,ma,；,出发点：,力学体系的总动能。,基本形式的拉氏方程：,保守力系的拉氏方程：,关键：,找出广义坐标；写出拉氏函数,(4),重要概念：,练习：,写出上述物理量。,(5),五、哈密顿正则方程,哈密顿函数：,(对于,稳定约束,，,H,=,T,+,V=,体系总能量,),注意：哈密顿函数中的广义速度需要被替换为广义动量。,正则方程：,若,H,不含广义坐标,q,a,，那么相应的广义动量为守恒量。,(6),六、泊松括号与泊松定理,定义,泊松括号,：,j,y,均为,q,a,p,a,t,的函数，,而且,泊松定理：,从两个守恒量得到第三个守恒量,如果,j,y,均为守恒量，即,那么,j,y,也为守恒量。,(7),七、哈密顿原理,已知体系在两个时间点的规律，在两时间点之间众多可能的途径中找到真实的路径，即各广义坐标实际随时间演变的规律。,（其中,S=,为主函数）,求解过程,：找出广义坐标，写出拉氏函数，然后对,拉氏函数进行变分，得到保守系的拉氏,方程，从而得到广义坐标满足的微分方,程。,附录,附 录,关于齐次函数的性质,关于二次齐次函数的性质：,课外阅读,课 外 阅 读,拉格郎日,拉格郎日,Lagrange,(1736 1813),拉格郎日,(Lagrange)，1736年生于意大利的都灵市，1813年卒于法国的巴黎，是著名的,数学家,与,天文学家,。终年77岁。,他原本在都灵大学学习法律，,因为看到英国天文学家 Halley发表的一片关于数学的论文，引发他对数学的高度兴趣，因而开始投身于数学研究。并在短短的时间里，独创了一门数学的新分枝 “变分学”。,19岁就获聘为都灵市皇家炮兵学校的数学教授，并与当时欧洲最著名的数学家欧拉保持密切,联系。从 1766 到 1786 的 20 年期间，他在欧拉的推荐下，一直在德国柏林担任斐得烈大帝的宫廷数学家。在这期间，他完成了巨著,分析力学,(Analytic Mechanics).其中,他将力学问题看成四维问题 3个空间+1个时间.,1786年，斐得烈大帝去世，他应法国路易十六之邀前往巴黎工作，成为法国科学院的一员，并居住在罗孚宫。1797年，在工艺学校任教。,拉格郎日是一位十分害羞、谦虚的人，他死后葬于于巴黎的圣贤祠 (Pantheon),。,拉格郎日(,Lagrange,)生平,课前复习,上节课内容：拉格朗日方程,基本形式的,拉氏方程,描述广义坐标随时间变化的动力学规律，从而确定整个体系的运动状态。,保守力系的,拉氏方程,拉氏函数,：,L,=,T,-,V,保守力系,此课件下载可自行编辑修改，供参考！,感谢您的支持，我们努力做得更好！,