两个计数原理.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第十,章 排列、组合和二项式定理,10.1,两个计数原理,要点梳理,1.,分类计数原理,完成一件事有,n,类不同的方案，在第一类方案中有,m,1,种不同的方法，在第二类方案中有,m,2,种不同的方法，,，在第,n,类方案中有,m,n,种不同的方法，,则完成这件事情，共有,N,=,种不同的,方法,.,m,1,+,m,2,+,+,m,n,基础知识 自主学习,1,2.,分步计数原理,完成一件事情需要分成,n,个不同的步骤，完成第一,步有,m,1,种不同的方法，完成第二步有,m,2,种不同的,方法，,，完成第,n,步有,m,n,种不同的方法，那么,完成这件事情共有,N,=,种不同的,方法,.,m,1,m,2,m,n,2,3.,分类计数原理与分步计数原理，都涉及,的不同方法的种数,.,它们的区别在于,分类计数原理与,有关，各种方法,，用其中的任一种方法都可以完成这件事；,分步计数原理与,有关，各个步骤,，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成,.,完成一件事情,分类,相互,独立,分步,相互依,存,3,基础自测,1.,从,3,名女同学和,2,名男同学中选,1,人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为（）,A.6B.5C.3D.2,解析,“,完成这件事,”,即选出一人作主持人，可分选女主持人和男主持人两类进行，分别有,3,种选法和,2,种选法，所以共有,3+2=5,种不同的选法,.,B,4,2.,设集合,A,=1,，,2,，,3,，,4,，,m,，,n,A,，则方程,+,=1,表示焦点位于,x,轴上的椭圆有（）,A.6,个,B.8,个,C.12,个,D.16,个,解析,因为椭圆的焦点在,x,轴上，所以当,m,=4,时，,n,=1,2,3,；当,m,=3,时，,n,=1,2,；当,m,=2,时，,n,=1,即所求的椭圆共有,3+2+1=6,个，故选,A.,A,5,3.,右图是某汽车维修公司的维修点环,形分布图，公司在年初分配给,A,、,B,、,C,、,D,四个维修点某种配件各,50,件,.,在使用前发现需将,A,、,B,、,C,、,D,四个,维修点的这批配件分别调整为,40,、,45,、,54,、,61,件，但调 整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（,n,件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为,n,）为（）,A.15B.16 C.17 D.18,解析,只需,A,处给,D,处,10,件，,B,处给,C,处,5,件，,C,处给,D,处,1,件，共,16,件次,.,B,6,4.,有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数（）,A.7B.64C.12D.81,解析,由分步乘法计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有,4,种选法，第二步选长裤有,3,种选法，所以，有,4,3=12,种选法，故选,C.,C,7,5.,有一项活动需在,3,名老师，,8,名男同学和,5,名女同学,中选人参加，（,1,）若只需一人参加，有多少种不同的选法？,（,2,）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？,（,3,）若只需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？,8,解,（,1,）,“,完成这件事,”,只需从老师、学生中选,1,人即可，共有,3+8+5=16,种,.,(2),“,完成这件事,”,需选,2,人，老师、学生各,1,人，分,两步进行：选老师有,3,种方法，选学生有,8+5=13,种方,法，共有,3,13=39,种方法,.,(3),“,完成这件事,”,需选,3,人，老师、男同学、女同,学各一人，可分三步进行：选老师有,3,种方法，选男,同学有,8,种方法，选女同学有,5,种方法，共有,3,8,5=120,种方法,.,9,题型一,分类计数原理,【,例,1,】在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？,采用列举分类，先确定个位数字，再考虑十位数字的所有可能,.,然后用分类计数原理,.,解,方法一,一个两位数由十位数字和个位数字构成，考虑一个满足条件的两位数，可先确定个位数字后再考虑十位数字有几种可能,.,一个两位数的个位数字可以是,0,，,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,，,7,，,8,，,9.,把这样的两位数分成,10,类,.,思维启迪,题型分类 深度剖析,10,（,1,）当个位数字为,0,时，十位数字可以是,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,，,7,，,8,，,9,，有,9,个满足条件的两位数；,（,2,）当个位数字为,1,时，十位数字可以是,2,，,3,，,4,，,5,，,6,，,7,，,8,，,9,，有,8,个满足条件的两位数；,（,3,）当个位数字为,2,时，十位数字可以是,3,，,4,，,5,，,6,，,7,，,8,，,9,，有,7,个满足条件的两位数；,以此类推，当个位数字分别是,3,，,4,，,5,，,6,，,7,，,8,，,9,时，满足条件的两位数分别有,6,，,5,，,4,，,3,，,2,，,1,，,0,个,.,由分类加法计数原理，满足条件的两位数的个数为,9+8+7+6+5+4+3+2+1+0=45,个,.,11,方法二,考虑两位数,“,ab,”,与,“,ba,”,中，个位数字与十,位数字的大小关系，利用对应思想计算,.,所有,90,个两位数中，个位数字等于十位数字的两位数为,11,，,22,，,33,，,，,99,共,9,个；,另有,10,，,20,，,30,，,，,90,共,9,个两位数的个位数字与十,位数字不能调换位置；,其余,90-18=72,个两位数，按,“,ab,”,与,“,ba,”,进行一一对,应，则每一个,“,个位数字小于十位数字的两位数,”,就与,另一个,“,十位数字小于个位数字的两位数,”,对应，,故其中,“,个位数字小于十位数字的两位数,”,有,72,2=36,个,.,故满足条件的两位数的个数为,9+36=45,个,.,12,探究提高,合理分类是提高解题质量的保证，方法一从两位数的个位数字着手，确立分类标准，使计数过程一目了然；方法二巧妙地应用了,“,一一对应,”,的思想，简化了计数过程，这种思想方法在排列、组合计数问题中也经常使用,.,知能迁移,1,同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有,30,张英语单词卡片，右边口袋装有,20,张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里任取一张英语单词卡片，有,种不同的取法,.,13,解析,从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类：,第一类：从左边口袋取一张英语单词卡片有,30,种不,的取法；,第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片有,20,种不,同的取法；,上述的其中任何一种取法都能独立完成取一张英语,单词卡片这件事，应用分类加法计数原理来解题，,所以从中任取一张英语单词卡片的方法种数为,30,+20=50,种,.,答案,50,14,题型二 分步计数原理,【,例,2,】,已知集合,M,=-3,-2,-1,0,1,2,P,(,a,b,),表示,平面上的点,(,a,b,M,),问,:,(1),P,可表示平面上多少个不同的点,?,(2),P,可表示平面上多少个第二象限的点,?,(3),P,可表示多少个不在直线,y=x,上的点,?,完成,“,确定点,P,”,这件事需依次确定横、,纵坐标，应用分步计数原理,.,思维启迪,解,（,1,）确定平面上的点,P,(,a,b,),可分两步完成：,第一步确定,a,的值，共有,6,种确定方法；,第二步确定,b,的值，也有,6,种确定方法,.,根据分步计数原理，得到平面上的点数是,6,6=36.,15,（,2,）确定第二象限的点，可分两步完成：,第一步确定,a,，由于,a,0,，所以有,2,种确定方法,.,由分步计数原理，得到第二象限点的个数是,3,2=6.,（,3,）点,P,（,a,b,),在直线,y,=,x,上的充要条件是,a,=,b,.,因此,a,和,b,必须在集合,M,中取同一元素，共有,6,种取,法，即在直线,y,=,x,上的点有,6,个,.,由（,1,）得不在直线,y,=,x,上的点共有,36-6=30,个,.,16,利用分步计数原理解决问题：,要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先,后顺序的；各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事,.,知能迁移,2,一个口袋里有,5,封信，另一个口袋里有,4,封信，各封信内容均不相同,.,（,1,）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？,（,2,）把这两个口袋里的,9,封信，分别投入,4,个邮筒，有多少种不同的放法？,探究提高,17,解,（,1,）各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步乘法计数原理，共有,5,4=20,（种）,.,（,2,）若以邮筒装信的可能性考虑，第一个邮筒有,10,种可能性，即可能装入,0,，,1,，,2,，,，,9,封信等不同情况,.,但再考虑第二个邮筒时，装信的情况要受到第一个邮筒装信情况的影响，非常麻烦,.,若以每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有,4,种可能，第二封信仍有,4,种可能,第九封信还有,4,种可能，由分步乘法计数原理可知，共有,4,9,种不同的放法,.,18,题型三 两个计数原理的综合应用,【,例,3,】,（,12,分）用,0,，,1,，,2,，,3,，,4,，,5,可以组成多少个无重复数字的比,2 000,大的四位偶数,.,思维启迪,先根据条件把,“,比,2 000,大的四位偶数,”,分类,选取千位上的数字选取百位上的数字,选取十位上的数字,解题示范,解,完成这件事有,3,类方法：,19,第一类是用,0,做结尾的比,2 000,大的,4,位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有,2,，,3,，,4,，,5,可以选择，有,4,种选法；第二步，选取百位上的数字，除,0,和千位上已选定的数字以外，还有,4,个数字可供选择，有,4,种选法；第三步，选取十位上的数字，还有,3,种选法,.,依据分步乘法计数原理，这类数的个数有,4,4,3=48,个；,4,分,20,第二类是用,2,做结尾的比,2 000,大的,4,位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去,2,，,1,，,0,，只有,3,个数字可以选择，有,3,种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有,4,个数字可供选择，有,4,种选法；第三步，选取十位上的数字，还有,3,种选法,.,依据分步计数原理，这类数的个数有,3,4,3=36,个；,8,分,第三类是用,4,做结尾的比,2 000,大的,4,位偶数，其步骤同第二类,.10,分,对以上三类结论用分类计数原理，可得所求无重复数字的比,2 000,大的四位偶数有,4,4,3+3,4,3+3,4,3=120,个,.12,分,21,在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求,.,另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定,.,解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到,“,不重不漏,”,，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步,.,探究提高,22,知能迁移,3,如图所示，将一个四棱锥,的每一个顶点染上一种颜色，并使,同一条棱上的两端异色，如果只有,5,种颜色可供使用，求不同的染色,方法总数,.,解,方法一,可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论,.,由题设，四棱锥,S,ABCD,的顶点,S,、,A,、,B,所染的颜色互不相同，它们共有,5,4,3=60,种染色方法,.,23,当,S,、,A,、,B,染好时，不妨设其颜色分别为,1,、,2,、,3,，,若,C,染,2,则,D,可染,3,或,4,或,5,，有,3,种染法；若,C,染,4,，则,D,可染,3,或,5,，有,2,种染法；若,C,染,5,则,D,可染,3,或,4,，有,2,种染法,.,可见，当,S,、,A,、,B,已染好时，,C,、,D,还有,7,种,染法，故不同的染色方法有,60,7=420,种,.,方法二,以,S,、,A,、,B,、,C,、,D,顺序分步染色,.,第一步，,S,点染色，有,5,种方法；,第二步，,A,点染色，与,S,在同一条棱上，有,4,种方法；,第三步，,B,点染色，与,S,、,A,分别在同一条棱上，有,3,种方法；,24,第四步，,C,点染色，也有,3,种方法，但考虑到,D,点与,S,、,A,、,C,相邻，需要针对,A,与,C,是否同色进行分类，,当,A,与,C,同色时，,D,点有,3,种染色方法；当,A,与,C,不同,色时，因为,C,与,S,、,B,也不同色，所以,C,点有,2,种染色,方法，,D,点也有,2,种染色方法,.,由分步乘法、分类加,法计数原理得不同的染色方法共有,5,4,3,（,1,3,+,2,2,）,=,420,种,.,25,方法三,按所用颜色种数分类,.,第一类，,5,种颜色全用，共有 种不同的方法；,第二类，只用,4,种颜色，则必有某两个顶点同色,（,A,与,C,，或,B,与,D,），共有,2,种不同的方法；,第三类，只用,3,种颜色，则,A,与,C,、,B,与,D,必定同色，,共有 种不同的方法,.,由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为,=420,种,.,26,方法与技巧,1.,分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类计数原理针对,“,分类,”,问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对,“,分步,”,问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事,.,2.,混合问题一般是先分类再分步,.,3.,分类时标准要明确，做到不重复不遗漏,.,4.,要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律,.,思想方法 感悟提高,27,失误与防范,应用两种原理解题：,（,1,）分清要完成的事情是什么？,（,2,）分清完成该事情是分类完成还是分步完成？,“,类,”,间互相独立，,“,步,”,间互相联系；,（,3,）有无特殊条件的限制；,（,4,）检验是否有重漏,.,28,一、选择题,1.,从集合,1,2,3,10,中任意选出三个不同的数，,使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为 （）,A.3B.4C.6D.8,解析,当公比为,2,时，等比数列可为,1,、,2,、,4,，,2,、,4,、,8.,当公比为,3,时，等比数列可为,1,、,3,、,9.,当公比为 时，等比数列可为,4,、,6,、,9.,同时，,4,、,2,、,1,，,8,、,4,、,2,，,9,、,3,、,1,和,9,、,6,、,4,也是,等比数列，共,8,个,.,D,定时检测,29,2.,如图所示的阴影部分由方格纸上,3,个小方格组成，,我们称这样的图案为,L,型（每次旋转,90,仍为,L,型,图案），那么在由,4,5,个小方格组成的方格纸上,可以画出不同位置的,L,型图案的个数是（）,A.16B.32C.48D.64,解析,每四个小方格（,2,2,型）中有,“,L,”,型图案,4,个，共有,2,2,型小方格,12,个，所以共有,“,L,”,型图案,4,12=48,个,.,C,30,3.,（,2008,全国,）,将,1,，,2,，,3,填入,3,3,的方格中，要求每行、每列都没有重复数字,右面是一种填法，则不同的填写方法共有,(),A.6,种,B.12,种,C.24,种,D.48,种,解析,由于,3,3,方格中,每行、每列均没有重,复数字，因此可从中间斜对角线填起,.,如图中,的，当全为,1,时，有,2,种（即第一行第二列,为,2,或,3,，当第二列填,2,时，第三列只能填,3,，当第一行填完后，其他行的数字便可确定），当全为,2,或,3,时，分别有,2,种，共有,6,种；当分别为,1,，,2,，,3,时,也共有,6,种,.,共,12,种,.,B,31,4.,如图所示，用五种不同的颜色分别给,A,、,B,、,C,、,D,四个区域涂色，相邻区,域必须涂不同颜色，若允许同一种颜,色多次使用，则不同的涂色方法共有（）,A.180,种,B.120,种,C.96,种,D.60,种,解析,按区域分四步：第一步,A,区域有,5,种颜色可选；第二步,B,区域有,4,种颜色可选；,第三步,C,区域有,3,种颜色可选；,第四步由于,D,区域可以重复使用区域,A,中已有过的颜色，故也有,3,种颜色可选用,.,由分步计数原理，共有,5,4,3,3=180,（种）涂色方法,.,A,32,5.,一植物园参观路径如图所示，若要,全部参观并且路线不重复，则不同,的参观路线种数共有 （）,A.6,种,B.8,种,C.36,种,D.48,种,解析,如图所示，在,A,点可先参观区域,1,，也可先参观区域,2,或,3,，共有,3,种不同选法,.,每种选法中又有,2,2,2,2=16,种不同路线,.,共有,3,16=48,种不同的参观路线,.,D,33,6.,有,4,位教师在同一年级的,4,个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有 （）,A.8,种,B.9,种,C.10,种,D.11,种,解析,方法一,设四位监考教师分别为,A,、,B,、,C,、,D,，所教班分别为,a,、,b,、,c,、,d,，假设,A,监考,b,，则余下三人监考剩下的三个班，共有,3,种不同方法，同理,A,监考,c,、,d,时，也分别有,3,种不同方法，由分类加法计数原理共有,3+3+3=9,种,.,34,方法二,班级按,a,、,b,、,c,、,d,的顺序依次排列，为避免重复或遗漏现象，教师的监考顺序可用,“,树形图,”,表示如下：,共有,9,种不同的监考方法,.,答案,B,35,二、填空题,7.,（,2008,浙江）,用,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶,性不同，且,1,和,2,相邻，这样的六位数的个数是,（用数字作答）,.,解析,可分三步来做这件事：,第一步：先将,3,、,5,排列，共有 种排法；,第二步：再将,4,、,6,插空排列，共有,2,种排法；,第三步：将,1,、,2,放到,3,、,5,、,4,、,6,形成的空中，共,有 种排法,.,由分步计数原理得共有,2,=40,个,.,40,36,8.,“,渐升数,”,是指每个数字比它左边的数字大的正整数（如,1 458,），若把四位,“,渐升数,”,按从小到大的顺序排列，则第,30,个数为,.,解析,渐升数由小到大排列，形如,的渐升数共有：,6+5+4+3+2+1=21,（个），如,123,，个位可从,4,，,5,，,6,，,7,，,8,，,9,六个数字选一个，有,6,种等；形如,37,的渐升数共有,5,个；形如,的渐升数共有,4,个，故此时共有,21+5+4=30,个，因此,从小到大的渐升数的第,30,个必为,1 359,，所以应填,1 359.,答案,1 359,38,9.,在,2008,年奥运选手选拔赛上，,8,名男运动员参加,100,米决赛,.,其中甲、乙、丙三人必须在,1,、,2,、,3,、,4,、,5,、,6,、,7,、,8,八条跑道的奇数号跑道上，则安排,这,8,名运动员比赛的方式共有,种,.,解析,分两步安排这,8,名运动员,.,第一步：安排甲、乙、丙三人，共有,1,、,3,、,5,、,7,四条跑道可安排，所以安排方式有,4,3,2=24,种,.,第二步：安排另外,5,人，可在,2,、,4,、,6,、,8,及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有,5,4,3,2,1=120,种,.,安排这,8,人的方式有,24,120=2 880,种,.,2 880,39,三、解答题,10.,（,1,）,4,名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，,每人报一项，共有多少种报名方法？,（,2,）,4,名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共,有多少种可能的结果？,解,（,1,）要完成的是,“,4,名同学每人从三个项目,中选一项报名,”,这件事，因为每人必报一项，四个,都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又,每人可在三项中选一项，选法为,3,种，所以共有,3,3,3,3=81,种报名方法,.,40,（,2,）完成的是,“,三个项目冠军的获取,”,这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以,“,确定三项冠军得主,”,为线索进行分步,.,而每项冠军是四人中的某一人，有,4,种可能的情况，于是共有,4,4,4=4,3,=64,种可能的情况,.,41,11.,三边长均为整数，且最大边长为,11,的三角形有多,少个？,解,三角形的另外两条边的边长用,x,、,y,表示，,且不妨设,x,y,，则,1,x,y,11.,要构成三角形，必须,x,+,y,12.,当,y,取值,11,时，,x,=1,2,3,11,可有,11,个三角形,.,当,y,取值,10,时，,x,=2,3,10,，可有,9,个三角形,.,当,y,取值,6,时，,x,也只能取,6,，只有,1,个三角形,.,所以，三角形的个数为,11+9+7+5+3+1=36.,42,12.,由数字,1,，,2,，,3,，,4.,（,1,）可组成多少个三位数；,（,2,）可组成多少个没有重复数字的三位数；,（,3,）可组成多少个没有重复数字的三位数，且百,位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字,.,解,（,1,）百位数共有,4,种排法；十位数共有,4,种排,法；个位数共有,4,种排法，根据分步乘法计数原,理共可组成,4,3,=64,个三位数,.,（,2,）百位上共有,4,种排法；十位上共有,3,种排法；,个位上共有,2,种排法，由分步乘法计数原理知共,可排成没有重复数字的三位数,4,3,2=24,个,.,（,3,）排出的三位数分别是,432,，,431,，,421,321,共,4,个,.,返回,43,