高考数学考点解读+命题热点突破专题14直线与圆文.pdf

推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料专题 14 直线与圆文【考向解读】考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系特别是弦长问题，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.【命题热点突破一】直线的方程及应用1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2?k1k2，l1l2?k1k2 1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2求直线方程要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直而 截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线3两个距离公式(1)两平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20 间的距离d|C1C2|A2B2.(2)点(x0，y0)到直线l：AxByC0 的距离公式d|Ax0By0C|A2B2.例 1、【2016 高考新课标3 理数】已知直线l：330mxym与圆2212xy交于,A B两点，过,A B分别做l的垂线与x轴交于,C D两点，若2 3AB，则|CD_.【答案】4【变式探究】(1)已知直线l1：(k 3)x(4 k)y 10 与l2：2(k3)x2y30 平行，则k的值是()A1 或 3B1 或 5C 3或 5D1 或 2(2)已知两点A(3,2)和B(1,4)到直线mxy30 的距离相等，则m的值为()A0 或12B.12或 6 推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料C12或12D0 或12【答案】(1)C(2)B【特别提醒】(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究【变式探究】已知A(3,1)，B(1,2)两点，若ACB的平分线方程为yx1，则AC所在的直线方程为()Ay2x4 By12x3 Cx2y10 D 3xy 10【答案】C【解析】由题意可知，直线AC和直线BC关于直线yx1 对称设点B(1,2)关于直线yx1的对称点为B(x0，y0)，则有y02x01 1，y022x012 1?x01，y00，即B(1,0)因为B(1,0)在直线AC上，所以直线AC的斜率为k103112，所以直线AC的方程为y 112(x3)，即x2y10.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料故 C正确【命题热点突破二】圆的方程及应用1圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2y2r2.2圆的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以(D2，E2)为圆心，D2E24F2为半径的圆例 2、【2016 高考新课标2 理数】圆2228130 xyxy的圆心到直线10axy的距离为 1，则a=（）（A）43（B）34（C）3（D）2【答案】A【变式探究】(1)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为()A(x 2)2(y2)23 B(x 2)2(y3)23 C(x 2)2(y2)24 D(x 2)2(y3)24(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x 2 的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为23，且与直线l2：2x5y40 相切，则圆M的方程为()A(x 1)2y24 B(x1)2y24 Cx2(y1)24 Dx2(y1)24【答案】(1)D(2)B【解析】(1)因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x2 上，又圆与y轴相切，所以半径r 2，设圆心坐标为(2，b)，则(21)2b24，b23，b3，所以选 D.(2)由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a2，半径为r，得推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料a232r2，|2a4|45r，解得满足条件的一组解为a 1，r 2，所以圆M的方程为(x1)2y24.故选 B.【特别提醒】解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数【变式探究】(1)经过点A(5,2)，B(3，2)，且圆心在直线2xy30 上的圆的方程为_(2)已知直线l的方程是xy60，A，B是直线l上的两点，且OAB是正三角形(O为坐标原点)，则OAB外接圆的方程是_【答案】(1)(x2)2(y1)210(2)(x2)2(y2)28(2)设OAB的外心为C，连接OC，则易知OCAB，延长OC交AB于点D，则|OD|32，且AOB外接圆的半径R|OC|23|OD|22.又直线OC的方程是yx，容易求得圆心C的坐标为(2,2)，故所求圆的方程是(x2)2(y2)28.【命题热点突破三】直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则dr?直线与圆相离(2)判别式法：设圆C：(xa)2(yb)2r2，直线l：AxByC0，方程组AxByC0，xa2yb2r2消去y，得关于x的一元二次方程根的判别式，则直线与圆相离?0.2圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离设圆C1：(xa1)2(yb1)2r21，圆C2：(xa2)2(yb2)2r22，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)dr1r2?两圆外离；(2)dr1r2?两圆外切；(3)|r1r2|dr1r2?两圆相交；(4)d|r1r2|(r1r2)?两圆内切；(5)0 d0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0 的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A3B.212C22D2【答案】(1)A(2)D (2)如图，把圆的方程化成标准形式得x2(y 1)21，所以圆心为(0,1)，半径为r1，四边形PACB的面积S2SPBC，所以若四边形PACB的最小面积是2，则SPBC的最小值为1.而SPBC12r|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kxy 40 的距离d，此时d|5|k2112225，即k24，因为k0，所以k2.【特别提醒】(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题【变式探究】(1)已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y2 2y3，直线l过点(1,0)且与直线xy10 垂直若直线l与圆C交于A、B两点，则OAB的面积为()A1B.2C2D 22(2)两个圆C1：x2y22axa24 0(aR)与C2：x2y22by1b20(bR)恰有三条公切线，则ab的最小值为()A 6B 3C 32D3【答案】(1)A(2)C【解析】【高考真题解读】1.【2016 高考新课标2 理数】圆2228130 xyxy的圆心到直线10axy的距离为1，则a=（）（A）43（B）34（C）3（D）2【答案】A 推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【解析】圆的方程可化为22(x1)(y4)4，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：24111ada，解得43a，故选 A 2.【2016 高考上海理数】已知平行直线012:,012:21yxlyxl，则21,ll的距离 _.【答案】2 55【解析】利用两平行线间距离公式得122222|cc|1 1|2 5d5ab21.3.【2016 高考新课标3 理数】已知直线l：330mxym与圆2212xy交于,A B两点，过,A B分别做l的垂线与x轴交于,C D两点，若2 3AB，则|CD_.【答案】4 4.【2016 高考新课标1卷】（本小题满分12 分）设圆222150 xyx的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明EAEB为定值,并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】（）13422yx（0y）（II）)38,12【解析】（）因为|ACAD，ACEB/，故ADCACDEBD，所以|EDEB，故|ADEDEAEBEA.又圆A的标准方程为16)1(22yx，从而4|AD，所以4|EBEA.由题设得)0,1(A，)0,1(B，2|AB，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料13422yx（0y）.5.【2016 高考江苏卷】（本小题满分16 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆22:1214600Mxyxy及其上一点(2,4)A（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线6x上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于,B C两点，且BCOA,求直线l的方程；推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料（3）设点(,0)T t满足：存在圆M上的两点P和Q,使得,TATPTQ,求实数t的取值范围。【答案】（1）22(6)(1)1xy（2）:25215lyxyx或（3）22 212221t【解析】（3）设1122,.P x yQ xy推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料因为2,4,0,AT tTA TPTQ，所以212124xxtyy因为点 Q在圆 M上，所以22226725.xy.将代入，得22114325xty.于是点11,P x y既在圆 M上，又在圆224325xty上，从而圆226725xy与圆224325xty没有公共点，所以2255463755,t解得22 2122 21t.因此，实数t 的取值范围是22 21,22 21.1(2015新课标全国，14)一个圆经过椭圆x216y241 的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_【答案】x322y2254【解析】2(2015江苏，10)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mxy2m 10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_【答案】(x1)2y22【解析】直线mxy2m10 恒过定点(2，1)，由题意，得半径最大的圆的半径r（12）2（01）22.故所求圆的标准方程为(x1)2y22.3(2015广东，5)平行于直线2xy10 且与圆x2y25 相切的直线的方程是()A2xy50 或 2xy50 B2xy50 或 2xy50 C2xy50 或 2xy50 D2xy50 或 2xy50 推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【答案】D【解析】设所求切线方程为2xyc0，依题有|0 0c|22125，解得c5，所以所求切线的直线方程为2xy50 或 2xy50，故选 D.4(2015新课标全国，7)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|()A26 B8 C46 D10【答案】C【解析】由已知，得AB(3，1)，BC(3，9)，则ABBC3(3)(1)(9)0，所以ABBC，即ABBC，故过三点A、B、C的圆以AC为直径，得其方程为(x1)2(y2)2 25，令x 0得(y2)224，解得y1 226，y2 226，所以|MN|y1y2|46，选 C.5(2015重庆，8)已知直线l：xay 10(aR)是圆C：x2y24x2y10 的对称轴，过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|()A2 B42 C6 D210【答案】C 6(2015山东，9)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21 相切，则反射光线所在直线的斜率为()A53或35B32或23C54或45D43或34【答案】D【解析】圆(x3)2(y2)21 的圆心为(3，2)，半径r1.(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)如图所示，反射光线一定过点(2，3)且斜率k存在，反射光线所在直线方程为y3k(x2)，即kxy2k30.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料反射光线与已知圆相切，|3k2 2k3|k2（1）21，整理得12k225k 120，解得k34或k43.7(2014江西，9)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线 2xy40 相切，则圆C面积的最小值为()A.45B.34C(6 25)D.54【答案】A 8(2014陕西，12)若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线yx对称，则圆C的标准方程为_【答案】x2(y1)21【解析】因为点(1，0)关于直线yx对称点的坐标为(0，1)，即圆心C为(0，1)，又半径为1，圆C的标准方程为x2(y1)21.9(2014四川，14)设mR，过定点A的动直线xmy 0 和过定点B的动直线mxym30 交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是 _【答案】5【解析】易求定点A(0，0)，B(1，3)当P与A和B均不重合时，不难验证PAPB，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|PB|PA|2|PB|225(当且仅当|PA|PB|5时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|PB|0，故|PA|PB|的最大值是5.10(2014江苏，11)在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2bx(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30 平行，则ab的值是 _【答案】3 推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【解析】由曲线yax2bx过点P(2，5)可得 54ab2(1)又y 2axbx2，所以在点P处的切线斜率4ab472(2)由(1)(2)解得a 1，b 2，所以ab 3.11(2015广东，20)已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50 相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由