多元函数的基本概念..ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,推广,第九章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意,:,善于类比,区别异同,多元函数微分法,及其应用,第九章,第一节,一、平面点集,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,多元函数的基本概念,本节重点,了解多元函数的基本概念,会求函数的定义域,会求简单的多元函数的极限,知道极限不存在的说明方法,平面点集，,n,维空间,一、平面点集,n,维空间,直线,R,中的点集,实数集，一维空间,区间,自然数集,1,、平面点集,实平面，二维空间，坐标平面,平面点集,常见平面点集,2.,邻域,回忆：,R,中的邻域；,平面中的邻域,点,P,0,（,x,0,，,y,0,）的,邻域；,空间中的邻域,点,P,0,（,x,0,，,y,0,，,z,0,）的,邻域；,说明：,若不需要强调邻域半径,也可写成,点,P,0,的,去心邻域,记为,3.,区域,(1),内点、外点、边界点,设有点集,E,及一点,P,:,若存在点,P,的某邻域,U,(,P,),E,若存在点,P,的某邻域,U,(,P,),E,=,若对点,P,的,任一,邻域,U,(,P,),既含,E,中的内点也含,E,则称,P,为,E,的,内点,；,则称,P,为,E,的,外点,;,则称,P,为,E,的,边界点,.,的外点,显然,E,的内点必属于,E,E,的外点必不属于,E,E,的,边界点可能属于,E,也可能不属于,E,.,(2),聚点与孤立点,若对,任意给定的,点,P,的去心,邻域,内总有,E,中的点,则,称,P,是,E,的,聚点,.,聚点可以属于,E,也可以不属于,E,(,因为聚点可以为,E,的边界点,),所有聚点所成的点集称为,E,的,导集,，记作,.,若点集,E,的点都是,内点,，则称,E,为,开集,；,例如，,即为开集,开集不包含它的任何边界点,若点集,E,E,则称,E,为,闭集,；,E,的边界点的全体称为,E,的,边界,记作,E,;,点集,E,是,闭集,，是指它包含了,它的每一个非孤立的边界点。,例如,即为闭集,(3),开集与闭集,D,(4),开区域及闭区域,若集,D,中任意两点都可用一完全属于,D,的折线相连,开区域连同它的边界一起称为,闭区域,.,则称,D,是,连通的,;,连通的开集称为,开区域,简称,区域,;,。,例如，,在平面上,开区域,闭区域,整个平面,点集,是开集，,是最大的开域,也是最大的闭域,;,但非区域,.,对区域,D,若存在正数,K,使一切点,P,D,与某定点,A,的距离,AP,K,则称,D,为,有界域,界域,.,否则称为,无,二元函数的概念,二、多元函数的概念,引例,:,圆柱体的体积,定量理想气体的压强,三角形面积的海伦公式,定义,1.,设非空点集,点集,D,称为函数的,定义域,;,数集,称为函数的,值域,.,特别地,当,n,=2,时,有二元函数,当,n,=3,时,有三元函数,映射,称为定义,在,D,上的,n,元函数,记作,多元函数的定义域,多元函数的定义域：明确指定或约定,定义域的约定：,使函数表达式有意义的所有点的集合。,例如,二元函数,定义域为,圆域,说明,:,二元函数,z=f,(,x,y,),(,x,y,),D,图形为中心在原点的上半球面,.,的图形一般为空间曲面,.,三元函数,定义域为,图形为,空间中的超曲面,.,单位闭球,二元函数的图形,求多元函数的表达式,例 设 ，,求,解,因为,得,所以,多元函数的极限,三、多元函数的极限,说明：,（,1,）定义中 的方式是任意的；,（,2,）二元函数的极限也叫二重极限,（,3,）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,例,1,求证,证,当 时，,原结论成立,若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,解,:,设,P,(,x,y,),沿直线,y,=,k x,趋于点,(0,0),在点,(0,0),的极限,.,则可以断定函数极限,则有,k,值不同极限不同,!,在,(0,0),点极限不存在,.,以不同方式趋于,不存在,.,例,2.,讨论函数,函数,仅知其中一个存在,推不出其他二者存在,.,注,.,二重极限,不同,.,如果它们都存在,则三者相等,.,例如,显然,与累次极限,但由,例,2,知它在,(0,0),点二重极限不存在,.,多元函数的极限运算法则与一元函数类似，比如,四则运算法则,夹逼准则,等价无穷小代换（因式代换）,但罗比达法则不再成立！,例,3,求极限,解,其中,多元函数的连续性,四、,多元函数的连续性,定义,3,.,设,二,元函数,定义在,D,上,如果函数在,D,上,各点处,都连续,则称此函数,在,D,上,如果,否则称为,不连续,此时,称为,间断点,.,则称,二,元函数,连续,.,连续,回忆一元函数的连续性,例如,函数,在点,(0,0),极限不存在,故,(0,0),为其间断点,.,结论,:,一切多元初等函数在定义区域内连续,.,多元初等函数；,由多元多项式及基本初等函数经过,有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个,式子所表示的多元函数叫,多元初等函数,定义区域,是指包含在定义域内的区域或闭区域。,初等函数,处处连续,又如,函数,上间断,.,在圆周,例,4,解,例,5.,证明,在全,平面连续,.,证,:,为,初等函数,故连续,.,又,故,函数在全平面连续,.,由,夹逼准则得,课内练习,p63,6(6),定理,：,若,f,(,P,),在有界闭域,D,上连续,则,*,(4),f,(,P,),必在,D,上一致连续,.,在,D,上可取得最大值,M,及最小值,m,;,(3),对任意,(,有界性定理,),(,最值定理,),(,介值定理,),(,一致连续性定理,),闭域,上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质,:,(,证明略,),作业,P62 3,，,5,（偶数），,6,（奇数），,7,8,