反常积分的计算.ppt

单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,铃,结束,返回,首页,单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,铃,结束,返回,首页,单击此处编辑母版标题样式,ppt课件.,*,上页,下页,铃,结束,返回,首页,单击此处编辑母版标题样式,ppt课件.,*,上页,下页,铃,结束,返回,首页,单击此处编辑母版标题样式,ppt课件.,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,一、无穷限的反常积分,二、无界函数的反常积分,6.4,反常积分,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、无穷限的,反常,积分,无穷限的反常积分的定义,在反常积分的定义式中,如果极限是存在的,则称此反常积分收敛,否则,称此反常积分发散,.,连续函数,f,(,x,),在区间,a,),上的反常积分定义为,下页,类似地,连续函数,f,(,x,),在区间,(,b,上和在区间,(,),的反常积分定义为,下页,一、无穷限的,反常,积分,无穷限的反常积分的定义,连续函数,f,(,x,),在区间,a,),上的反常积分定义为,反常积分的计算,如果,F,(,x,),是,f,(,x,),的原函数,则有,可采用如下简记形式：,一、无穷限的,反常,积分,无穷限的反常积分的定义,连续函数,f,(,x,),在区间,a,),上的反常积分定义为,反常积分的计算,如果,F,(,x,),是,f,(,x,),的原函数,则有,类似地,有,下页,解,例,1,下页,提示：,例,2,下页,解,解,例,3,当,p,1,时,此反常积分发散,首页,二、无界函数的,反常,积分,注：,如果函数,f,(,x,),在点,x,0,的任一邻域内都无界,那么点,x,0,称为函数,f,(,x,),的,瑕点,(,也称为无界间断点,),无界函数的反常积分又称为,瑕积分,无界函数反常积分的定义,设函数,f,(,x,),在区间,(,a,b,上连续,点,a,为,f,(,x,),的瑕点,.,函数,f,(,x,),在,(,a,b,上的反常积分定义为,下页,在反常积分的定义式中,如果极限是存在的,则称此反常积分收敛,;,否则,称此反常积分发散,.,函数,f,(,x,),在,a,c,),(,c,b,上,(,c,为瑕点,),的反常积分定义为,二、无界函数的,反常,积分,类似地,函数,f,(,x,),在,a,b,),上,(,b,为瑕点,),的反常积分定义为,下页,无界函数反常积分的定义,设函数,f,(,x,),在区间,(,a,b,上连续,点,a,为,f,(,x,),的瑕点,.,函数,f,(,x,),在,(,a,b,上的反常积分定义为,二、无界函数的,反常,积分,无界函数反常积分的定义,设函数,f,(,x,),在区间,(,a,b,上连续,点,a,为,f,(,x,),的瑕点,.,函数,f,(,x,),在,(,a,b,上的反常积分定义为,反常积分的计算,如果,F,(,x,),为,f,(,x,),的原函数,可采用简记形式,则,f,(,x,),在,(,a,b,上的反常积分为,下页,二、无界函数的,反常,积分,无界函数反常积分的定义,设函数,f,(,x,),在区间,(,a,b,上连续,点,a,为,f,(,x,),的瑕点,.,函数,f,(,x,),在,(,a,b,上的反常积分定义为,反常积分的计算,如果,F,(,x,),为,f,(,x,),的原函数,则,f,(,x,),在,(,a,b,上的反常积分为,提问：,f,(,x,),在,a,b,),上和在,a,c,),(,c,b,上的反常积分如何计算？,如何判断反常积分的敛散性？,下页,所以点,a,为被积函数的瑕点,解,例,4,下页,解,例,5,下页,当,c,(,a,c,b,),为瑕点时,解,例,6,当,q,1,时,此反常积分发散,结束,例,7.,解：,求,的无穷间断点,故,I,为反常,积分,.,说明,:,(1),有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化,.,例如,(2),当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分,.,(3),有时需考虑,主值意义下的反常积分,.,其定义为,常积分收敛,.,注意,:,主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反,例题,试证,并求其值,.,解,:,令,函数,1.,定义,2.,性质,(1),递推公式,证,:,(,分部积分,),注意到,:,(2),证,:,(3),余元公式,:,(4),得应用中常见的积分,这表明左端的积分可用,函数来计算,.,例如,问题,1:,曲边梯形的面积,问题,2:,变速直线运动的路程,存在定理,广义积分,定积分,定积分,的性质,定积分的,计算法,牛顿,-,莱布尼茨公式,一、主要内容,二、与定积分概念有关的问题的解法,1.,用定积分概念与性质求极限,2.,用定积分性质估值,3.,与变限积分有关的问题,三、有关定积分计算和证明的方法,1.,熟练运用定积分计算的常用公式和方法,2.,注意特殊形式定积分的计算,3.,利用各种积分技巧计算定积分,4.,有关定积分命题的证明方法,思考,:,下列作法是否正确,?,例,1.,求,解,:,因为,时,所以,利用夹逼准则得,因为,依赖于,且,1),思考例,1,下列做法对吗,?,利用积分中值定理,原式,不对,!,说明,:,2),此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项,.,解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：,已知,利用,夹逼准则,可知,例,2.,求,思考,:,提示,:,由上题,故,练习,:,1.,求极限,解：,原式,2.,求极限,提示：,原式,左边,=,右边,例,3.,估计下列积分值,解,:,因为,即,例,4.,证明,证,:,令,则,令,得,故,例,5,解：,例,6,解,例,8,解,例,9,解,令,例,10,解,例,11.,选择一个常数,c,使,解,:,令,则,因为被积函数为奇函数,故选择,c,使,即,可使原式为,0.,例,12,解,是偶函数,例,13.,设,解,:,例,14,证,例,15,证,作辅助函数,例,16,解,(1),(2),48,ppt课件.,49,ppt课件.,例,17.,解：,且由方程,确定,y,是,x,的函数,求,方程两端对,x,求导,得,令,x,=1,得,再对,y,求导,得,故,例,18.,求可微函数,f,(,x,),使满足,解,:,等式两边对,x,求导,得,不妨设,f,(,x,)0,则,注意,f,(0)=0,得,例,19.,求多项式,f,(,x,),使它满足方程,解,:,令,则,代入,原方程得,两边求导,:,可见,f,(,x,),应为二次多项式,设,代入 式比较同次幂系数,得,故,再求导,:,例,20.,证明恒等式,证,:,令,则,因此,又,故所证等式成立,.,55,ppt课件.,例,21.,试证,使,分析,:,要证,即,故作辅助函数,至少存在一点,证明,:,令,在,上连续,在,至少,使,即,因在,上,连续且不为,0,从而不变号,因此,故所证等式成立,.,故由罗尔定理知,存在一点,思考,:,本题能否用柯西中值定理证明,?,如果能,怎样设辅助函数,?,要证,:,提示,:,设辅助函数,例,22.,设函数,f,(,x,),在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内可导,且,(1),在,(,a,b,),内,f,(,x,)0;,(2),在,(,a,b,),内存在点,使,(3),在,(,a,b,),内存在与,相异的点,使,(03,考研,),证,:,(1),由,f,(,x,),在,a,b,上连续,知,f,(,a,)=0.,所以,f,(,x,),在,(,a,b,),内单调增,因此,(2),设,满足柯西中值定理条件,于是存在,即,(3),因,在,a,上用拉格朗日中值定理,代入,(2),中结论得,因此得,62,ppt课件.,27.,设,在 上连续，在 可导，,且满足,证明：存在 ，使得,63,ppt课件.,28.(01),设,则极限,29.(04),设,则,30.,设函数 在区间上 的图形为：,1,-2,0,2,3,-1,O,则函数,的图形为（）,0,2,3,1,-2,-1,1,0,2,3,1,-2,-1,1,0,2,3,1,-1,1,0,2,3,1,-2,-1,1,.,31.,连续函数,在区间,上的图形分别是直径为,1,的,上图形分别是直径为,2,的下、,则下列结论正确的是：（,）,上、下半圆周，在区间,上半圆周，设,66,ppt课件.,第一次 单元测 验 题,此课件下载可自行编辑修改，供参考！,感谢您的支持，我们努力做得更好！,