托勒密定理.doc

托勒密定理【定理内容】圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和即：若四边形内接于圆，则有.评等价叙述：四边形的两组对边之积的和等于两对角线之积的充要条件是四顶点共圆。【证法欣赏】证明：如图，过作交于，使,，即 又，, ，即 得：即【定理推广】托勒密定理的推广：在四边形中，有；当且仅当四边形内接于圆时，等式成立。 证 在四边形内取点，使，则，；，且，即；当且仅当在上时“=”成立，即【定理推广】托勒密定理的推论：等腰梯形一条对角线的平方等于一腰的平方加上两底之积 即：若四边形是等腰梯形，且， 则.分析：因为等腰梯形必内接于圆，符合托勒密定理的条件，其对角线相等，两腰相等，结论显然成立。【定理应用】【例1】 如图，是正外接圆的劣弧上任一点(不与、重合)， 求证：证明：由托勒密定理得：. 注此例证法甚多，如“截长”、“补短”等，详情参看初中数学一题多解欣赏【定理应用】【例2】 证明“勾股定理”：已知：在中，求证：。证明：如图，以的斜边为对角线作矩形，则是圆内接四边形由托勒密定理，得 是矩形， 把代人，得：【定理应用】【例3】 如图，在中，的平分线交外接圆于，连结，求证：证明：连结，由托勒密定理，得，故【定理应用】【例4】 若、是实数，且，求证：证明：如图，作直径的圆，在两侧任作和，使，由勾股定理知、是满足题设条件的据托勒密定理，有，即【定理应用】【例5】 已知、是的三边，且，求证：证明：， 由托勒密定理，构造圆内接四边形。如图 ，作的外接圆，以为圆心，为半径作弧交圆于，连结、，则，由托勒密定理得： 即又， 比较得，则，【定理应用】【例6】 在中，已知，求证：.证明：如图，作的外接圆，作弦，连结、 ，在圆内接四边形中，由托勒密定理，得：，则.【定理应用】【例7】 由外接圆的弧上一点分别向边、与作垂线、和，求证：.证：连接、， 四边形，由托勒密定理得：即 ，同理可得代人得：.【练习】1 已知中，。求证：.2 已知正七边形。求证：.（第21届全苏数学竞赛）提示1. 过A作BC的平行线交ABC的外接圆于D，连结BD。则CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，ACBD=ADBC+CDAB。2 中学数学中的著名定理 4