常微分方程-基本概念.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2025/12/13 周六,1,一、微分方程,第六章微 分 方 程,第一节,微分方程的基本概念,二、微分方程的解,2025/12/13 周六,2,300,多年前，由牛顿,(Newton,1642-1727),和莱布尼兹,(Leibniz,1646-1716),所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关,.,这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求,.,一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程,.,然而，运动物体,(,变量,),与它的瞬时变化率,(,导数,),之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程,.,一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然,.,下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言,.,2025/12/13 周六,3,定义,1,凡含有未知函数导数,(,或微分,),的方程,，,一、微分方程,称为,微分方程,，,有时,简称为方程,，未知函数是一元函数的微分方程,称做常微分方程,，,未知函数是多元函数的微分方程,称做偏微分方程,.,本教材仅讨论常微分方程，并简称为微分方程,.,(,1,),y,=,kx,k,为常数；,例如，下列方程都是微分方程,(,其中,y,v,q,均为未知函数,).,(,2,),(,y,-,2,xy,)d,x,+,x,2,d,y,=0,；,(,3,),mv,(,t,),=,mg,-,kv,(,t,),；,2025/12/13 周六,4,微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，,称为,微分方程的阶,.,例如，方程,(,1,),-,(,3,),为一阶微分方程，,通常，,n,阶微分方程的一般形式为,F,(,x,y,y,y,(,n,),)=0,，,其中,x,是自变量，,y,是未知函数，,F,(,x,y,y,y,(,n,),),是已知函数，,而且一定含有,y,(,n,),.,(,4,),(,5,),方程,(,4,),-,(,5,),为二阶微分方程,.,2025/12/13 周六,5,定义,2,任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解,.,二、微分方程的解,若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同,，,且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的,通解,(,或一般解,),.,当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的,特解,.,例如方程,y,=2,x,的解,y,=,x,2,+,C,中含有一个任意常数且与该方程的阶数相同，,因此，这个解是方程的通解；,如果求满足条件,y,(0)=0,的解，代入通解,y,=,x,2,+,C,中，,得,C,=0,，那么,y,=,x,2,就是方程,y,=2,x,的特解,.,2025/12/13 周六,6,二阶微分方程的初始条件是,即,y,(,x,0,)=,y,0,与,y,(,x,0,)=,y,0,，,一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为,初值问题,.,求解某初值问题，就是求方程的特解,.,用来确定通解中的任意常数的附加条件一般称为初始条件,.,通常一阶微分方程的初始条件是,2025/12/13 周六,7,例,1,验证函数,y,=3e,x,x,e,x,是方程,y,+,2,y,+,y,=0,的解,.,解,求,y,=3e,x,x,e,x,的导数，,y,=-,4e,x,+,x,e,-,x,y,=5e,x,-,x,e,-,x,将,y,，,y,及,y,代入原方程的左边，,(5e,x,-,x,e,-,x,),+,2(,-,4e,x,+,x,e,-,x,),+,3e,x,x,e,x,=0,，,即函数,y,=3e,x,x,e,x,满足原方程，,得,有,所以该函数是所给二阶微分方程的解,.,2025/12/13 周六,8,得,C,=,2,，故所求特解为,y,=2,x,2,.,例,2,验证方程 的通解,为,y,=,Cx,2,(,C,为任意常数,),，,并求满足初始条件,y,|,x,=1,=,2,的特解,.,解,由,y,=,Cx,2,得,y,=2,Cx,将,y,及,y,代入原方程的左、右两边，,左边有,y,=2,Cx,，,所以函数,y,=,Cx,2,满足原方程,.,又因为该函数含有一个任意常数，,所以,y,=,Cx,2,是一阶微分方程,将初始条件,y,|,x,=1,=,2,代入通解，,2025/12/13 周六,9,例,3,设一个物体从,A,点出发作直线运动，在任一时刻的速度大小为运动时间的两倍,.,求物体运动规律,(,或称运动方程,),解,首先建立坐标系：取,A,点为坐标原点，,物体运动方向为坐标轴的正方向,(,如图,),，,并设物体在时刻,t,到达,M,点，其坐标为,s,(,t,).,显然，,s,(,t,),是时间,t,的函数，它表示物体的运动规律，是本题中待求的未知函数，,s,(,t,),的导数,s,(,t,),就是物体运动的速度,v,(,t,).,由题意，知,v,(,t,)=2,t,，,以及,s,(0)=0.,A,S,O,M,s,(,t,),2025/12/13 周六,10,因为,v,(,t,)=,s,(,t,),，因此，求物体的运动方程已化成了求解初值问题,积分后，得通解,s,(,t,)=,t,2,+,C,.,故初值问题的解为,s,(,t,)=,t,2,，,也是本题所求的物体的运动方程,.,再将初始条件,代入通解中，得,C,=0,，,2025/12/13 周六,11,例,4,已知直角坐标系中的一条曲线通过点,(,1,2,),，且在该曲线上任一点,P,(,x,y,),处的切线斜率等于该点的纵坐标的平方，求此曲线的方程,.,解,设所求曲线的方程为,y=y,(,x,),，,根据导数的几何意义及本题所给出的条件，,y,=,y,2,，,即,积分得,又由于已知曲线过点,(1,2),，代入上式，得,所以，求此曲线的方程为,得,2025/12/13 周六,12,一般地，微分方程的每一个解都是一个一元函数,y=y,(,x,),，,其图形是一条平面曲线，我们称它为微分方程的,积分曲线,.,通解的图形是平面上的一族曲线，称为,积分曲线族,，,特解的图形是积分曲线族中的一条确定的曲线,.,这就是微分方程的通解与特解的几何意义,.,2025/12/13 周六,13,一、可分离变量方程,第六章微 分 方 程,第二节一阶微分方程,三、一阶线性微分方程,二、齐次方程,2025/12/13 周六,14,一阶微分方程的一般形式为,F,(,x,y,y,)=0.,2025/12/13 周六,15,一、可分离变量方程,例如：形如,y,=,f,(,x,),g,(,y,),的微分方程，称为,可分离变量方程,.,(,1,),分离变量,将方程整理为,使方程各边都只含有一个变量,.,的形式，,2025/12/13 周六,16,(,2,),两边积分,两边同时积分，得,故方程通解为,我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一个原函数，,而把积分所带来的任意常数明确地写上,.,2025/12/13 周六,17,例,1,求方程,解,分离变量，得,两边积分，得,这就是所求方程的通解,2025/12/13 周六,18,例,2,求方程,解,分离变量，得,两边积分，得,化简得,2025/12/13 周六,19,另外，,y,=0,也是方程的解，,因此,C,2,为任意常数,求解过程可简化为：,两边积分得,即通解为,其中,C,为任意常数,.,中的,C,2,可以为,0,，,这样，方程的通解是,分离变量得,2025/12/13 周六,20,例,3,求方程,d,x,+,xy,d,y,=,y,2,d,x,+,y,d,y,满足初始条件,y,(0)=2,的特解,.,解,将方程整理为,分离变量，得,两边积分，有,2025/12/13 周六,21,化简，得,即,将初始条件,y,(0)=2,代入，,为所求之通解,.,得,C,=3,.,故所求特解为,2025/12/13 周六,22,例,4,解,分离变量得,即,2025/12/13 周六,23,两边积分，得,经整理，得方程的通解为,也可写为,形如,方程称为,齐次方程,求解方法,:,二、可化为变量分离方程类型,例,4,求解方程,解,:,方程变形为,这是齐次方程,即,将变量分离后得,两边积分得,:,即,代入原来变量,得原方程的通解为,例,6,求下面初值问题的解,解,:,方程变形为,这是齐次方程,将变量分离后得,两边积分得,:,整理后得,变量还原得,故初值问题的解为,2025/12/13 周六,29,三、一阶线性微分方程,一阶微分方程的下列形式,称为一阶线性微分方程，简称,一阶线性方程,.,其中,P,(,x,),、,Q,(,x,),都是自变量的已知连续函数,.,左边的每项中仅含,y,或,y,，且均为,y,或,y,的一次项,.,它的特点是：右边是已知函数，,2025/12/13 周六,30,称为一阶线性齐次微分方程，简称,线性齐次方程,，,0,，则称方程,为一阶线性非齐次微分方程，简称,线性非齐次方程,.,通常方程,称为方程,所对应的线性齐次方程,.,若,Q,(,x,),若,Q,(,x,)0,，则方程成为,2025/12/13 周六,31,1,.,一阶线性齐次方程的解法,一阶线性齐次方程,是可分离变量方程,.,两边积分，得,所以，方程的通解公式为,分离变量，得,2025/12/13 周六,32,例,6,求方程,y,+,(sin,x,),y,=0,的通解,.,解,所给方程是一阶线性齐次方程，且,P,(,x,)=sin,x,，,由通解公式即可得到方程的通解为,则,2025/12/13 周六,33,例,7,求方程,(,y,-,2,xy,),d,x,+,x,2,d,y,=0,满足初始条件,y,|,x,=1,=e,的特解,.,解,将所给方程化为如下形式：,这是一个线性齐次方程，,则,由通解公式得该方程的通解,将初始条件,y,(1)=e,代入通解，,得,C,=1,.,故所求特解为,2025/12/13 周六,34,2,.,一阶线性非齐次方程的解法,设,y,=,C,(,x,),y,1,是非齐次方程的解，,将,y,=,C,(,x,),y,1,(,其中,y,1,是齐次方程,y,+,P,(,x,),y,=0,的解,),及其导数,y,=,C,(,x,),y,1,+,C,(,x,),y,1,代入方程,则有,即,2025/12/13 周六,35,因,y,1,是对应的线性齐次方程的解，,因此有,其中,y,1,与,Q,(,x,),均为已知函数，,代入,y,=,C,(,x,),y,1,中，得,容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程,所以可以通过积分求得,2025/12/13 周六,36,且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程,的通解,在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为,于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：,上述讨论中所用的方法，是将常数,C,变为待定函数,C,(,x,),，,再通过确定,C,(,x,),而求得方程解的方法，称为,常数变易法,.,2025/12/13 周六,37,例,8,求方程,2,y,-,y,=e,x,的通解,.,解,法一,使用常数变易法求解,将所给的方程改写成下列形式：,这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程的通解为,将,y,及,y,代入该方程，得,设所给线性非齐次方程的解为,2025/12/13 周六,38,于是，有,因此，原方程的通解为,解法,二,运用通解公式求解,将所给的方程改写成下列形式：,2025/12/13 周六,39,则,代入通解公式，得原方程的通解为,2025/12/13 周六,40,例,9,求解初值问题,解,使用常数变易法求解,将所给的方程改写成下列形式：,则与其对应的线性齐次方程,的通解为,2025/12/13 周六,41,设所给线性非齐次方程的通解为,于是，有,将,y,及,y,代入该方程，得,2025/12/13 周六,42,因此，原方程的通解为,将初始条件,y,(,p,)=1,代入，得,C,=,p,，,所以，所求的特解，即初值问题的解为,2025/12/13 周六,43,例,10,求方程,y,2,d,x,+(,x,-,2,xy,-,y,2,)d,y,=0,的通解,.,解,将原方程改写为,这是一个关于未知函数,x=x,(,y,),的一阶线性非齐次方程，,它的自由项,Q,(,y,)=1.,2025/12/13 周六,44,代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有,即所求通解为,2025/12/13 周六,45,第七章微 分 方 程,第三节一阶微分方程应用举例,例,1,设曲线过点,(,1,1,),，且其上任意点,P,的切线在,y,轴上截距是切点纵坐标的三倍，求此曲线方程,.,解,设所求的曲线方程为,y,=,y,(,x,),，,P,(,x,y,),为其上任意点，,则过点,P,的切线方程为,其中,(,X,Y,),是切线上动点,(,x,y,),是曲线上任意固定的点,.,x,y,O,P,(,x,y,),L,2025/12/13 周六,46,令,X,=0,，得切线在,y,轴上的截距为,Y,=,y,-,xy,，,y,-,xy,=3,y,，,这是一阶线性齐次方程，其通解为,因曲线过点,(,1,1,),.,代入方程，得,C,=1.,所以曲线方程为,由题意得,2025/12/13 周六,47,例,2,设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与他下落的速度成正比,(,比例系数为常数,k,0,),，,起跳时的速度为,0.,求下落的速度与时间之间的函数关系,.,解,设下落速度为,v,(,t,),，,则加速度,a,=,v,(,t,),运动,，,物体所受的外力为：,F,=,mg,kv,，,于是，由牛顿第二定律可得,mg,-,kv,=,mv,，,2025/12/13 周六,48,又由题意得初始条件,v,|,t,=0,=0,，,可见，初值问题,是一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为,由,v,(0)=0,得,C,=,mg,.,即为所求的函数关系,.,所以，特解,2025/12/13 周六,49,例,4,假设一高温物体在冷却剂中均匀地冷却，,物体的初始温度为,200,C,，且由,200,C,冷却到,100,C,需要,40 s.,已知,(,冷却定律,),：冷却速率与物体和介质的温度差成正比,.,其介质,(,冷却剂,),温度始终保持为,10,C,，,并求物体温度降到,20,C,所需的时间,.,解,设物体温度为,q,=,q,(,t,),，,则物体的冷却速率为,q,(,t,).,由冷却定律可得,q,(,t,),应满足的微分方程为,q,(,t,)=,-,k,q,(,t,),-,10(,k,0),，,试求物体温度,q,与时间,t,的函数关系,2025/12/13 周六,50,另由题意知,q,(,t,),所满足的初始条件为,q,|,t,=0,=200.,于是，初值问题是,解此初值问题，得特解,q,(,t,)=10,+,190e,-,kt,.,因此，得,由于,(40),=100,，,即,100=10+190e,-,40,k,，,2025/12/13 周六,51,最后，将,q,=20,代入上式，,即物体温度降到,20,C,大约需要,2 min38 s.,从而得物体温度,q,与时间,t,的函数关系为,并解出,2025/12/13 周六,52,一、二阶线性微分方程解的结构,第七章微 分 方 程,第四节,二阶常系数线性微分方程,二、二阶常系数线性微分方程的解法,三、应用举例,2025/12/13 周六,53,一、二阶线性微分方程解的结构,二阶微分方程的如下形式,y,+,p,(,x,),y,+,q,(,x,),y,=,f,(,x,),称为二阶线性微分方程,，,简称,二阶线性方程,.,f,(,x,),称为,自由项,，,当,f,(,x,),0,时,，,称为,二阶线性非齐次微分方程,，,简称,二阶线性非齐次方程,.,当,f,(,x,),恒为,0,时,，,称为,二阶线性齐次微分方程,，,简称,二阶线性齐次方程,.,方程中,p,(,x,),、,q,(,x,),和,f,(,x,),都是自变量的已知连续函数,.,这类方程的特点是：右边是已知函数或零，左边每一项含,y,或,y,或,y,，,且每项均为,y,或,y,或,y,的一次项，,例如,y,+,xy,+,y,=,x,2,就,是二阶线性非齐次方程,.,而,y,+,x,(,y,),2,+,y,=,x,2,就不是二阶线性方程,.,2025/12/13 周六,54,定理,1,如果函数,y,1,与,y,2,是线性齐次方程的两个解，,y=C,1,y,1,+,C,2,y,2,仍为该方程的解,，,证,因为,y,1,与,y,2,是方程,y,+,p,(,x,),y,+,q,(,x,),y=,0,的两个解，,与,所以有,其中,C,1,，,C,2,是任意常数,.,则函数,2025/12/13 周六,55,于是有,y,+,p,(,x,),y,+,q,(,x,),y,=0,所以,y,=,C,1,y,1,+,C,2,y,2,是,y,+,p,(,x,),y,+,q,(,x,),y,=,0,的解,.,2025/12/13 周六,56,定义,设函数,y,1,(,x,),和,y,2,(,x,),是定义在某区间,I,上的两个函数，,k,1,y,1,(,x,),+,k,2,y,2,(,x,),=0,不失一般性，,考察两个函数是否线性相关，,我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，,事实上，当,y,1,(,x,),与,y,2,(,x,),线性相关时，有,k,1,y,1,+,k,2,y,2,=0,，,其中,k,1,k,2,不全为,0,，,如果存在两个不全为,0,的常数,k,1,和,k,2,，,使,在区间,I,上恒成立,.,则称函数,y,1,(,x,),与,y,2,(,x,),在区间 上是,线性相关,的，否则称为,线性无关,.,2025/12/13 周六,57,即,y,1,与,y,2,之比为常数,.,反之，若,y,1,与,y,2,之比为常数，,则,y,1,=,l,y,2,，即,y,1,-,l,y,2,=0.,所以,y,1,与,y,2,线性相关,.,因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；,例如函数,y,1,=e,x,，,y,2,=e,-,x,，,所以，它们是线性无关的,.,如果不是常数，则它们线性无关,.,2025/12/13 周六,58,定理,2,如果函数,y,1,与,y,2,是二阶线性齐次方程,y,+,p,(,x,),y,+,q,(,x,),y,=0,的两个线性无关的特解，,y,=,C,1,y,1,+,C,2,y,2,是该方程的通解，,证,因为,y,1,与,y,2,是方程,y,+,p,(,x,),y,+,q,(,x,),y=,0,的解，,所以，由定理,1,知,y,=,C,1,y,1,+,C,2,y,2,也是该方程的解,.,又因为,y,1,与,y,2,线性无关，即,y,1,与,y,2,之比不为常数，,故,C,1,与,C,2,不能合并为一个任意常数，,因此,y,=,C,1,y,1,+,C,2,y,2,是二阶线性齐次方程的通解,.,则,其中,C,1,C,2,为任意常数,.,所以它们中任一个都不能用另一个,(,形如,y,1,=,ky,2,或,y,2,=,k,1,y,),来表示,.,2025/12/13 周六,59,定理,3,如果函数,y,*,是线性非齐次方程的一个特解，,y,=,Y,+,y,*,，,是线性非齐次方程的通解,.,证,因为,y,*,与,Y,分别是线性非齐次方程,y,+,p,(,x,),y,+,q,(,x,),y,=,f,(,x,),和线性齐次方程,y,+,p,(,x,),y,+,q,(,x,),y,=,0,的解，,所以有,y,*,+,p,(,x,),y,*,+,q,(,x,),y,*,=,f,(,x,),，,Y,+,p,(,x,),Y,+,q,(,x,),Y,=,0.,Y,是该方程所对应的线性齐次方程的通解，,则,2025/12/13 周六,60,又因为,y,=,Y,+,y,*,，,y,=,Y,+,y,*,，,所以,y,+,p,(,x,),y,+,q,(,x,),y,=(,Y,+,y,*,)+,p,(,x,)(,Y,+,y,*,)+,q,(,x,)(,Y,+,y,*,),=(,Y,+,p,(,x,),Y,+,q,(,x,),Y,),+,(,y,*,+,p,(,x,),y,*,+,q,(,x,),y,*,),=,f,(,x,).,2025/12/13 周六,61,求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：,(,1,),求线性齐次方程,y,+,p,(,x,),y,+,q,(,x,),y,=0,的线性无关的两个特解,y,1,与,y,2,，,得该方程的通解,Y,=,C,1,y,1,+,C,2,y,2,.,(,2,),求线性非齐次方程,y,+,p,(,x,),y,+,q,(,x,),y,=,f,(,x,),的一个特解,y,*,.,那么，线性非齐次方程的通解为,y,=,Y,+,y,*,.,又,Y,是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常数，,故,y,=,Y,+,y,*,中含有两个任意常数,.,即,y,=,Y,+,y,*,是线性非齐次方程,y,+,p,(,x,),y,+,q,(,x,),y,=,f,(,x,),的通解,.,这说明函数,y,=,Y,+,y,*,是线性非齐次方程的解，,2025/12/13 周六,62,y,+,p,(,x,),y,+,q,(,x,),y,=,f,1,(,x,)+,f,2,(,x,),，,y,+,p,(,x,),y,+,q,(,x,),y,=,f,1,(,x,),，,和,y,+,p,(,x,),y,+,q,(,x,),y,=,f,2,(,x,),则,是方程,的特解,.,定理,4,设二阶线性非齐次方程为,的特解，,2025/12/13 周六,63,证,因为,y,1,*,与,y,2,*,分别是,与,的特解，,y,1,*,+,p,(,x,),y,1,*,+,q,(,x,),y,1,*,=,f,1,(,x,),，,与,y,2,*,+,p,(,x,),y,2,*,+,q,(,x,),y,2,*,=,f,2,(,x,).,于是有,=,f,1,(,x,),+,f,2,(,x,),，,所以有,=,y,1,*,+,p,(,x,),y,1,*,+,q,(,x,),y,1,*,+,y,2,*,+,p,(,x,),y,2,*,+,q,(,x,),y,2,*,即,y,1,*,+,y,2,*,满足方程,，,2025/12/13 周六,64,二、二阶常系数线性微分方程的解法,如果二阶线性微分方程为,y,+,py,+,qy,=,f,(,x,),，,其中,p,、,q,均为常数，,则称该方程为,二阶常系数线性微分方程,.,2025/12/13 周六,65,设二阶常系数线性齐次方程为,y,+,py,+,qy,=,0.,考虑到左边,p,，,q,均为常数，,我们可以猜想该方程具有,y,=e,rx,形式的解，其中,r,为待定常数,.,将,y,=,r,e,rx,y,=,r,2,e,rx,及,y,=e,rx,代入上式，,e,rx,(,r,2,+,pr,+,q,)=0.,1,.,二阶常系数线性齐次方程的解法,由于,e,rx,0,，因此，只要,r,满足方程,r,2,+,pr,+,q,=0,，,即,r,是上述一元二次方程的根时，,y,=e,rx,就是,式的解,.,方程,称为方程,的,特征方程,.,特征方程根称为,特征根,.,得,2025/12/13 周六,66,1,特征方程具有两个不相等的实根,r,1,与,r,2,，,2,特征方程具有两个相等的实根，,这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个特解,y,1,=e,rx,.,还需再找一个与,y,1,线性无关的特解,y,2,，,为此，设,y,2,=u,(,x,),y,1,，,其中,u,(,x,),为待定函数,.,将,y,2,及其一阶、二阶导数,y,2,=(,u,e,rx,),=e,rx,(,u,(,x,)+,ru,(,x,),，,y,2,=e,rx,(,u,(,x,),+2,ru,(,x,)+,r,2,u,(,x,),，代入方程,y,+,p,y,+,qy=,0,中，得,因而它的通解为,所以,y,1,与,y,2,线性无关，,都是,的解，,即,r,1,r,2,.,那么，这时函数,即,2025/12/13 周六,67,注意到 是特征方程的重根，,所以有,r,2,+,pr,+,q,=0,及,2,r,+,p,=0.,且,e,rx,0,，,因此只要,u,(,x,),满足,则,y,2,=,u,e,rx,就是,式的解，,为简便起见，取方程,u,(,x,)=0,的一个解,u=x,，,于是得到方程,且与,y,1,=e,rx,线性无关的解,y,2,=,x,e,rx,.,因此，,式的通解为,2025/12/13 周六,68,3,特征方程具有一对共轭复根,r,1,=,a,+,i,b,与,r,2,=,a,i,b.,这时有两个线性无关的特解,y,1,=e,(,a,+,i,b,),x,与,y,2,=e,(,a,-,i,b,),x,.,这是两个复数解，,为了便于在实数范围内讨论问题，,我们再找两个线性无关的实数解,.,由欧拉公式,(,这公式我们将在无穷级数章中补证,),，可得,2025/12/13 周六,69,于是有,由定理,1,知，以上两个函数,e,a,x,cos,b,x,与,e,a,x,sin,b,x,均为,式的解，,且它们线性无关,.,因此，这时方程的通解为,2025/12/13 周六,70,上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤是：,(,1,),写出所给方程的特征方程；,(,2,),求出特征根；,(,3,),根据特征根的三种不同情况，写出对应的特解，并写出其通解,.,特征根,方程的通解,一对共轭复根,r,1,2,=,i,两个不等的实根,r,1,r,2,两个相等的实根,r,1,=,r,2,=,r,(,0),2025/12/13 周六,72,例,1,求方程,y,-,2,y,-,3,y,=0,的通解,.,解,该方程的特征方程为,r,2,-,2,r,3=0,它有两个不等的实根,r,1,=,-,1,，,r,2,=,3,其对应的两个线性无关的特解为,y,1,=e,-,x,与,y,2,=e,3,x,所以方程的通解为,2025/12/13 周六,73,例,2,求方程,y,-,4,y,+,4,y,=0,的满足初始条件,y,(0)=1,，,y,(0)=4,的特解,.,解,该方程的特征方程为,r,2,-,4,r,+,4=0,，,求得,将,y,(0)=1,，,y,(0)=4,代入上两式，得,C,1,=1,，,C,2,=2,，,y,=,(1,+,2,x,)e,2,x,.,其对应的两个线性无关的特解为,y,1,=e,2,x,与,y,2,=,x,e,2,x,，,所以通解为,因此，所求特解为,它有重根,r,=2.,2025/12/13 周六,74,例,3,求方程,2,y,+,2,y,+,3,y,=0,的通,解,.,解,该方程的特征方程为,2,r,2,+,2,r,+,3=0,，它有共轭复根,对应的两个线性无关的解为,所以方程的通解为,2025/12/13 周六,75,例,4,求方程,y,+,4,y,=0,的通解,.,解,该方程的特征方程为,r,2,+,4=0,，它有共轭复根,r,1,2,=,2i.,即,a,=0,，,b,=2.,对应的两个线性无关的解,y,1,=cos 2,x,.,y,2,=sin 2,x,.,所以方程的通解为,2025/12/13 周六,76,2,.,二阶常系数线性非齐次方程的解法,1,自由项,f,(,x,),为多项式,P,n,(,x,).,设二阶常系数线性非齐次方程为,y,+,py,+,qy=,P,n,(,x,),其中,P,n,(,x,),为,x,的,n,次多项式,.,当原方程,中,y,项的系数,q,0,时,，,k,取,0,；,当,q,=,0,，,但,p,0,时,，,k,取,1,；,当,p,=,0,，,q,=,0,时，,k,取,2.,因为方程中,p,、,q,均为常数且多项式的导数仍为多项式，,所以可设,式的特解为,其中,Q,n,(,x,),与,P,n,(,x,),是同次多项式，,2025/12/13 周六,77,例,5,求方程,y,-,2,y,+,y,=,x,2,的一个特解,.,解,因为自由项,f,(,x,),=,x,2,是,x,的二次多项式，,则,代入原方程后，有,且,y,的系数,q,=1,0,，取,k,=0,.,所以设特解为,2025/12/13 周六,78,比较两端,x,同次幂的系数，有,解得,A,=1,，,B,=4,，,C,=6.,故所求特解为,2025/12/13 周六,79,例,6,求方程,y,+,y,=,x,3,x,+,1,的一个特解,.,解,因为自由项,f,(,x,),=,x,3,x,+,1,是一个,x,的三次多项式，,则,代入原方程后，有,且,y,的系数,q,=,0,，,p,=1,0,，,取,k,=,1,.,所以设方程的特解为,2025/12/13 周六,80,比较两端,x,同次幂的系数：,解得,故所求特解为,2025/12/13 周六,81,2,自由项,f,(,x,),为,A,e,a,x,型,设二阶常系数线性非齐次方程为,y,+,py,+,qy=,A,e,a,x,，,其中,a,，,A,均为常数,.,由于,p,，,q,为常数，且指数函数的导数仍为指数函数，,其中,B,为待定常数，,当,a,不是,式所对应的线性齐次方程的特征方程,r,2,+,pr,+,q,=0,的根时,，,取,k,=0,；,当,a,是其特征方程单根时,，,取,k,=1,；,当,是其特征方程重根时,，,取,k,=2.,因此，我们可以设,的特解,2025/12/13 周六,82,例,7,求方程,y,+,y,+,y,=2e,2,x,的通解,.,解,a,=,2,它不是特征方程,r,2,+,r,+1=0,的根，取,k,=0,，,则,代入方程，得,故原方程的特解为,所以，设特解为,.,B,7,2,=,2025/12/13 周六,83,例,8,求方程,y,+,2,y,-,3,y,=e,x,的特解,.,解,a,=,1,是特征方程,r,2,+2,r,-,3=0,的单根，取,k,=1,，,则,代入方程，得,故原方程的特解为,所以，设特解为,4,1,=,B,2025/12/13 周六,84,3,自由项,f,(,x,),为,e,a,x,(,A,cos,w,x+B,sin,w,x,),型,设二阶常系数线性非齐次方程为,y,+,py,+,qy=,e,a,x,(,A,cos,w,x+B,sin,w,x,),，,其中,a,，,A,，,B,均为常数,.,由于,p,，,q,为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数，,正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，,因此,我们可以设,有特解,其中,C,，,D,为待定常数,.,取,k,=0,，,是根时,，,取,k,=1,，,代入,式，求得,C,及,D,.,当,a,+,w,i,不是,式所对应的齐次方程的特征方程的根时,，,2025/12/13 周六,85,例,9,求方程,y,+,3,y,-,y,=e,x,cos 2,x,的一个特解,.,解,自由项,f,(,x,),=e,x,cos 2,x,为,e,a,x,(,A,cos,w,x,+,B,sin,w,x,),型的函数，,则,且,a,+,w,i,=,1,+,2i,，它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程,r,2,+,3r 1=0,的根，,取,k,=0,，所以设特解为,2025/12/13 周六,86,代入原方程，得,比较两端,cos 2,x,与,sin,2,x,的系数，得,解此方程组，得,故所求特解为,2025/12/13 周六,87,例,10,求方程,y,+,y,=sin,x,的一个特解,.,解,自由项,f,(,x,),=sin,x,为,e,a,x,(,A,cos,w,x,+,B,sin,w,x,),型的函数，,且,a,=,0,，,w,=1,，,则,代入原方程，得,且,a,+,w,i,=,i,是特征方程,r,2,+1=0,的根，,取,k,=1,，所以，设特解为,2025/12/13 周六,88,比较两端,sin,x,与,cos,x,的系数，得,故原方程的特解为,而对应齐次方程,y,+,y,=0,的通解为,Y,=,C,1,cos,x,+,C,2,sin,x,.,故原方程的通解为,2025/12/13 周六,89,例,11,方程,y,+,4,y,=,x,+1+sin,x,的通解,.,解,自由项,f,(,x,),=,x,+1+sin,x,可以看成,f,1,(,x,),=,x,+1,和,f,2,(,x,),=sin,x,之和，,y,+,4,y,=,x,+1,，,y,+,4,y,=sin,x,.,和,方程,的特解易求得，,设方程,的特解为,的特解,.,所以分别求方程,2025/12/13 周六,90,代入,，,得,3,A,sin,x,=sin,x,.,所以,得原方程的特解,2025/12/13 周六,91,原方程所对应的线性齐次方程为,y,+,4,y,=0,，其通解为,Y,=,C,1,cos 2,x,+,C,2,sin 2,x,，,故原方程的通解为,2025/12/13 周六,92,三、应用举例,例,12,弹簧振动问题,设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为,m,的物体，,当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与弹性恢复力大小相等，方向相反，,设给物体一个初始位移,x,0,初速度,v,0,，,则物体便在其平衡位置附近上下振动,.,已知阻力与其速度成正比，,O,试求振动过程中位移,x,的变化规律,.,2025/12/13 周六,93,物体在振动过程中，受到两个力的作用：,ma,=,-,kx,m,v,其中,a,为加速度，,v,为速度，,解,建立坐标系，平衡位置为原点,铅垂方向为,x,轴的正向，则物体位移,x,是时间,t,的函数,x,=,x,(,t,).,根据牛顿第二定律,F,=,ma,，知,负号表示阻力,f,2,与速度,v,方向相反，,其中,m,为比例系数大于,0,(,或称阻尼系数,),，,阻力,f,2,与速度,v,成正比，,f,2,=,-,m,v,负号表示弹性恢复力与位移,x,方向相反；,其中,k,为弹性系数大于,0,，,由胡克定律知，,f,1,=,-,kx,，,弹性恢复力,f,1,与阻力,f,2,，,2025/12/13 周六,94,则上式方程可表示为,称为振动的微分方程，,是一个二阶常系数线性齐次方程，,它的特征方程为,r,2,+2,nr,+,w,2,=0,，,其根为,那么，上式变为,这里,n,，,w,为正常数，,2025/12/13 周六,95,由题意列出初始条件,于是，上述问题化为初值问题：,2025/12/13 周六,96,下面分三种情况来讨论,1,大阻尼情形，即,n,w,.,是两个不相等的实根,.,所以方程的通解为,2,临界阻尼情形，即,n,=,w,.,这时，特征根,r,1,=,r,2,=,-,n,，所以方程的通解为,2025/12/13 周六,97,3,小阻尼情形，即,n,w,.,这时，特征根为共轭复数,所以方程的通解为,上式也可写成,2025/12/13 周六,98,对于,1,，,2,情形，,x,(,t,),都不是振荡函数，,且当,t,+,时，,x,(,t,),0,，,即物体随时间,t,的增大而趋于平衡位置,.,对于,3,的情形，虽然物体的运动是振荡的，,但它仍随时间,t,的增大而趋于平衡位置，,总之，这一类振动问题均会因阻尼的作用而停止，,称为弹簧的阻尼自由振动,.,