高等数学二重积分的计算优秀完整.ppt

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等数学二重积分的计算,一、利用直角坐标计算二重积分,且在,D,上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若,D,为,X,型区域,则,若,D,为,Y,型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,及射线 =常数,分划区域D 为,问 的变化范围是什么?,域边界应尽量多为坐标线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,域边界应尽量多为坐标线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、利用直角坐标计算二重积分,因此取D 为X 型域:,被积函数关于坐标变量易分离,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,当被积函数,均非负,在,D,上,变号,时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.,由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明,:,(1),若积分区域既是,X,型区域又是,Y,型区域,为计算方便,可,选择积分序,必要时还可以,交换积分序,.,则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X,-型域或,Y,-型域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,计算,其中,D,是直线,y,1,x,2,及,y,x,所围的闭区域.,解法1.,将,D,看作,X,型区域,则,解法2.,将,D,看作,Y,型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,计算,其中,D,是抛物线,所围成的闭区域.,解:,为计算简便,先对,x,后对,y,积分,及直线,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,计算,其中,D,是直线,所围成的闭区域.,解:,由被积函数可知,因此取,D,为,X,型域:,先对,x,积分不行,说明:,有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4.,交换下列积分顺序,解:,积分域由两部分组成:,视为,Y,型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,计算,其中,D,由,所围成.,解:,令,(如图所示),显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应有,二、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下,用同心圆,r,=常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线,=常数,分划区域,D,为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3)计算步骤及注意事项,解:积分域由两部分组成:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若D为 X 型区域,若 f 1 则可求得D 的面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,事实上,当D 为 R2 时,利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、利用直角坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:积分域由两部分组成:,解:积分域由两部分组成:,解:积分域由两部分组成:,事实上,当D 为 R2 时,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,则,特别,对,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若,f,1 则可求得,D,的面积,思考:,下列各图中域,D,分别与,x,y,轴相切于原点,试,答:,问,的变化范围是什么?,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,6.,计算,其中,解:,在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注,:,利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上,当,D,为 R,2,时,利用例6的结果,得,故式成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,7.,求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:,设,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,(1)二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,极坐标系情形,:,若积分区域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3),计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充分利用对称性,应用换元公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练 习,1.设,且,求,解:,交换积分顺序后,x,y,互换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,原式,2.,给定,改变积分的次序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,感谢观看,