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含参量积分的分析性质及其应用

班级：11数学与应用数学一班
成绩：
日期： 2012年11月5日

含参量积分的分析性质及其应用
1. 含参量正常积分的分析性质及应用
1.1含参量正常积分的连续性
定理1 若二元函数在矩形区域上连续,则函数=在[a,b]上连续.
例1 设（这个函数在x=y时不连续）,试证由含量积分所确定的函数在 上连续.
解 因为,所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1.
-1,x<y
则.当时, f(x,y)= 0,x=y,
1,x>y
则
1, y<0
当y>1时, f(x,y)=-1,则,即F(x)= 1-2y,0y<0
-1 y>1
又因F(y)在y=0与y=1处均连续,因而F(y)在上连续.
例2 求下列极限：（1）; (2).
解 （1）因为二元函数在矩形域R=[-1,1][-1.1]上连续,则由连续性定理得在[-1,1]上连续.则
.
（2）因为二元函数在矩形域 上连续,由连续性定理得,函数在上连续.则
例3 研究函数的连续性,其中f（x）在闭区间[0,1]上是正的连续函数.
解 对任意,取,使,于是被积函数在上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F（y）在区间上连续,由的任意性知,F（y）在上连续.又因,则F（y）在上连续.当y=0处.由于为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m>0.
,从而,但
F(y)在y=0处不连续,所以F（y）在上连续,在y=0处不连续.
定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数 F(x,y)= 在[a,b]上连续.
例4 求.
解 记.由于都是和x的连续函数,由定理2知在处连续,所以.
例5 证明函数在上连续.
证明 对,令x-y=t,可推得
.
对于含多量正常积分,由连续性定理可得在上连续,则在上连续.
1.2含参量正常积分的可微性
定理3 若函数与其偏导数都在矩形区域R=[a,b]*[c,d]上连续,则=在[a,b]上可微,且.
定理4 设,在R=[a,b]*[p,q]上连续,c,d为定义在[a,b]上其值含于[p,q]內的可微函数,则函数F=在[a,b]上可微,且
定理5 若函数及都在[a,b;c,d]上连续,同时在[c,d]上及皆存在,并且a≤a(y)≤b,a≤b(y)≤b (c≤y≤d),则
.
证明 考虑函数F(y)在[c,d]上任何一点处得导数,由于
.
现在分别考虑在点处得导数.由定理5可得
.
由于,所以
.
应用积分中值定理.这里在和之间.再注意到的连续性及b(y)的可微性,于是得到
.
同样可以证明

于是定理得证.
例6 设求.
解 应用定理5有

.
例7 设在的某个邻域U上连续,验证当时,函数
（1）
的n阶导数存在,且
解 由于（1）中被积函数及其偏导数在U上连续,于是由定理4可得

同理

如此继续下去,求得k阶导数为

特别当时有

于是
例8 计算积分.
解 考虑含参量积分

显然且函数在R=[0,1][0,1]上满足定理3的条件,
于是
.
因为

所以

因此

.
另一方面

所以

1.3含参量正常积分的可积性
定理6 若f在矩形区域R=×上连续,则和分别在和上可积.其中=dy,x,=dy.
这就是说：在f连续性假设下,同时存在求积顺序不同的积分：与,简便记为与,前者表示f先对y求积然后对x求积,后者则表示先对x求积再对y求积.它们统称为累次积分或更确切地称为二次积分.
由可积性的定理进一步指出,在f连续性假设下,累次积分与求积顺序无关,即若f在矩形区域R=×上连续,则
=.
定理7 若f在矩形区域R=×上连续,g在上可积,则作为的函数在上连续,且
=.
注意 推论中闭区间可以换成开区间或无穷区间,因为可积性定理是由连续性推得的,连续性是局部性质.
例9 求I= （b>a>0）.
解 由得I==,因为在矩形区域上连续,由定理可得I===ln.
例10 试求累次积分与,并指出它们为什么与定理的结果不符.
解：==
====.
=,由=,同理可得=,所以=–.
即,这与定理不符.
因为== 不存在,
所以在点处极限不存在,即在矩形区域上不连续,不满足定理的条件.
例11 应用积分号下的积分法求积分, .
解 令,.
因为所以在上连续.
所以==.
令= , ,
0 , .
则在矩形区域上连续,由定理可知
===.
2. 含参量反常积分的分析性质及应用
2.1含参量反常积分的连续性
定理8 设在）上连续,若含参量反常积分
=
在I上一致连续,则Φ（x）在I上连续.
推论 在）上连续,若在I上內闭一致收敛,则Φ（x）在I上连续.
这个定理也表明,在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换：

例12 证明⑴⑴在[a,b]（a>0）上一致收敛;⑵ 在[0,b]上不一致收敛.
证明 ⑴ x,y,有,而收敛（a>0）,由M判别法,知反常积分在[a,b]（a>0）上一致收敛.
⑵因Φ（x）== 0,，
1,0.
在x=0处不连续,而在0 x b,0y + 內连续,由连续性定理知在0 x b上不一致连续.
例13 回答对极限能否施行极限与积分运算顺序的变换来求解？
解 .
而运算顺序不能交换,是因为在[0,b]（b>0）上不一致收敛,故不满足含参量反常积分连续性条件.
定理9 如果函数在[a,+）×[]上连续,而且积分在[]上一致收敛,那么由Φ（x）=所确定的函数Φ在[]上连续.
证明 由于在[]上一致连续,故对任意>0,存在>a,使得不等式︱︱<对[]中所有的u成立.因为函数在[]上连续,是[]中的连续函数,因而对任意[],任意ε>0,存在δ>0 , 当u[]且 时,
︱-︱<.
于是当[]且︱-︱<δ时,
︱-︱=︱-︱ ︱-︱ +︱︱+ ︱︱<++=.
这就证明了在处是连续的.由于是[]中的任意点,所以在[]上连续.
这个定理也可以写成：

即在积分一致收敛的条件下,极限号与积分号可以交换.
例14 讨论函数的连续性区间.
解 先看函数的定义域是什么,即上述积分在什么范围内收敛.在x=0附近,.所以当<2时,积分收敛.
当x时,～,所以积分当>-2时收敛.由此得知的定义域是（-2,2）.我们只需证明在任意[a,b]（-2,2）上连续.根据定理9只要证明上面的积分在[a,b]上一致收敛.
当x时,设ab<2,这时存在常数c使得而b-1<1,故由比较判别法,积分在（+,b]一致收敛.当x[1,+）时,设-2<a,.而a+3>1,故有比较判别法,积分在[a,+）上一致收敛,把积分合在一起,即知在[a,b]（-2,2）上一致收敛,故在（-2,2）上连续.
注意 与级数的情形一样,积分的一致收敛只是保证连续的一个充分不必要条件.但在非负的条件下,积分的一致收敛便是连续的必要条件.
2.2含参量反常积分的可微性
定理10 设与在区域上连续.若在上收敛,在上一致收敛,则在上可微,且.
例15 求积分.
解 记J(y)= ,有参量反常积分可微性定理推得= =,而,所以= =,
.
例16 对能否运用积分与求导运算顺序变换求解.
逻辑推理 验证函数是否满足可微性定理条件,若不满足条件,则不能变换顺序. 1,,
解 由于= 0,.
因而在上不一致收敛,故不能运用含参量反常积分可微性定理.实际上,因=,,则而

在=0处为零.故积分与求导运算不能交换顺序.
定理11（积分号下求导定理） 设与在上连续.若在上收敛,而在上内闭一致收敛,则在上可微,且.
证明 设｛｝为一递增且趋于的数列,记
,n=1,2···,
且有=.由正常积分的连续性定理得 （n=1,2···,）在上可微,且,n=1,2···,由已知条件在上一致收敛,又因若含参变量反常积分关于一致收敛,则函数项级数关于一致收敛.从而函数项级数

也在上一致收敛,根据函数项级数的逐项求导定理,即得在上可微,且
.
上述定理的结果也可记成
.
定理12 如果函数f和都在上连续,积分在上一致收敛,那么在上可微,而且
.
证明 对于任意正整数,令.又因为若函数f及其偏导数都在闭矩形上连续,那么函数在上可微,而且.所以在上有连续的导函数
.
由于在上一致收敛,所以函数列在上一致收敛,且因在上收敛于,故在上连续可微,且

成立.
例17 利用对参数的微分法,计算微分﹥0,b﹥0.
解 把a看作参数,记上面的积分为那么.为了说明微分运算和积分运算的交换是允许的,我们把a限制在区间中,这里是任意一个正数.于是由于收敛,故由Weierstrass判别法知道,积分对中一致收敛,故由上述定理可知上面的运算成立.由于﹥0是任意的,故在中成立.计算得,
所以由于故最后得
2.3含参量反常积分的可积性
定理13设在[a,b][c, 上连续,若在[a,b]上一致收敛,则在[a,b]上可积,且
=.
定理14 设在[a,b][c, 上连续,若（1）关于y在[c, 上内闭一致收敛,关于x在[a,上内闭一致收敛；（2）积分与中有一个收敛.则
=.
例18 等式=出发,计算积分（b>a>0）.
解 因为在[0,[ a,b]上连续,且xyax,则有0<而=-=收敛,由M判别法可推断含参量反常积分在[ a,b]（a>0）上一致收敛.由可积性定理知在[ a,b]上可积.且
=====.
例19 对能否运用积分顺序交换来求解？
解：令u=x,则
===0
而
.
则
==1.
所以积分运算顺序不能变换.原因是在[0,1]上不一致收敛,故不满足参量反常积分可积性定理条件.
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