微积分：无穷小—分析学.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,微积分：无穷小,分析学,无穷小与微积分思想萌芽,不可分量与微积分方法雏形,微积分学的创立,微积分基础严密化,分析学的进一步发展,引言,引言,计算平面图形的面积：,实践经验：精确的面积值,小方格越小越好；,理论结果：小方格会呈现为“无穷小”,微积分方法和理论产生。,（,56+26,）,/2=41,（,188+134,）,/2=161,微积分的基本概念,从无穷小开始，人类奋斗了,2500,多年。,无穷小与微积分思想的萌芽,一、古希腊的穷竭法,二、中国古代的极限思想,无穷小与微积分思想的萌芽,一古希腊的穷竭法：,毕达哥拉斯学派：贴合理论、不可公度比的发现、德摩克利特原子论；,面积贴合理论,不可公度比,厄利亚学派：芝诺悖论,操场队列,飞矢不动,阿基里斯与龟,两分法,欧多克索学派：穷竭法原理,已知两个不等的量，从较大量中减去大于其一半的量,再从余下的量中继续减去大于其一半的量，其结果，总可以,使某一次余下的量小于已知的较小量。,阿基米德：求抛物线弓形面积。,如图，,QV,为抛物线,PQR,的直径，,Q,1,V,1,，,Q,1,V,1,分别为抛,物线，,PQ,1,Q,，抛物线,QQ,1,R,的直径。,根据抛物线的性质，得到,易证：,阿基米德先用杠杆原理推出结论：,设,假设,根据穷竭法原理，有,使得,但由（*）有,矛盾。,假设,越来越小，则存在,使得,但由（*）有,比较可得,由归谬法故,二中国古代的极限思想：,墨子,：至大无外，为大一；至小无内，为小一。,庄子,：一尺之棰，日取其半，万世不竭。,九章算术,圆田术：半周半径相乘得积步。,刘徽注（割圆术）：,以六觚之一面乘半径，因而三之得十二觚之幂；若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之则得二十四觚之幂。,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。,觚面之外，犹有余径，表无余径，则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍，故以半周乘半径而为圆幂。,不可分量原理与微积分方法雏形,一、,Keple,、,Galilei,的思想方法,二、,Cavalieri,的工作,三、,Torricelli,的工作,四、,Fermart,的工作,五、,Barrow,的工作,六、,Wallis,的工作,不可分量原理与微积分方法雏形,十六、十七世纪，围绕四大问题：求面积、求速度、求切线、求极值，数学家们做出了非常杰出的工作，这些工作与微积分方法的形成关系密切。,一,Keple,、,Galilei,的思想方法：,Keple,求圆面积,Galilei,求瞬时速度,二,Cavalieri,，,Francesco Bonaventure,（,1598 1647,）的工作,用新的方法推进连续体的不可分量的几何学,（,1635,）提出“不可分量原理”：线段是无数个等距点构成，面积是无数个等距平行线段构成，体积是无数个等距平行平面构成，这些点、线段、平面是长度、面积、体积的“不可分量”。,Cavalieri,利用这种“不可分量”，进行长度、面积、体积 的计算及其相关的推理，但是，他未能对“不可分量”作出严格的论述。数学家们对此褒贬不一。,1644,年，,Cavalieri,本人发现了关于“不可分量”的悖论。,三,Torricelli,，,Evangelista,（,1608 1647,）的工作,继承、发展了,Galilei,、,Cavalieri,的思想方法，在求一个无限几何体体积时，把“不可分量”原理用得淋漓尽致。,如图，由,xy=k,（,k,0,），,x,=0,，,y,=0,，,x=m,所围的图形绕,y,轴旋转一周，所成几何体的体积。,任取垂直于,y,轴的截面,MN,，可有,S,侧,=2,OLLM,=2,k,S,截,=,(,OA,/2)=,2,k,一一对应，由不可分量原理，得,V,=,2,k,m,既然,x+E=x,，则,E,=0,，故,2,求切线：,OQ=a,，,VQ=b,，,QQ=E,四,Fermart,的工作,1,求极值：,求使,A=x,（,a-x,）,最大的,x,。,即,2,ab+E,=,a,，令,E,=0,，,得到,a,=2,b,，过,P,的切线确定。,当,E,很小时,用,x+E,代替,x,，有,(,x+E,)(,a-x-E,)=,x,(,a-x,),，解得,由抛物线性质,之间的面积。,利用等比级数求和得：,于是,作变换,令,则所求面积为：,之下，从,0,到,3.,求面积：,如图，求,五,Barrow,，,Isaac,（,1630 1677,）的工作,1,一般求切线方法：,如图，求,故切线求得。,过,M,点的切线。,2,探讨“求切线”与“求面积”的互逆关系：,如图，取,KL,上任一点,Z,，使,由于,NO,非常小，,类似地，可以得到曲边四边形,AFZK,的面积,六,Wallis,，,John,（,1616 1703,）的工作：,无穷的算术,（,1655,）中的代数学倾向，打破了几何学的顽固的观念，虽然显得有点粗糙，但是很有启迪意义。,设,ABC,的底和高分别为,a,、,h,，,将三角形分割成无限小的平行四边形，它们的面积从顶点顺序到底边，组成一个从 0 开始的算术级数，其末项为,那么，,ABC,的面积为,微积分学的创立,十七世纪，微积分方法已经被许多人掌握，费马、巴罗被誉为最精通微积分的人；但是，还需要做以下工作：,确定概念、提炼方法、改造形式、揭示规律,微积分学才能创立，牛顿、莱布尼茨分别、独立地完成了上述工作，他们俩被誉为微积分学的发明人。,可惜，在牛顿和莱布尼茨之间发生了争执，为时百余年之久。其实，他们的工作并不完全相同，我们可比较如下：,牛顿（,Newton,，,Isaac,1642 1727,）英国著名科学家，在科学的许多领域都作出了杰出贡献。,莱布尼茨（,Leibniz,，,Gottfried Wilhlm,1646 1716,）德国哲学家，被誉为百科全书式的天才。,牛顿,莱布尼茨,创作年代,16651667,16731676,发表年代,原理（,1687,）求积术（,1704,）,分析（,1711,）流数法（,1736,）,札记（,1684,）,新方法（,1686,）,出 发 点,力学,-,几何学,数学,-,算术,主要概念,导数,-,不定积分,微分,-,定积分,无 穷 小,无层次,有阶次,符 号,不定、杂乱,规范、沿用至今,风格特征,具体、条理,抽象、零碎,理论基础,最初比、最终比,连续性原则,共 同 点,建立一般方法：微分法、积分法,揭示微分法与积分法的互逆关系,面临无穷小的逻辑困难无法克服,牛顿,1642,年的圣诞出生于英格兰林肯郡伍尔索普村一个农民家庭，是遗腹子，且早产，生后勉强存活。少年牛顿并不是神童，学习成绩也不突出，但他特别爱读书与制作玩具。,17,岁时，牛顿曾经被他的母亲从他就读的格兰瑟姆中学招回务农，还是在牛顿的舅舅和中学校长的竭力劝说下，牛顿的母亲在九个月后才允许他返校继续学习。那位中学校长在劝说时讲的一句话成为科学史上最幸运的预言：“在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失！”,1661,年，牛顿在剑桥大学三一学院就教于巴罗，同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃利斯等的著作。,1665,年,8,月，剑桥大学因瘟疫流行而关闭，牛顿回到家乡躲避了两年。这两年竟成为牛顿科学研究的黄金岁月，历史上第一篇系统的微积分文献,流数简论,，就是牛顿在这个时期完成的，并且他一生中大多数科学创造的蓝图都是在这两年绘制的。,牛顿数学思想的形成，受笛卡儿的,几何学,和沃利斯的,无穷算术,的影响最深，正是这两部著作引导他走上创立微积分之路。,1667,年春，牛顿重新回到剑桥大学，对自己的微积分的工作不断努力改进，先后又写出三篇论文：,1669,年完成,运用无穷多项方程的分析,，,1671,年完成,流数法与无穷级数,，,1691,年完成,曲线求积术,。,牛顿对于发表自己的科学著作态度谨慎，上述论文都是经朋友再三催促才发表，甚至,流数法与无穷级数,直到他去世了才正式发表。牛顿微积分学说最早的公开表述出现在,1687,年的,自然哲学的数学原理,之中，这部著作也是在著名天文学家哈雷的催促下才发表的，它成为数学史上划时代的著作。,牛顿是一位科学巨人，但是,当他在谈到自己的光学发现时却说：,“,如果我看得更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上。,”,当别人问他是怎样做出自己的科学发现时，他的回答是：,“,心里总是装着研究的问题，等待那最初的一线希望渐渐变成普照一切的光明。,”,他往往一天伏案工作,18,小时左右，仆人经常发现送到书房的午餐和晚餐竟一口未吃。偶尔出去用餐，出门就陷入思考，兜了一圈又回来了。,他性格内向，不善于在公众场合表述思想，但作为英国皇家学会的会长，他却能赢得大多数会员的拥护，连任时间长达四分之一世纪。,“,除了顽强的毅力和失眠的习惯，牛顿不承认自己与常人有什么区别。,”,（,归纳科学史,作者惠威尔）,莱布尼茨出生于德国莱比锡，父亲是莱比锡大学的哲学教授。莱布尼茨从童年起就利用父亲丰富的藏书，勤奋学习，博览群书，熟悉了一些科学知识。,15,岁进入莱比锡大学学法律，并钻研哲学和数学，,1664,年获哲学硕士学位。,1666,年毕业于阿尔特多夫大学，当年完成了法学博士论文，,1667,年,2,月获法学博士学位并取得教授席位，但他没有到职，却在缅因兹选帝侯的门下服务，处理法律和外交事务。,1672,年,3,月以外交代表的身份出使法国巴黎，在巴黎居留了,4,年。这,4,年对莱布尼茨科学生涯的意义，可以与牛顿在家乡躲避瘟疫的那两年相比，因为莱布尼茨许多重大的成就，包括创立微积分都是在这个期间完成或奠定基础的。,莱布尼茨在巴黎结识了许多数学家和其他科学家，特别是与荷兰数学家、物理学家惠更斯的交往，激发了莱布尼茨对数学的兴趣。他通过研究卡瓦列里、笛卡儿、费马、帕斯卡和巴罗等的著作，写了许多杂记手稿，发现了微积分方法的原理，确定了微积分学的基本内容。,大约到,17,世纪,80,年代，莱布尼茨开始总结自己陆续获得的结果，并将它们整理成文，公诸于众。,1684,年莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文,一种求极大值与极小值和求切线的新方法,，它刊登在,教师学报,上，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分论文。,1686,年莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文,深奥的几何与不可分量及无限的分析,，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或求切线问题的互逆关系。,莱布尼茨被称为百科全书式的天才，他的博学多才在科学史上是罕有所比的，其著作涉及数学、力学、机械、地质、逻辑、哲学、法律、神学、语言学和外交等，在数学上的贡献也远不止于微积分。,总而言之，牛顿和莱布尼茨,在前人和同时代人工作的基础上，都超越了具体问题的求解，建立起一般的方法，称之为微分法和积分法，并揭示了微分法与积分法的互逆关系，这样，一门独立的学科,微积分学创立了。,但是，对于微积分学的理论基础，无论是牛顿还是莱布尼茨都没有能给出令人满意的论述，甚至他们本人也不满意自己的工作，因为他们面临无穷小的逻辑困难无法克服。好在微积分方法在应用中还是很受欢迎的，人们几乎顾不得微积分学的理论基础，就把微积分迅速地发展起来。经过近一个世纪的尝试和酝酿，直到,19,世纪人们才找到了极限，用它来描述无穷小，即：无穷小是以零为极限的变量，这时微积分的理论基础才严密化了。,牛顿和莱布尼茨都是他们那个时代的巨人，就微积分的创立而言，尽管在背景、方法、形式上存在一些差异，但各有特色，两人的功绩是相当的。他们都使微积分成为普遍适用的算法，同时又都将积分归结为微分的逆运算。应该说，微积分能成为一门独立的学科并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠他们两个人的工作。可惜，牛顿与莱布尼茨之间发生了一场发明微积分优先权的争执。,1687,年以前，牛顿确实没有公开正式发表过任何微积分的文章，而莱布尼茨则在,1684,年和,1686,年分别发表了两篇论文。到,1687,年，牛顿在,自然哲学的数学原理,中首次发布他的流数法时，在前言中作了一段说明：,“,十年前，我在给学问渊博的数学家莱布尼茨的信中指出：我发现了一种方法，可用以求极大值、极小值、作切线以及解决其他类似的问题，而且这种方法也适用于无理数，,这位名人回信说他也发现了类似的方法，并把他的方法给我看了。他的方法与我的大同小异，除了用语、符号、算式和量的产生方式外，没有实质性区别。,”,可以说这是对微积分发明权问题的客观评述，遗憾的是这段说明在第,3,版时被删除了，原因就是牛顿与莱布尼茨之间发生了一场发明微积分优先权的争执。,其实，争端是由局外人挑起的，瑞士数学家德丢勒,1699,年在一本小册子中提出牛顿是微积分的第一发明人，而莱布尼茨作为第二发明人，曾从牛顿那里有所借鉴。莱布尼茨立即对此作出了反驳。,1712,年，英国皇家学会专门指定了一个委员会进行调查，并于翌年公布了一份著名的,通报,，宣布确认牛顿为第一发明人，这引起了莱布尼茨的申诉。争论在双方的追随者之间愈演愈烈，直到牛顿和莱布尼茨都去世后，才逐渐平息并得到解决。经过调查，特别是对莱布尼茨手稿的分析，证实两人确实是相互独立地完成了微积分的发明。就发明时间而言，牛顿早于莱布尼茨；就发表时间而言，莱布尼茨早于牛顿。,值得补充的是，尽管发生了争执，两位学者却从未怀疑过对方的科学才能。有一则记载说，,1701,年在柏林王宫的一次宴会上，当普鲁士王问到对牛顿的评价时，莱布尼茨回答：,“,综观有史以来的全部数学，牛顿做了一多半的工作。,”,微积分发明权的争论被认为是,“,科学史是最不幸的一章,”,，因为，这场争论对,18,世纪英国与欧洲大陆国家的数学发展产生了严重的影响，尤其是英国蒙受了极大的损失。虽然牛顿的微积分在应用方面促进了科学的发展，但由于英国数学家固守牛顿的传统而使自己逐渐远离微积分发展的主流。而微积分的进一步的发展在,18,世纪主要是由欧洲大陆国家的数学家在莱布尼茨微积分方法的基础上而取得的。,微积分基础严密化,一攻击微积分,二改进微积分,三奠定基础,微积分基础严密化,一攻击微积分：,纽文蒂（,Nieunentijdt,，,Bernard,1654 1718,）（荷）,“无穷小”与零无法区别 ；,罗尔（,Rolle,，,Michel,1652 1719,）（法）,微积分不严密，开除它出数学领域；,贝克莱（,Berkeley,，,George,1685 1753,）（英）,1734,年发表,分析家或致一个不信教的数学家，探讨近代分析学的对象、原则和推理是否比宗教的神秘与信条，构思更为清楚，或推理更为明显,；,嘲笑哈雷鼓励牛顿出版微积分著作：“先除掉自己眼中的障碍，才能看得清如何拨去你兄弟眼中的灰尘。”,攻击微积分，概念针对“瞬”、“流数”、“最终比”方法针对“流数法”、“,0/0”,。,二改进微积分：,Jurin,，,James,（,1684 1750,）,1734,年,几何学,非不信教的朋友,极限；,Robins,，,Benjamin,（,1707 1751,）,1735,年,论牛顿爵士的方法的本质与可靠性,极限；,Maclaurin,，,Colin,（,1698 1746,）,1742,年,流数论,穷竭法；,Landen,，,John,（,1719 1790,）,1758 1764,年间，代数微积；,Euler,，,Leonhard,（,1707 1783,）,1755,年,原理,代数、算术；,Lagrange,，,Joseph Louis,（,1736 1813,）,1772,年论文、,1797,年,解析函数论,无穷级数引入导数；,DAlembert,，,Jean le Rond,（,1717 1783,）极限；,Carnot,，,Lazare Nicolas Marguerite,（,1753 1823,）,1797,年,关于无穷小分析的形而上学的思考,穷竭法；,Lacroix,，,Sylvestre-Francois,（,1765 1843,）,1797,年,微积分教程,极限。,三奠定基础：,如何剔除运动、直观？,Bolzano,，,Bernhard,（,1781 1848,）,1817,年,关于方程在每两个给出相反结果的值之间至少有一个实根的纯粹解析的证明,警示运动、直观会失效；,Cauchy,，,Augustin-Louis,（,1789 1857,）,1821,年,代数分析教程,，,1823,年,无穷小计算概要,，,1829,年,微分学讲义,；,数、变量、函数,极限无穷小导数连续定积分无穷级数收敛准则,问题：,1,极限的叙述粗糙，仍有运动、直观之嫌；,2,收敛准则不能保证实数的存在。,Weiersterass,，,Karl Theodor Wilhelm,（,1815 1897,）,引入“复合数”：,、,、,，,采用“,-n,”,、“,-,”,语言，表述极限，,问题：连续的本质？“无穷性”？,Dedekin,，,Julius Wilhelm Richard,（,1831 1916,）,1872,年,连续性与无理数,；,1888,年,数的性质和意义,“,戴德金分割”、“连续统”，平凡之见道破连续的本质；,Cantor,，,George Ferdinand Philip,（,1845 1918,）,1870,年代开始，创立“集合论”；,1879 1884,年间，系列论文，论述无穷数或超限数的理论；,1895 1897,年间，两篇重要文章，阐述“无穷”的特性：“整体与部分相似”，即整体与部分可建立一一对应；,Peano,，,Giusepe,（,1858 1932,）,1889,年,算术原理新方法,“,自然数公理”：,1,）,1,是自然数；,2,）,1,不是任何自然数的后继；,3,）每个自然数,，都有后继,+,；,4,）若,+,=,+,，则,=,；,5,）若,S,N,，,1,S,，,且当,S,，有,+,S,，则,N,S,。,分析学的进一步发展,一、分析学领域,二、勒贝格积分,三、非标准分析,分析学的进一步发展,不断地、顽强地进取是人类的天性。当初，微积分理论基础尚未奠定时，无论是微积分方法还是与微积分相关的分支学科，都迅速地发展起来。时至今日，在微积分理论基础严密化之后，一个庞大的分析学领域形成了。,进入,20,世纪，微积分又在两个完全不同的方面出现了新的发展。,一个是,20,世纪初，法国数学家勒贝格（,Lebesgue,，,Heri Leon,18751941,）潜心钻研不能满足黎曼积分条件的所谓“病态函数”，从而提出了包罗广泛的积分理论，在某种意义下，这是实变量实值函数的积分概念的最后推广；,一个是,20,世纪,60,年代，美国数学家鲁滨逊（,Robinson,，,Abraham,1918 1974,）重新把无穷小找回来，并让它成为逻辑上自容的实体，并且由它和实数集构成了超实数集，再在超实数集上进行微积分运算，称之为非标准分析。,一分析学领域：,渐近理论,无穷级数：发散级数,可和理论,常微分方程,微分方程,偏微分方程,最速降线,变分法 短 程 线,等周问题,复变函数,函数论,实变函数,欧拉可和性,阿贝尔求和法,第一类积分方程,积分方程,第二类积分方程,线性泛函分析,泛函分析,非线性泛函分析,二,勒贝格积分,勒贝格的基本思想是：通过扩大可测集的范围来扩大需要定义其积分的函数的范围。于是，他对于完全包含约当可测集合的一类集合定义测度,m,（,E,），并且当,E,为约当可测集合时，,m,（,E,）,=,c,（,E,），从而通过这些新的可测集合来推广黎曼积分。,勒贝格用可数无限覆盖代替有限覆盖，在此基础上推广测度的概念。勒贝格测度与以前的测度概念相比，主要优点在于它的可数可加性：若,E,1,，,E,2,，,，,E,n,是一个两两互不相交的集合序列，则它们的并是可测的，且有,有界函数,f,（,x,）的勒贝格下积分和勒贝格上积分分别为：,其中，,E,1,，,E,2,，,，,E,n,表示把区间,a,，,b,分成,n,个勒贝格测度为,m,（,E,i,）的勒贝格可测集合的一个划分，,m,i,和,M,i,分别是,f,(,x,),在,E,i,上的最大下界和最小上界。,如果,f,（,x,）的勒贝格下、上积分相等，则称,f,（,x,）在,a,，,b,上是勒贝格可积的。显然有,所以，黎曼可积也是勒贝格可积的。,勒贝格积分之所以有力，不仅由于可积函数的范围扩大了，而且还由于应用这种积分很容易处理函数的极限过程。,譬如，对于每一个,x,a,，,b,，,考虑,是否成立。在黎曼积分的情况下，要求,f,n,(,x,),都是连续的，而且,f,n,(,x,),一致连续。对于许多应用来讲，这些条件太强了。对于勒贝格积分，在很弱的条件下上述等式就能成立。这就是近代勒贝格积分理论显得非常重要的主要原因。,三非标准分析：,1,创立,Robinson,，,Abraham,（,1918 1974,）,1966,年,Non-Standard Analysis,Keislor,，,H,Jerome,1976,年,Elementary Calculus,Foundations of Infinitesimal Calculus,2,简介,基本原理：存在一个超实数的非完备域,R,*,R,；使每一个,n,元实变量函数,f,（,x,1,x,2,x,n,）在,R,*,中具有一个自然扩张：,n,元超实变量函数,f,*,（,x,1,x,2,x,n,），,x,i,R,*,；当两组公式具有相同实解时，它们相应的自然扩张的两组公式也具有相同的超实解。,公理,1,（超实数公理）存在实数域,R,的一个有序域正真扩张,R,*,，,R,*,的元素称之为超实数。,若,x,R,*,，,r,0,r,R,，有,|,x,|,r,，则,x,称为无穷小；,若,x,R*,，,r0 r,R,，有,|,x,|,r,，则,x,称为有限的；,若,x,R*,，,r0 r,R,，有,|,x,|,r,，则,x,称为无穷大；,若,x,、,y,R*,，,x-y,是无穷小，则,x,、,y,为无限接近，记为,x y,。,标准部分定理：对于每一个有限超实数,x,，存在唯一实数,r,，使,r x,，则这个唯一的,r,为,x,的标准部分，记为,r=St,(,x,),。,若,x,、,y,R,*,，都是有限的，则当且仅当,St,(,x,)=,St,(,y,),时，,x y,。并且有,St,(,x,y,)=,St,(,x,),St,(,y,),，,St,(,xy,)=,St,(,x,),St,(,y,),，,x,R,*,，在,r=St,(,x,),周围有与,x,相差为无穷小的单子的集合。,公理,2,（自然扩张公理）,f,（,x,1,x,2,x,n,）,R,n,f,*,（,x,1,x,2,x,n,）,R,n,*,公式,F,解集,X,R,公式,F,*,解集,X*,R,*,(,X,Y,)*=,X,*,Y,*,，,(,X,Y,)*=,X,*,Y,*,；,若,X,*,Y,*,，则,X,Y,；,若,X,有界，则,X,*,有限；,若,f,是一元实函数，则,(,domain f,)*=,domain,(,f,*),，且,(,range f,)*=,range,(,f,*),。,公理,3,（解公理）若两个公式组恰有相同的实解，则它们的自然扩张恰有相同的超实解；,设,f,、,g,是定义在,D,R,上的实值函数，且,x,D,有,f,(,x,),g,(,x,),，则,x,D,*,有,f,*(,x,),g,*(,x,),。,在此基础之上，建立超实数域上的微积分，把无穷小作为一个逻辑实体，又有求标准部分的方法，为微积分的运算和推理带来了方便。,