极限的概念专题知识专业知识讲座.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。,高等数学,主要内容,1.2.1 数列的极限,1.2.3 无穷小量和无穷大量,1.2.2 函数的极限,1.2 极限的概念,截丈问题,庄子（前369年前286年，战国）曾写道：“,一尺之棰，日取其半，万世不竭,。”,每天取后木棒所剩的长度：,特点：,1)无穷项等比数列,2)随着项数的增大，数列中项逐渐减少,1,0,x,从右,1.2 极限的概念,1.2.1 数列的极限,1.,引例,减少的趋势如何?,1.2 极限的概念,高等数学,刘徽（魏晋，九章算术方田章圆田术）：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术,1.2.1 数列的极限,1.,引例,1.2 极限的概念,高等数学,1.2.1 数列的极限,1.,引例,1.2 极限的概念,高等数学,1.2.1 数列的极限,1.,引例,1.2 极限的概念,高等数学,1.2.1 数列的极限,1.,引例,1.2 极限的概念,当边数不断增加时,正多边形的周长、面积的变化趋势如何?,高等数学,观察下列数,列的变化趋势,0,1,（来回摆动）,（无限增大）,例,1.2 极限的概念,1.2.1 数列的极限,1.,引例,高等数学,定义12,1.2 极限的概念,1.2.1 数列的极限,2.,定义,注意,高等数学,0,1,12310 100 10000,n,x,n,0.1 0.010.0001,1 0.5,0.33,.,0,例,1,1.2 极限的概念,1.2.1 数列的极限,2.,定义,高等数学,0,2,1,1 2 3 4 5 10 11 100 101,n,x,n,1.1,0 1.5,1.25 0.8,1.01,0.9090,.,.,0.9900,.,.,.,.,.,0.66,1,例,2,1.2 极限的概念,1.2.1 数列的极限,2.,定义,高等数学,0.3，0.33，0.333，0.333,n,个,随,n,增大数 列的项也无限增大，也不趋于任何定数,无极限.,1，1，1，1，(1),n,+1,，,正负交错，,n,无限增大，数列不趋于任何定数，无极限.,1，3，5，,，2,n,1，,例,3,例,4,例,5,例,6,1.2 极限的概念,1.2.1 数列的极限,2.,定义,高等数学,x,1,2,3,4,y,x、y,的变化趋势,x:x,趋向正无穷大（,x+）,y:y,无限接近于常数0(,y0),例,1,1.2 极限的概念,1.2.函数的极限,.,当,时，函数,的极限,高等数学,即对函数,y=(),x,当,x+,时,y0,再看函数,f(x)=(),x,的图象,1.2 极限的概念,1.2.函数的极限,.,当,时，函数,的极限,高等数学,已知函数,f(x)=(x 0)，,试由函数的图象，判断,x,趋向负无穷大时函数,y,的变化趋势。,例,2,1.2 极限的概念,1.2.函数的极限,.,当,时，函数,的极限,高等数学,定义13,1.2 极限的概念,1.2.函数的极限,.,当,时，函数,的极限,高等数学,解,：,因为，,x+和x-,可以写为,x,作 图象,例,3,定理11,1.2 极限的概念,1.2.函数的极限,.,当,时，函数,的极限,高等数学,已知函数y=arctanx,试讨论当,x,时，y=arctanx,是否有极限，为什么？,x+,时，arctan x,x-,时，arctan x,-,例,4,解：,作图,1.2 极限的概念,1.2.函数的极限,.,当,时，函数,的极限,高等数学,已知函数y=sin x,判断当,x,时，y=sin x是否有极限，为什么？,解：,由图可见，,x+,时，y,某一固定常数A,x-,时，y,某一固定常数A,例,5,1.2 极限的概念,1.2.函数的极限,.,当,时，函数,的极限,高等数学,不存在,观察下列极限是否存在，如存在请写出极限：,（1）（2）（3）,（4）（5）,不存在,课堂练习,1.2 极限的概念,1.2.函数的极限,.,当,时，函数,的极限,（6）设 ，则,不存在,高等数学,2,4,(2,4),1.2 极限的概念,1.2.函数的极限,.,当,时，函数,的极限,问题,当 时，函数 的变化趋势。,当 时，函数,值越来越接近4,高等数学,1.2 极限的概念,1.2.函数的极限,定义14,.,当,时，函数,的极限,高等数学,（）定义中“x,x,0,”表示x从小于,x,0,和大于x,0,的两个方向趋近于x,0；,（）定义中考虑的是,x,x,0,时函数f(x)的变化趋势,并不考虑在x,0,处f(x)的情况.,(3)由极限的定义19容易得到以下两个结论：,注意,1.2 极限的概念,1.2.函数的极限,.,当,时，函数,的极限,高等数学,考察下列函数，写出当,x2,时函数的极限并作图验证,（）y=c(c,为常数,),（）y=x,解：,例,1,1.2 极限的概念,1.2.函数的极限,.,当,时，函数,的极限,高等数学,解,（）设f(x)=sinx,作图,例,2,1.2 极限的概念,1.2.函数的极限,.,当,时，函数,的极限,高等数学,（）设f(x)=cosx,作图,1.2 极限的概念,1.2.函数的极限,.,当,时，函数,的极限,高等数学,=0,=8,=0,=1,=6,返回目录,A,B,课堂练习,1.2 极限的概念,1.2.函数的极限,.,当,时，函数,的极限,高等数学,定义15,1.2 极限的概念,1.2.函数的极限,.,当,时，函数,的极限,高等数学,左极限与右极限的关系,定理12,1.2 极限的概念,1.2.函数的极限,.,当,时，函数,的极限,高等数学,2,4,(2,4),1.2 极限的概念,1.2.函数的极限,.,当,时，函数,的极限,高等数学,解：,-1,-2,1,1,2,2,讨论函数,当 时的极限,例,4,1.2 极限的概念,1.2.函数的极限,.,当,时，函数,的极限,高等数学,解：,讨论函数,当 时的极限是否存在,例,5,1.2 极限的概念,1.2.函数的极限,.,当,时，函数,的极限,高等数学,求下列函数当,时的左、右极限，,并指出当 时极限是否存在,A,B,当,x,0 时的极限为0,当,x,0 时的极限不存在,课堂练习,1.2 极限的概念,1.2.函数的极限,.,当,时，函数,的极限,高等数学,1.2 极限的概念,1.2.函数的极限,.,当,时，函数,的极限,高等数学,定义16,1.2 极限的概念,1.2.无穷小量和无穷大量,.,无穷小量,在课堂练习的A与C中，变量在其变化过程中均有极限，但A的极限为0，而C的极限不为0；为了今后学习方便，我们将以0为极限的这一类变量给以以下定义：,在某一变化过程中以零为极限的变量为,无穷小,。一般用 表示。,如当 时，,sin x,是无穷小；当 时，是无穷小,高等数学,（,1,）无穷小是以零为极限的变量，常数中只有零是无穷小,注意,1.2 极限的概念,1.2.无穷小量和无穷大量,.,无穷小量,高等数学,在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下的性质：,性质1,：有限个无穷小的代数和为无穷小,性质2,：有界函数与无穷小的乘积为无穷小,性质3,：有限个无穷小的乘积为无穷小,1.2.无穷小量和无穷大量,.,无穷小量,1.2 极限的概念,解:,因为 时，x为无穷小,为有界函数,由性质2,得到,例,2,高等数学,利用无穷小的性质,求下列函数的极限,=0,=0,=0,=0,=0,A,B,课堂练习,1.2 极限的概念,1.2.无穷小量和无穷大量,.,无穷小量,高等数学,定义17,1.2 极限的概念,1.2.无穷小量和无穷大量,.,无穷大量,同样，如当 时，函数 与 极限均不存在，但前者的发展趋势是绝对值越来越大。我们把前者这一类情况的变量给以下定义：,在某一变化过程中，绝对值越来越大的变量为,无穷大,。一般用 表示。为方便起见，我们也称“函数的极限是无穷大”，并记为,高等数学,（,1,）,无穷大是个变量，不是常数,（,2,）,无穷大总和自变量的变化趋势相关联,注意,1.2 极限的概念,1.2.无穷小量和无穷大量,.,无穷大量,高等数学,例如：,定理13,1.2 极限的概念,1.2.无穷小量和无穷大量,.,无穷小量和无穷大量的关系,高等数学,指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小,解:,因为 时，所以 时，是无穷小,因为 时，所以 时，是无穷大,解:,解:,因为 时，所以 时，是无穷小,因为 时，所以 时，是无穷大,因为 时，所以 时，是正无穷大,例,1,1.2 极限的概念,1.2.无穷小量和无穷大量,.,无穷小量和无穷大量的关系,高等数学,指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小,B,时，是无穷小,时，是无穷大,时，是无穷小,时，是无穷大,时，是无穷小,时，是正无穷大,课堂练习,1.2 极限的概念,1.2.无穷小量和无穷大量,.,无穷小量和无穷大量的关系,高等数学,小结,1.2 极限的概念,数列极限与函数极限的概念,左右极限定理,无穷小量与无穷大量的概念及性质,高等数学,作业,1.2 极限的概念,习题,12 13 14 15 16,高等数学,