第2章量子物理基础.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,大学物理,量子物理,QUANTUM PHYSICS,量子,力学的建立,经典物理,（,-1900,年）,德布洛意物质波,海森伯矩阵力学,薛定格,波动力学,狄拉克量子力学,量子力学,（,1923-1927,年）,普朗克能量量子化,爱因斯坦光量子论,玻尔,量子论,旧量子论,（,1900-1913,年）,量子力学的问题和应用,birthday of quantum mechanics,Max Planck(1858-1947),Nobel Prize 1918,14 December 1900,Planck(age 42),suggests that,radiation is,quantized,E=h,n,h=6.626x10,-34,Js,1897,Thompson(age 41),Nobel Prize 1906,measures the,electron,plum pudding model,1905,Einstein(age 26),proposes the,photon,1911,Rutherford(age 40),infers the,nucleus,Status of physics,Albert Einstein(1879-1955),Nobel Prize 1921,1913,Bohr,(age 28),constructs a theory of atom,1921,Bohr Institute opened,in,Copenhagen,(Denmark),It became a leading center,for quantum physics,(Pauli,Heisenberg,Dirac,),Niels,Bohr(1885-1962),Nobel Prize 1922,old quantum theory,旧量子论,1926,Erwin Schrdinger in Austria,Carl Eckert(age 24)in America,Proved:,wave mechanics=matrix mechanics,(Schrdinger and Heisenberg theories equivalent mathematically),Schrdingers wave mechanics eventually became the,method of choice,because it is less abstract and easier,to understand than Heisenbergs matrix mechanics,Neumann(mathematician)invented operator theory,Largely because of his work(publish his book in 1932),quantum physics and operator theory can be viewed as,two aspects of the same subject.,wave mechanics=matrix mechanics,Paul Dirac(1902-1984),Nobel Prize 1933,1925,Pauli(age 25),Pauli exclusion principle,Wolfgang Pauli(1900-1958),Nobel Prize 1945,1928,Dirac(age 26),Dirac equation,(quantum+relativity),1927 Solvay Conference,Held in Belgium,the conference was attended by the worlds most notable physicists,to discuss the newly formulated quantum theory.,量子力学,A number of scientists,including Schrdinger,de Broglie,and most prominently Einstein,remained unhappy with the,standard probabilistic interpretation of quantum mechanics.,任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人,都没有真正理解量子力学,Anyone who has not been shocked by,quantum physics has not understood it.,-Niels Bohr,It was applied to,atoms,molecules,and,solids,.,It solved with ease the problem of helium,It was used to explain,chemical bonding,It resolved various questions:structure of stars,nature of superconductors,:,Even today it is being applied to new problems.,applications of quantum mechanics,Quantum mechanics has been tremendously successful!,12.1,普朗克能量子假设,12.2,光的粒子性,12.3,氢原子光谱,12.4,粒子的波动性与波函数,12.5,不确定关系,12.6,薛定谔方程,12.7,一维势场中的粒子,12.8,原子中的电子,12.9,激光,第,12,章 量子物理基础,总 结,12.1,普朗克能量子假设,一、黑体辐射,1.,几个基本概念,热辐射：,物体能向外发射电磁辐射，且其能量按频率的分布随温度的不同而不同。物体在温度不变时发射和吸收电磁波能量相等，为,平衡热辐射。,光谱辐射出射度,M,：,单位时间内从物体单位表面积发出的频率,在,附近单位频率区间的电磁波能量（,W/(m,2,Hz,),）。,光谱吸收比,(),：,物体表面吸收的频率在,到,+d,区间的辐射 能量占全部入射在该区间的辐射能量的份额。,各种材料的的,M,和,(),有很大区别，但其在同一温度下的比值（,M,/,(),）却与材料的种类无关，是一个确定值。这说明辐射能力越强的物体，其吸收能力也越强。,黑体：,能吸收照到它上面的各种频率的光的物体。对于黑体，,(),=1,。它的光谱辐射出射 度也最大的，且只与频率和温度有关。,0 1 2 3,5 4 3 2 1,M,(10,-9,W/m,2,Hz),实验曲线,辐射出射度 曲线,(10,14,Hz),由经典理论导出的维恩公式和瑞利,-,金斯公式均不能完全解释黑体辐射的实验结果。,维恩公式,瑞利,-,金斯公式,2.,黑体辐射的规律,维恩公式：,由经典热力学和麦克斯韦分布律推出，低频范围内偏差较大。,瑞利,-,金斯公式：,由经典电磁学和能量均分定理推出，,“紫外灾难”,实验结果的理论解释：,普朗克黑体辐射公式：,普朗克公式,二、普朗克量子化假设，能量子,普朗克常数：,普朗克黑体辐射公式：,对频率为,的谐振子，最小能量,叫,能量子,。,普朗克能量量子化假设：,辐射物体中具有带电的谐振子（原子、分子的振动）它们和经典物理中所说的不同，这些谐振子和周围的电磁场交换能量，只能处于某些特殊的状态，相应的能量是某一最小能量的整数倍，即振子的能量是不连续的，即,量 子 论 的 诞 生,斯特藩,-,玻尔兹曼定律：,维恩位移律：,量子物理基础,一、光电效应：,光照到金属表面时，电子从金属表面逸出的现象。,1.,光电效应的实验规律,光电流与入射光强度的关系,饱和光电流,i,m,和入射光强度,I,成正比。,-U,c,U,I,1,I,2,0,I,2,I,1,光电子初动能和入射光频率之间的关系,截止电压,:,V,G,GD,K,A,光电管,阴极,石英窗,阳极,U,0,：与材料有关的常量,：与材料无关的普通恒量,光电子逸出最大初动能随入射光的频率增大而线性增大，与入射光强度无关。,0.0,1.0,2.0,4.0,6.0,8.0,10.0,Cs,Na,Ca,12.2,光的粒子性,光电效应的红限频率,当光照射某金属时，无论光强度如何，如果入射光频率小于该金属的红限频率 ，就不会产生光电效应。,光电效应和时间的关系,只要入射光的频率大于被照金属的红限频率，不管光的强度如何，都会立即产生光电子，时间不超过,10,-9,s,。,2.,经典的困惑,光波的强度与频率无关，电子吸收的能量也与频率无关，,更不存在截止频率！,光波的能量分布在波面上，阴极电子积累能量克服逸出功,需要一段时间，光电效应不可能瞬时发生！,爱因斯坦光子理论,光子理论对光电效应的解释：,光照射金属表面，一个光子能量可立即被金属中的自由电子吸收。当入射光的频率足够高，每个光量子的能量,h,足够大时，电子才可能克服逸出功,A,逸出金属表面。,二、爱因斯坦光子假设和光电效应方程,爱因斯坦假定：光不仅在发射和吸收时具有粒子性，在空,间传播时也具有粒子性，即一束光是一粒一粒以光速,c,运,动的粒子流，这些粒子称为光量子，简称光子。每一光子,的能量是：,红限频率,:,普朗克常数：,爱因斯坦光电效应方程：,A,：逸出功,例,1,：求,(1),l,=700 nm,的红光；,(2),l,=0.071,nm,的,X,射线；,(3),l,=1.24,10,3,nm,的,g,射线等的光子的能量、动量和质量,波长,(nm),光子能量,(eV),光子动量,(kg.m.s,1,),光子质量,(Kg),红光,1.78,9.47,10,28,3.16,10,36,X,射线,1.75,10,4,9.34,10,24,3.11,10,32,射线,1.00,10,6,5.35,10,22,1.78,10,30,解,:,例,2,：钾的红限波长 ，求钾的逸出功。,在波长 的紫外光照射下，钾的截止,电势差为多少,?,解：,1),2),康普顿（,1923,）研究,X,射线在石墨上的散射，在散射的,X,射线中，除有波长与入射射线相同的成分（,瑞利散射,）外，还有波长较长的成分（,康普顿散射,）。波长的偏移只与散射角,有关。,电子,Compton,波长,三、,康普顿散射,按经典理论,X,射线散射向周围辐射同频率的电磁波，而康普顿散射中波长较长的成分经典物理无法解释。,X,射线,0,探测器,石墨,0,1.,实验规律,2.,经典的困惑,模型：,“,X,射线光子与静止的自由 电子的弹性碰撞”,，与能量,很大的入射,X,光子相比，石墨原子中结合较弱的电子近似为,“静止”的“自由”电子。,3.,康普顿散射验证光的量子性,由光的波粒二象性，光子的能量和动量为：,弹性碰撞过程中能量与动量守恒：,e,首次实验证实爱因斯坦提出的“光量子具有动量”的假设。,支持了“光量子”概念，证实了普朗克假设,=h,。,微观单个碰撞事件中，动量和能量守恒定律仍然成立。,入射光子与电子碰撞，将一部分能量传给电子，自,身能量减少，频率降低，波长增大。,只与,相关，,与散射物质及,0,无关。,l,=,l,0,成份,是光子和束缚很强的电子即整个原子相,互作用的结果,当入射光的波长与康普顿波长相比拟时，康普顿效,应才显著,若,l,0,=4000,j,=,p,D,l,=0.048,D,l,/,l,0,=10,-,5,若,l,0,=0.5,j,=,p,D,l,=0.048,D,l,/,l,0,=10,%,根据光子理论，一个光子的能量为：,根据相对论的质能关系：,光子的质量：,光子的静止质量：,光子的动量：,四 光的波粒二象性,光既具有波动性，也具有粒子性。,二者通过普朗克常数相联系。,光的波动性：用光波的波长和频率描述。,光的粒子性：用光子质量、能量和动量描述；,例,3:,一束射线光子的波长为,6,10,-3,nm,与一个电子发生正碰,其散射角为,180,0,。试求：（,1,）射线光子波长的变化？（,2,）被碰电子的反冲动能是多少？,（,2,）入射光子的能量为,解（,1,）由康普顿散射公式，得：,散射光子的能量为,根据能量守恒，电子获得的动能,解,:,频率为,的光子具有质量,取塔底的重力势能为零，则光子在重力场中的能量守恒关系为,例,4:1959,年，庞德（,R.V.Pound,）和瑞布卡（,Q.A.Rebka,）在哈佛塔做了一个著名的“,引力紫移,”实验。他们把发射,14.4 keV,的 光子的放射源 放在塔顶，在塔底测量它射来的 光子的频率 ，发现比在塔顶的频率 高了。已知塔高,H=22.6m,，利用光子在重力场中的能量守恒关系计算 。,解得,:,实验结果,:,量子物理基础,氢原子可以发生能级间,跃迁,，同时发射或吸收光子，光子的频率符合玻尔,频率条件：,氢原子发出不同频率的光形成不同谱线，组成,谱线系,。,一、氢原子光谱的规律性,里德伯常数：,巴尔末公式：,波数：单位长度包含的完整波的数目,12.3,氢原子光谱,n,1,2,3,E,n,/eV,-,13.6,-,3.39,-,1.51,-,0.85,0,莱曼系,（紫外）,巴耳末系（可见）,帕邢系,（红外）,基 态,第一激发态,第二激发态,连续能级,氢原子光谱,氢原子光谱：,位置稳定的,分立的线状光谱,经典物理,困难,：,根据经典电动力学，电子环绕核的运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射能量，电子轨道半径越来越小，直到掉到原子核上,必然产生连续光谱。,定态假设：,原子系统只能取一系列不连续的稳定态，相应的能量取不连续的值，,二、玻尔量子假设解释氢原子线状光谱,频率规则,:,原子从一个稳定态跃迁到另一个稳定态,同时发射,(,或吸收,),单色光。,n,1,2,3,E,n,/eV,-,13.6,-,3.39,-,1.51,-,0.85,0,莱曼系,巴耳末系,帕邢系,角动量量子化：,电子以速度,v,在半径为,r,的圆周上绕核运动时，只有电子的角动量,L,等于,的整数倍的那些轨道才是稳定的，即,式中,n,只能取一系列正整数。此式表示氢原子的能量只能取离散的值，这就是能量的量子化。上式也可写成,式中,叫玻尔半径，即玻尔原子理论中第一圆轨道的半径。,从这些基本假设出发,玻尔推导出氢原子的能量公式为,量子物理基础,一、德布罗意波,实物粒子具有波动性，与粒子相联系的波称为,德布罗意波,。,1924,年，法国青年物理学家德布罗意,(,de Broglie,),提出，既然光具有粒子性，是否实物粒子如电子也应当具有波动性？,12.4,粒子的波动性与波函数,实物粒子,德布罗意波,1.,戴维孙革末实验,(1927,年）,二、德布罗意波的实验验证,散射电子束具有波动性，像,X,射线一样，电子束极大的方向满足布喇格方程,根据德布罗意公式,代入布喇格公式,证明电子像射线一样具有波动性，及德布罗意公式的正确性。,2.,同年，英国的,G.P.,汤姆逊用多晶体做电子衍射实验,也得到了电子衍射照片。,十年后，戴维逊、汤姆逊因电子衍射实验的成果共获,1937,年度诺贝尔物理奖。,3.1961,年，约恩逊进行了电子的单缝、双缝和多缝衍射实验，得出了衍射条纹的照片。,4.,随后，用衍射实验证实了中子、质子、原子和分子等微观都具有波动性，德布罗意公式对这些粒子同样正确性。,单缝 双缝 三缝 四缝,例,1,：,m=0.01 kg,，,v,=300 m/s,的子弹，,求,。,讨论,：,h,极其微小,，,宏观物体的波长小得实验难以测量,“,宏观物体只表现出粒子性,”,例,2:,计算被电场加速运动电子的,德布罗意,波长。,设：加速电压为,电子静止质量,m,e,=9.1 10,-31,kg,当,Vc,时,，,当,光子流,S,光通过单缝形成明暗相间的衍射条纹,波动说：,光通过狭缝后衍射和干涉的总效果，条纹明暗不同，表示光强不同。,光子说：,每个光子具有一定的能量，光强的大小表示光子数目的多少。光强分布的曲线可以看成光子堆积曲线。,三、波函数的统计解释,粒子发射波？波载着粒子？,德布罗意：波包,粒子：,质量、能量和动量，,局域性（确定时空坐标）,波：,频率、波长，,弥散性（波振面）,波粒二象性,1.,对波粒二象性的理解,电子双缝干射实验,分别打开两个缝,期待中：,两个单缝衍射花样的简单叠加。,实际中：,类似双缝干涉的花样。,同时打开两个缝,电子通过缝时显示了其波性；在屏幕上成像显示粒子性。,微观粒子的,物质波,既,不是经典的波,，也,不是经典的粒子,。,入射强电子流,:,底片上很快出现干涉图样。,干涉不是电子间相互干涉，而是一种自身干涉，一个电子通过其中一缝时似乎知道另外一缝的开关状态，并据此调节它在屏上的落点。,单电子通过双缝：,开始是无规律分布的亮点（,电子到达的位置），随着入射电子数的增加,，,亮点的分布逐渐呈现出规律性,，,最后形成双缝干涉的明暗条纹,。,2.,玻恩的,概率波,解释,明纹就是到达那里的电子多，暗纹就是到达那里的电子少，或者说，电子到达明纹处的概率大，到达暗纹处的概率小。,玻恩,(Born),的假设：,物质波描述了粒子在各处被发现的概率，既,德布罗意波,是,概率波,。,波函数 ：,描述粒子在空间概率分布，叫,“,概率幅,”,。,它无 直接的物理意义，有意义的是波函数模的平方：,代表,t,时刻、点处单位体积元中发现一个粒子的概率，称为,概率密度,。,1,开,:,概率,1,、,2,开,:,2,开,:,概率,概率,双缝干涉的干涉项,单缝衍射的迭加,经典粒子,微观粒子,玻恩统计解释的关键,不在于用概率描述粒子到达屏上的不同位置,也不在于用波动来描述干涉条纹的强弱,它的,前所未有的崭新概念,在于用,概率幅把微观粒子的粒子性和波动性,联系起来,。,经典粒子和微观粒子运动规律描述的区别,位置，速度,轨迹,波函数,(,概率幅,),概率,状态不可叠加，概率可叠加,状态可叠加，概率不可叠加,逻辑：不,就,要不,要不,逻辑：既,又,既不,又不,.,决定论,概率论,微观粒子运动,按,概率,定律行事,本质上,是自然界的最终实质。,薛定谔的猫,量子物理基础,一、不确定关系,12.5,不确定关系,(Uncertainty principle),经典力学：,任意时刻质点在轨道上有确定的位置和速度，表示为,:,量子力学,：,粒子的空间位置用概率波描述，任一时刻粒子不能同时具有确定的位置和动量。在某一方向，粒子位置的不确定量和该方向上动量的不确定量有一个简单的关系，被称为,不确定关系,。,单缝处电子,位置不确定程度,二、不确定关系的实验研究,I,U,（忽略次级极大，认为电子都落在中央亮纹内）,单缝处电子动量不确定程度,x,方向上动量不确定量为：,考虑衍射条纹的次级极大：,海森伯（,W.Heisenberg,）,1927,年由量子力学给出更严格的结论，位置和动量的不确定关系：,三、能量与时间的不确定性关系,粒子可能发生的位移,能级自然宽度和寿命,超出测量限度，可认为位置、动量可同时确定。,不确定关系对宏观物体不显现作用。如,m,=1,g,的物,体，不超过,10,-6,m,（这是可以做到的），,不确定关系说明：微观粒子在某个方向上的坐标,和动量不能同时准确地确定，其中一个不确定量,越小，另一个不确定量越大，若 为零，则,无穷大。,不确定关系是微观粒子波粒二象性的必然结果,例,1,：原子（线度,10,-10,m,）中电子运动不存在,“,轨道,”,。,得速度的不确定度,V,与,V,同数量级,经典轨道概念不再适用,!,取而代之是,“,电子云,”,分布。,四、用不确定性关系作数量级估算,10,6,(,m,/,s,),设电子动能,E,=10,eV,，,平均速度,解：,+,M,r,n,m,V,由测不准关系,例,2,：设子弹的质量,m=,0.01kg,枪口的直径为,0.5 cm,试用不确定关系计算子弹射出枪口时的横向速度不确定量。,x,=0.5 cm,解：,=1.110,-,30,m/s,经典粒子,子弹飞行速度 10,2,m/s,例,3,：电视显像管中电子的加速电压为,9 kV,，电子枪枪,口的直径为,0.1 mm,，求电子射出枪口后的横向速度。,解：,x,=0.1 mm=110,-4,m,m,=9.11 10,-,31,kg,=1.2 m/s,图象清晰！,=6,10,7,m/s,例,4,：一光子沿,x,方向传播，波长为,5000,。,已知此,波长的不确定度为,=510,-,7,，求该光子,x,方,向坐标的不确定度。,x,方向是波列的传播方向，代表沿传播方向波列的延伸范围，可粗略地看作这一,波列的长度（相干长度）。,单色性越好，位置的准确性越差，动量的准确性越好,x,2,x,2,x,1,x,1,解：,=510,2,m,例,5,：原子处于某激发态的时间为,该激发态能级宽度为多少,?,解,:,量子物理基础,一、自由粒子波函数,12.6 薛定谔方程,(Wave equation of Schrdinger),由于波函数,的概率解释，,可以相差一个任意常数因子,A,，即,和,A,代表相同的状态。,这一点与经典力学有本质区别。,微观粒子具有波粒二象性,它的状态用波函数 描述。,t,时刻在空间,(,x,y,z,),点附近的体积元,dV,内发现粒子的概率正比于,|,(,x,y,z,t,)|,2,dV,，,|,(,x,y,z,t,)|,2,为概率密度。,由于波函数 的概率解释,粒子在整个空间出现的概率为,1,，所以,应满足,波函数归一化条件：,t,时刻粒子出现在,V,体积内的,概率。,2,dV,2,t,时刻粒子在,(,x,y,z,),点处单位体积内出现的,概率。,t,时刻粒子在,(,x,y,z,),点附近,dV,体积元内出现的,概率。,波函数,波函数的标准条件,由于微观粒子在空间出现的,概率必须单值、连续、,有限的,，,所以要求,波函数,单值、连续、有,限的,，这称为,波函数的标准条件,。,不满足这些条件的函数没有物理意义，不代表物理实在。,设归一化因子为,A,，则归一化的波函数为,例：将波函数 归一化。,归一化的波函数,为,:,一维自由粒子波函数,经典波的波函数：,波粒二象性,概率波的波函数：,A,为归一化因子,二、一维自由粒子薛定谔方程,对,x,求二阶偏导,对,t,求一阶偏导,薛定谔方程：,物理量的,算符化,：能量算符、动量算符和坐标算符,在,经典力学,中，物体的运动满足牛顿定律，它给出了物体运动状态随时间的变化规律。,三、薛定谔方程和哈密顿量,在,量子力学,中，微观粒子的运动规律用,薛定谔方程,描述。薛定谔方程是量子力学的基本方程，在量子力学中的地位就相当于经典力学中牛顿方程的地位。,一维自由粒子的薛定谔方程,势场中一维粒子的薛定谔方程,总能量,(,哈密顿量,),哈密顿算符,定态薛定谔方程,定态薛定谔方程,一维，恒定势场 ，,分离变量,与哈密顿算符相应的,本征函数,n,和,本征值,E,n,总波函数：,为,定态波函数,，其概率分布不随时间变化。,含时,薛定谔方程,概率分布,定态薛定谔方程,叠加原理：,薛定谔方程是线性微分方程，如果,1,2,3,n,是体系的可能状态,(,解,),，那其线性叠加态也是体系,的一个可能状态。也就是说任意状态可以分解成本,征态的线性叠加。,量子力学中，,力学量,用,算符,表示，比如,能量算符,(,哈密顿算符,),本征方程,当粒子处在,n,态时，则实验测量该粒子有确定的能量,E,n,。,n,称为能量算符 的,本征态,，,E,n,为与其对应的,本征值,。,利用,定态薛定谔方程,，加上,波函数标准条件,，可解出：,本征波函数,n,：,表示微观粒子的一组,定态,。,本征值,E,n,：,粒子处于相应定态具有的能量。,量子化结果,解：本征方程,例,1,：求动量的,x,分量 的本征函数。,P,x,是动量本征值,C,为积分常数,若粒子位置不受限制，则,P,x,可以取任何实数值,是连续变化的。,本征方程为,例,2,：求一维自由粒子的能量本征态。,可以取不为负的一切实数值。,解：对于一维自由粒子,相应的能量,量子物理基础,一、一维无限深方势阱中的粒子,粒子处于,束缚态,：在阱内势能为零，粒子不受力的 作用；在边界处，势能突然增加到无限大，粒子受 到无限大的斥力。粒子被限制在,0,x,a,的范围内，不可能到此范围外。,0,a,x,粒子在力场中的势能函数为：,12.7,一维势场中的粒子,(Particle in infinite square-well otential),1.,无限深一维方势阱,2.,求解定态薛定谔方程,由于势函数不随时间变化，所以属定态解。,(0,x,连续,可见,a,越大 越小，当,a,大到宏观尺度时，能量可看作连续变化，这和经典理论相对应。,相邻两个能级之差：,粒子在各处出现的,概率密度,：,在势阱内概率密度随,x,改变，且与,n,有关。但是按经典理论，粒子在各点出现的概率应该是相同的。,0,a,n,=1,n,=2,n,=3,E,1,E,2,E,3,x,每一个能量本征态对应于德布罗意波,的一个特定波长的,驻波,把坐标原点移至势阱中点，则把上面结果中的,x,改为,x,-,a,/2,，,就得到新坐标系下的波函数：,n,=1,3,5,时的波函数是偶函数,这些状态叫做,偶宇称态,，,n,=2,4,6,时的波函数是奇函数，这些态叫做,奇宇称态,。,例,：一粒子在一维无限深方势阱中运动而处于基态。,从阱宽的一端到离此端点,1/4,阱宽的距离内它,出现的概率多大？,解：,基态,波函数为,:,n,=1,粒子,从阱宽的一端到离此端点,阱宽的距离内它出现的概率为,1.,半无限深方势阱,定态薛定谔方程：,二、,势垒穿透,(Barrier penetration),E,-a/2,a/2,x,U,0,0,E,势能函数：,单值有限连续,求解,E,1,E,3,E,2,E,n,n,|,n,|,2,薛定谔方程给出的解,(,x,),，在其势能,U,0,大于总能量,E,的区域,内虽然指数衰减，但仍有一定的值，,微观粒子能进入此区域，,是因为其动能的不确定度大于观察不到的负动能值。,隧道效应：,能量低于势垒高度的粒子不仅有可能进入势垒内部，还有一定概率穿过势垒。,a,越小,U,0,越小,穿透率越高。,对有限厚度的势垒,U,O,a,x,U,0,(,x,),E,势能函数,定态薛定谔方程：,2.,隧道效应,隧道效应已被实验完全证实：,粒子从放射性核中放出；黑洞的量子蒸发；热核反应。隧道效应的重要应用是,扫描隧道显微镜。,硅表面,（,7,7,重构）,隧道电流,I,与样品和针尖间距离,S,的关系,1994,年中国科学家,“,写,”,出的原子字。,原子操纵,移动,48,个,F,e,原子,组,成,“,量子围栏,”,，围栏中的电子形成驻波。,势函数,m,：,振子质量，,：,固有频率，,x,：,位移,定态薛定谔方程,三、谐振子,(Harmonic oscillator),哈密顿量：,定态薛定谔方程：,这是一个变系数常微分方程，求解复杂。,为使波函数满足单值、有界、连续的条件，谐振子能量必须是量子化的。求得能级为（,n,为量子数）,O,x,n,=0,n,=3,n,=2,n,=1,|,0,|,2,|,3,|,2,|,2,|,2,|,1,|,2,普朗克假设的谐振子能量,量子化是解薛定谔方程的,自然结果。,能级是等间隔的，,基态能量为,称为,零点能,。,谐振子最低能量不等于零，即永远不能静止不动。与经典力学截然不同，是波粒二向性的表现，可用不确定关系说明。,与经典谐振子不同，量子的基态位置概率分布在,x,=0,处概率,最大，而经典的，其在,x,=0,处概率最小。,当 能量量子化,将对应经典的,能量取连续值。,例、弹簧振子质量,m,=1g,弹性系数,k,=0.1N/m,振幅,A,=1mm,求能级间隔，估算这能量所对应的量子数,n,。,解：弹簧振子的角频率,能级间隔,振子总能量,可见,宏观谐振子是处于非常高的能级。相邻能级间隔小得完全可以忽略，因此它的能量是连续变化的。,得量子数,由,量子力学的基本假设：,态叠加原理：,1,2,为粒子的两个可能状态，那么,A,1,B,2,也是粒子的一个可能状态，,这种态叠加必然导致在观测结果的,不确定性,。,一切微观粒子的状态可用,波函数,来,完全描述,。,微观粒子,状态满足薛定谔方程,：解释几乎是所有的原子现象。,各种,力学量由相应的算符来表示,。,任意波函数 下粒子某一力学量的测量值是否确定？是什么？,不同力学量的,本征波函数间是什么的关系,？,力学量为什么表示成算符？,任意波函数 与,本征波函数间是什么的关系,？,量子物理基础,经典力学量,量子力学量,本征方程,本征值,本征函数组,任意力学量都表示成,算符,，其,本征值,为此力学量的一个可能,观测,值,，与其对应的本征函数为粒子的一个,特殊状态,（本征态）。,不同力学量的本征态可以不相同，,具有不同本征函数的力学量不,能同时测量,，具有相同本征函数的力学量可以同时测量。,一个,力学量完全集,对应的,完备本征函数组,就构成,体系态空间（希,耳伯空间）,的一组,完备基矢,，任意状态可以在这些基矢上投影的,线性叠加。,可以有,多个力学量完全集,，与其,对应不同的完备本征函数组,，每,组都是体系态空间（希耳伯空间）的完备基矢，可以在不同基矢,组中分解任意状态，,基矢组间的变化相当于坐标系间的变化,。,任意状态,可以看成是某一,完备的本征函数组,中各本征函数的权重叠加,态的叠加原理,动量取,p,n,的概率,能量取,E,n,的概率,(r),完全描述微观状态,经典力学量,量子力学量,本征方程,本征值,本征函数组,微观粒子在状态,(r),下，力学量的,观测结果具有不确定性。,量子力学中,力学量之所以表示成算符,，是因为,微观粒子的状态用,波函数来描述,，状态本身不是力学量，在确定状态下，力学量一,般并不具有唯一确定的值，只具有确定的统计平均值。,量子力学问题：,求解,Hilbert,空间（态空间）,中与一组,完备力学量,相应的,本征函数组（态空间的基矢，正交归一）,，而用含时,薛定谔方程解出的,任意波函数可以展开成这些本征函数的线性叠加。,态的叠加原理：,力学量 平均值：,对微观粒子某一力学量的实验观测所得的取值及其平均值，可与理论计算相比较，以验证理论的正确性。,任意状态,(r),（,坐标表象,）给出了粒子在,r,处的几率密度,r,的平均值：,(r),做傅立叶展开,任意波函数,(,r,),可以看成一个波包，由无数单色平面波组成，,(,p,),为单色平面波（波长为,h,/,p,）的波幅。,任意波函数,(,r,),也可以看成是对应于无数动量本征值,p,的动量,本征态 的线性叠加，,(,p,),为,波函数,(,r,),在动量为,p,的本征态上的分量。,(,p,),为,动量表象下的波函数,，其平方给出动量为,p,的单位动量,区间内的概率,。,p,的平均值：,在坐标表象下，动量表示成算符 ，就,可直接根据坐标表,象下的波函数来计算平均值,，其它力学量可作相应变化 。,12.8,原子中的电子,一、,轨道角动量,在经典力学中，角动量定义为,在量子力学中，相应的量子力学算符借助置换得到,按照矢量积的运算法则，,角动量各分量的算符,写为,定义,角动量的平方算符,在球坐标系中，轨道角动量算符,y,r,x,z,0,算符,和,有共同本征波函数：,的本征方程,本征值：,本征函数：,的本征方程,本征值：,其中,l,称为,角量子数,，,称为,轨道磁量子数,。,和,的共同本征函数是,球谐函数,，即,下表中给出,l,=0,1,2,的球谐函数：,1.,氢原子的薛定谔方程,在氢原子中，电子在原子核的库仑场中运动，势能函数为：,U,(,r,),不随时间变化，属定态问题，定态薛定谔方程为：,U,是,r,的函数，用球坐标 代替,(,x,y,z,),。,取核所在点为原点：,则球坐标中的定态薛定谔方程为,分离变量法,求解，,二、,氢原子,2.,重要结论,能量量子化：氢原子能量取离散值,为玻尔半径,n,为主量子数。,n,=1,的量子态叫,基态,：,n,=2,3,4,的状态称为,激发态,：,n,时，,E,n,0,，此时电子已脱离原子核的束缚。因此,13.6 eV,就是氢原子的,电离能,，外界提供这能量就能使氢原子电离。,氢原子可以发生能级间,跃迁,，同时发射或吸收光子，光子的频率符合玻尔,频率条件：,氢原子发出不同频率的光形成不同谱线，组成,谱线系,。,氢原子光谱,里德伯常数：,巴尔末公式：,波数：单位长度包含的完整波的数目,n,1,2,3,E,n,/eV,-,13.6,-,3.39,-,1.51,-,0.85,0,莱曼系,（紫外）,巴耳末系（可见）,帕邢系,（红外）,基 态,第一激发态,第二激发态,连续能级,氢原子光谱,例,1,：处于第一激发态,(,n,=2),的氢原子，如用可见光照,射，能否使之电离？,解：使第一激发态氢原子电离,可见光最大能量：,故不能使之电离。,例,2,：用能量为,12.5,电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发氢原子向低能级跃迁时，会出现哪些波长的谱线？,-13.6eV,-3.39eV,-1.51eV,-0.85eV,解,:,可把基态氢原子激发到,E,3,能级。,由第二激发态,(n=3),向低能级跃迁有三种可能,:,共三条谱线，一条属于巴耳末系，两条属于莱曼系。,E,解,:(,1),(2),巴尔末系，,m,=2,例,3.,氢原子光谱的巴尔末系中，有一谱线的波长为 。,求：,(1),与该谱线相应的光子的能量；,(2),此谱线是氢原子由能级,E,n,跃迁到,E,m,产生，,n,和,m,各为多少；,(3),处于最高能级,E,5,的大量氢原子，最多可以发射几个谱线系，共几条谱线，在能级图上表示出来，说明波长最短的是哪一条谱线。,可发射四个谱线系，共十条谱线。,波长最短的是莱曼系中,n,=5,跃迁,到,n,=1,的谱线。,莱曼系,巴尔末系,帕邢系,布喇开系,该初始状态的主量子数为即,例,4.,当氢原子从某初始状态跃迁到激发能（从基态到激发态所需的能量）为,E,=10.19,eV,的状态时，发射出光子的波长是,=4860,A,o,，试求该初始状态的能量和主量子数。,（普朗克常量,h,=6.6310,-34,J,s,l,eV,=1.6010,-19,J,）,En,E,k,E1,解：所发射的光子能量为,=hc/=,2.56,e,V,氢原子在激发能为,10.19 eV,的能级时，其能量,E,k,为,E,k,=E,1,+E=,-3.41,e,V,氢原子在初始状态的能量,E,n,为,E,n,=+E,k,=,-0.85,e,V,哈密顿量 ，与角动量 和 具有,共同的本征函数,，且构成,力学量完全集,，这是中心场中粒子,运动的主要特点。,对应能量量子数,n,有,n,个状态，其中的状态,nl,是,2,l,+1,重简并,的，因为中心球对称性只有在外磁场中才被破,坏，角动量沿磁场方向投影,l,z,可有,2,l,+1,种可能取值。,O,L,L,z,L,x,L,y,x,y,z,角动量量子化,电子在原子核周围运动的角动量是量子化的，用,L,表示角动量的大小，则对于给定的主量子数,n,，,l,：,轨道角动量量子数,（角量子数）,角动量空间取向量子化,m,l,：磁量子数,如有外磁场存在，设其方向为,z,轴方向，则轨道角动量 在此方向的分量,L,z,也不能连续取值，而只能取一系列离散值，,叫,空间取向量子化,。,x,y,z,，,0,l,=2,量子数组,(,n l m,),的每一种合理的组合就代表一种可能的电子,状态，组合不同，代表电子状态也不同。,对应于主量子数,n,的每一状态构成一个,壳层,，,n,=1,2,3,4,等的壳层分别依次命名为,K,L,M,N,等壳层；对应于角量子,数,l,的每一状态构成一个,次壳层,，,l,=0,1,2,3,4,等的次壳层,分别依次命名为,s,p,d,f,g,等次壳层。,对于确定的,n,，