北京交通大学信号与系统习题打印.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第二章,例,计算下列各式,解,:,例,已知,x,(,t,),的波形如图所示，试画出,x,(6,-,2,t,),的波形。,解：,0,a,1,，压缩,1/,a,倍,-,：右移,b,/,a,单位,+,：左移,b,/,a,单位,先,翻转,再,展缩,后,平移,例,画出下列信号及其一阶导数的波形，其中,T,为常数，,w,0,=,2,p,/,T,。,解：,(,1,),(,2,),(,1,),例,画出下列信号及其一阶导数的波形，其中,T,为常数，,w,0,=,2,p,/,T,。,解：,(,1,),(,2,),(,2,),例,判断下列离散序列是否为周期信号,.,1,),x,1,k,=cos(,k,p,/6),2,),x,2,k,=cos(,k,/6),3,),对,x,3,(,t,)=cos6,p,t,以,f,s,=8 Hz,抽样所得序列,W,0,/,2,p,=1/12,由于,1/12,是不可约的有理数，,故离散序列的周期,N,=12,。,W,0,/,2,p,=1/12p,由于,1/12p,不是有理数，,故离散序列是非周期的。,W,0,/,2,p,=3/8,由于,3/8,是不可约的有理数，故,x,3,k,的周期为,N,=8,。,例,已知,LTI,系统在,x,1,(,t,),激励下产生的响应为,y,1,(,t,),，试求系统在,x,2,(,t,),激励下产生的响应,y,2,(,t,),。,解：,从,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),图形可以看得出，,x,2,(,t,),与,x,1,(,t,),存在以下关系,根据,线性非时变,性质，,y,2,(,t,),与,y,1,(,t,),之间也,存在同样的关系,例,已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件,y,(0)=1,y,(0)=2,输入信号,x,(,t,)=e,-,t,u,(,t,),，,求系统的完全响应,y,(,t,),。,特征根,为,齐次解,y,h,(,t,),解,:,(1),求,齐次方程,y,(,t,)+6,y,(,t,)+8,y,(,t,)=0,的,齐次解,y,h,(,t,),特征方程,为,t,0,例,已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件,y,(0)=1,y,(0)=2,输入信号,x,(,t,)=e,-,t,u,(,t,),，,求系统的完全响应,y,(,t,),。,解,:,(2),求,非,齐次方程,y,(,t,)+6,y,(,t,)+8,y,(,t,)=,x,(,t,),的,特解,y,p,(,t,),由,输入,x,(,t,),的形式，设方程的,特解,为,y,p,(,t,)=,C,e,-,t,将,特解,带入原微分方程即可求得常数,C,=1/3,。,t,0,例,已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件,y,(0)=1,y,(0)=2,输入信号,x,(,t,)=e,-,t,u,(,t,),，,求系统的完全响应,y,(,t,),。,解,:,(3),求方程,的全解,解得,A,=5/2,，,B,=,-,11/6,解,:,系统的,特征方程,为,例,已知某,线性时不变系统,的动态方程式为,:,y,(,t,)+5,y,(,t,)+6,y,(,t,)=4,x,(,t,),t,0,系统的初始状态为,y,(0,-,)=1,，,y,(0,-,)=3,，,求系统的,零输入响应,y,zi,(,t,),。,系统的,特征根,为,y,(0,-,)=,y,zi,(0,-,)=,K,1,+,K,2,=1,y,(0,-,)=,y,zi,(0,-,)=,-,2,K,1,-,3,K,2,=3,解得,K,1,=6,，,K,2,=,-,5,例,已知某,线性时不变系统,的动态方程式为,:,y,(,t,)+4,y,(,t,)+4,y,(,t,)=3,x,(,t,),t,0,系统的初始状态为,y,(0,-,)=2,，,y,(0,-,)=,-,1,，求系统的,零输入响应,y,zi,(,t,),。,解,:,系统的,特征方程,为,系统的,特征根,为,（两相等实根）,y,(0,-,)=,y,zi,(0,-,)=,K,1,=1;,y,(0,-,)=,y,zi,(0,-,)=,-,2,K,1,+,K,2,=3,解得,K,1,=2,K,2,=3,例,已知某,线性时不变系统,的动态方程式为：,y,(,t,)+2,y,(,t,)+5,y,(,t,)=4,x,(,t,),t,0,系统的初始状态为,y,(0,-,)=1,，,y,(0,-,)=3,，求系统的,零输入响应,y,zi,(,t,),。,解,:,系统的,特征方程,为,系统的,特征根,为,y,(0,-,)=,y,zi,(0,-,)=,K,1,=1,y,(0,-,)=,y,zi,(0,-,)=,-,K,1,+2,K,2,=3,解得,K,1,=1,，,K,2,=2,例,已知某,LTI,系统,的动态方程式为：,y,(,t,)+3,y,(,t,)=2,x,(,t,),系统的,冲激响应,h,(,t,)=2e,-,3,t,u,(,t,),x,(,t,)=3,u,(,t,),试求,系统的零状态响应,y,zs,(,t,),。,解：,解,：当,x,(,t,)=,d,(,t,),时,，,y,(,t,)=,h,(,t,),，,即,动态方程式的,特征根,s,=,-,3,且,n,m,故,h,(,t,),的形式为,解得,A,=2,例,已知某,线性时不变系统,的动态方程式为 试求系统的,冲激响应,。,例,已知某,线性时不变系统,的动态方程式为 试求系统的,冲激响应,。,解,：当,x,(,t,)=,d,(,t,),时,，,y,(,t,)=,h,(,t,),，,即,动态方程式的特征根,s,=,-,6,且,n,=,m,故,h,(,t,),的形式为,解得,A,=,-,16,B,=3,例,计算,y,(,t,)=,p,1,(,t,)*,p,1,(,t,),。,a),-,t,-,1,b),-,1,t,0,y,(,t,)=0,解：,c)0,1,y,(,t,)=0,例,计算,y,(,t,)=,p,1,(,t,)*,p,1,(,t,),。,c)0,1,y,(,t,)=0,a),-,t,-,1,b),-,1,t,0,y,(,t,)=0,例,计算,y,(,t,)=,p,1,(,t,)*,p,1,(,t,),。,练习,1,：,u,(,t,),*,u,(,t,),练习,2,：计算,y,(,t,)=,x,(,t,),*,h,(,t,),。,=,r,(,t,),解,:,例,利用,平移特性,及,u,(,t,),*,u,(,t,)=,r,(,t,),，计算,y,(,t,)=,x,(,t,),*,h,(,t,),。,y,(,t,)=,x,(,t,),*,h,(,t,)=,u,(,t,),-,u,(,t,-,1),*,u,(,t,),-,u,(,t,-,2),=u,(,t,),*,u,(,t,),-,u,(,t,-,1),*,u,(,t,),-,u,(,t,),*,u,(,t,-,2),+,u,(,t,-,1),*,u,(,t,-,2),=,r,(,t,),r,(,t,-,1),-,r,(,t,-,2)+,r,(,t,-,3),例,已知,y,(,t,)=,x,1,(,t,),*,x,2,(,t,),，求,y,(,t,),和,y,(,-,1),(,t,),解：,利用卷积的微分特性,y,(,t,)=,y,(,t,),*,d,(,t,)=,x,1,(,t,),*,x,2,(,t,),*,d,(,t,),y,(,-,1),(,t,)=,y,(,t,),*,u,(,t,)=,x,1,(,t,),*,x,2,(,t,),*,u,(,t,),=,x,1,(,t,),*,x,2,(,t,),=,x,1,(,t,),*,x,2,(,t,),=,x,1,(,-,1),(,t,),*,x,2,(,t,),=,x,1,(,t,),*,x,2,(,-,1),(,t,),利用卷积的结合律,利用卷积的积分特性,利用卷积的结合律,解,:,例,利用,等效特性,，计算,y,(,t,)=,x,(,t,),*,h,(,t,),。,x,(,t,)=,d,(,t,),-,d,(,t,-,1),x,(,t,),*,h,(,t,)=,h,(,t,),-,h,(,t,-,1),解,:,例,计算下列卷积积分。,(,1,),(,2,),(,3,),(,1,),解,:,例,计算下列卷积积分。,(,1,),(,2,),(,3,),(,2,),利用卷积的,平移性质,和题,(,1,),的结论,(,3,),例,一阶线性常系数差分方程,y,k,-,0.5,y,k,-,1=,u,k,y,-,1=1,，用迭代法求解差分方程。,解：,将差分方程写成,代入初始状态，可求得,依此类推,缺点：很难得到闭合形式的解。,例,已知某二阶,线性时不变离散时间系统,的差分方程,y,k,-,5,y,k,-,1+6,y,k,-,2=,x,k,初始条件,y,0=0,，,y,1=,-,1,，输入信号,x,k,=2,k,u,k,，求系统的完全响应,y,k,。,特征根,为,齐次解,y,h,k,解,：,(1),求齐次方程,y,k,-,5,y,k,-,1+6,y,k,-,2=0,的,齐次解,y,h,k,特征方程,为,解：,(2),求非齐次方程,y,k,-,5,y,k,-,1+6,y,k,-,2=,x,k,的,特解,y,p,k,由输入,x,k,的形式，设方程的,特解,为,将,特解,带入原差分方程即可求得常数,A,=,-,2,。,例,已知某二阶,线性时不变离散时间系统,的差分方程,y,k,-,5,y,k,-,1+6,y,k,-,2=,x,k,初始条件,y,0=0,，,y,1=,-,1,，输入信号,x,k,=2,k,u,k,，求系统的完全响应,y,k,。,解：,(3),求方程的,全解，即,系统的完全响应,y,k,解得,C,1,=,-,1,，,C,2,=,1,例,已知某二阶,线性时不变离散时间系统,的差分方程,y,k,-,5,y,k,-,1+6,y,k,-,2=,x,k,初始条件,y,0=0,，,y,1=,-,1,，输入信号,x,k,=2,k,u,k,，求系统的完全响应,y,k,。,例,已知某,线性时不变系统,的动态方程式为,:,y,k,+3,y,k,-,1+2,y,k,-,2=,x,k,系统的初始状态为,y,-,1=0,，,y,-,2=1/2,，,求系统的,零输入响应,y,zi,k,。（初始状态,vs,初始条件）,解,：,系统的,特征方程,为,系统的,特征根,为,解得,C,1,=1,，,C,2,=,-,2,例,已知某,线性时不变系统,的动态方程式为,:,y,k,+4,y,k,-,1+4,y,k,-,2=,x,k,系统的初始状态为,y,-,1=0,，,y,-,2=1/2,，,求系统的,零输入响应,y,zi,k,。,解,：,系统的,特征方程,为,系统的,特征根,为,（两相等实根）,解得,C,1,=4,C,2,=4,例,已知某,线性时不变系统,的动态方程式为,:,y,k,-,0.5,y,k,-,1+,y,k,-,2,-,0.5,y,k,-,3=,x,k,系统的初始状态为,y,-,1=2,，,y,-,2=,-,1,，,y,-,3=8,，,求系统的,零输入响应,y,zi,k,。,解,：,系统的,特征方程,为,系统的,特征根,为,解得,C,1,=1,，,C,2,=0,，,C,5,=5,例,若描述某离散系统的差分方程为,:,已知,求系统的,零状态响应,y,zs,k,。,解：,例,1,描述某,离散因果,LTI,系统,的差分方程为,求系统的,单位脉冲响应,h,k,。,解：,h,k,满足方程,1,),求等效初始条件,对于因果系统有,h,-,1=,h,-,2=0,，代入上面方程可推出,注意：选择初始条件的基本原则是必须将,d,k,的作用体现在初始条件中,二阶系统需要两个初始条件，可以选择,h,0,和,h,1,解,：,h,k,满足方程,2,),求差分方程的齐次解,特征方程,为,特征根,为,齐次解,的表达式为,代入初始条件，有,解得,C,1,=,-,1,，,C,2,=2,例,1,描述某,离散因果,LTI,系统,的差分方程为,求系统的,单位脉冲响应,h,k,。,例,1,已知,x,k,=,u,k,，,h,k,=,a,k,u,k,，,0,a,1,，计算,y,k,=,x,k,*,h,k,例,1,已知,x,k,=,u,k,，,h,k,=,a,k,u,k,，,0,a,1,，计算,y,k,=,x,k,*,h,k,k,0,x,n,与,h,k,-,n,图形没有相遇,y,k,=0,例,1,已知,x,k,=,u,k,，,h,k,=,a,k,u,k,，,0,a,1,，计算,y,k,=,x,k,*,h,k,k,0,x,n,与,h,k,-,n,图形相遇,例,1,已知,x,k,=,u,k,，,h,k,=,a,k,u,k,，,0,a,1,，计算,y,k,=,x,k,*,h,k,k,0,，,x,n,与,h,k,-,n,图形相遇,k,0,，,x,n,与,h,k,-,n,图形没有相遇,y,k,=0,例,2,计算,y,k,=,R,N,k,*,R,N,k,例,2,计算,y,k,=,R,N,k,*,R,N,k,k,0,时,R,N,n,与,R,N,k,-,n,图形没有相遇,y,k,=0,0,k,N,-,1,时，重合区间为,0,，,k,例,2,计算,y,k,=,R,N,k,*,R,N,k,N,-,1,2,N,-,2,时，,R,N,n,与,R,N,k,-,n,图形不再相遇,y,k,=0,例,2,计算,y,k,=,R,N,k,*,R,N,k,k,0,时,R,N,n,与,R,N,k,-,n,图形没有相遇,y,k,=0,0,k,N,-,1,时，重合区间为,0,，,k,N,-,1,2,N,-,2,时，,R,N,n,与,R,N,k,-,n,图形不再相遇,y,k,=0,解,:,例,3,计算 与 的卷积和。,利用卷积和的起点坐标等于待卷积两序列起点之和，确定卷积和的原点。,解,:,例,4,计算 与 的卷积和。,解,:,例,5,计算 与 的卷积和。,利用,位移特性,例,1,求图示系统的,冲激响应,，其中,h,1,(,t,)=e,-,3,t,u,(,t,),，,h,2,(,t,)=,(,t,-,1),，,h,3,(,t,)=,u,(,t,),。,解：,子系统,h,1,(,t,),与,h,2,(,t,),级联,，,h,3,(,t,),支路与,h,1,(,t,),h,2,(,t,),级联支路,并联,。,例,2,求图示系统的,单位脉冲响应,，其中,h,1,k,=2,k,u,k,，,h,2,k,=,d,k,-,1,，,h,3,k,=3,k,u,k,，,h,4,k,=,u,k,。,解：,子系统,h,2,k,与,h,3,k,级联,，,h,1,k,支路、全通支路与,h,2,k,h,3,k,级联支路,并联,，再与,h,4,k,级联,。,全通支路满足,全通离散系统的,单位脉冲响应,为单位脉冲序列,d,k,例,3,判断,M,1,+,M,2,+1,点滑动平均系统是否为,因果系统,。,解：,M,1,+,M,2,+1,点滑动平均系统的输入输出关系为,系统的,单位脉冲响应,为,即,显然，只有当,M,1,=0,时，才满足,h,k,=0,k,0,的充要条件。,即当,M,1,=0,时，系统是因果的。,例,4,判断,M,1,+,M,2,+1,点滑动平均系统是否稳定,。,解：,由例,3,可知，系统的,单位脉冲响应,为,由离散时间,LTI,系统,稳定的充分必要条件可以判断出该系统稳定。,对,h,k,求和，可得,例,5,已知一,因果,LTI,连续,系统,的,冲激响应,为,h,(,t,)=e,at,u,(,t,),，,判断该系统是否稳定,。,解：,由于,当,a,0,时，,系统稳定,当,a,0,时，,系统不稳定,综合例题,1.,已知某连续因果,LTI,系统,的微分方程为,求,:,(,1,),零输入响应,y,zi,(,t,),(,2,),冲激响应,h,(,t,),、零状态响应,y,zs,(,t,),(,3,),完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、,强迫响应,(,4,),判断该系统是否稳定,。,解：,(,1,),系统的,特征方程,为,s,2,+7,s,+12=0,特征根,为,s,1,=,-,3,s,2,=,-,4,（两不等实根）,零输入响应,为,代入初始状态,y,(0,-,),y,(0,-,),=,=,=1,=,=,=2,解得,A,=6,B,=,-,5,系统的,零,输入,响应,为,解：,(,2,),利用冲激平衡法可求出,C,=1,D,=,-,1,系统的,零,状态,响应,综合例题,1.,已知某连续因果,LTI,系统,的微分方程为,求,:,(,1,),零输入响应,y,zi,(,t,),(,2,),冲激响应,h,(,t,),、零状态响应,y,zs,(,t,),(,3,),完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、,强迫响应,(,4,),判断该系统是否稳定,。,解：,(,3,),系统的,固有响应,为,强迫响应,为,系统的,稳态响应,为,暂态响应,为,综合例题,1.,已知某连续因果,LTI,系统,的微分方程为,求,:,(,1,),零输入响应,y,zi,(,t,),(,2,),冲激响应,h,(,t,),、零状态响应,y,zs,(,t,),(,3,),完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、,强迫响应,(,4,),判断该系统是否稳定,。,解：,(,4,),该系统为,稳定系统,综合例题,1.,已知某连续因果,LTI,系统,的微分方程为,求,:,(,1,),零输入响应,y,zi,(,t,),(,2,),冲激响应,h,(,t,),、零状态响应,y,zs,(,t,),(,3,),完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、,强迫响应,(,4,),判断该系统是否稳定,。,解：,(,1,),系统的,特征方程,为,r,2,3,r,+2=0,特征根,为,r,1,=,1,r,2,=,2,零输入响应,为,代入初始状态,y,-,1,y,-,2,=3,解得,A,=,-,1,B,=,8,系统的,零,输入,响应,为,=1,综合例题,2.,已知某离散因果,LTI,系统,的差分方程为,求,:,(,1,),零输入响应,y,zi,k,(,2,),单位脉冲响应,h,k,、零状态响应,y,zs,k,(,3,),完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、,强迫响应,(,4,),判断该系统是否稳定,。,综合例题,2.,已知某离散因果,LTI,系统,的差分方程为,求,:,(,1,),零输入响应,y,zi,k,(,2,),单位脉冲响应,h,k,、零状态响应,y,zs,k,(,3,),完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、,强迫响应,(,4,),判断该系统是否稳定,。,解：,(,2,),解得,C,=,-,1,D,=,2,等效初始条件为,解：,(,2,),系统的,零,状态,响应,综合例题,2.,已知某离散因果,LTI,系统,的差分方程为,求,:,(,1,),零输入响应,y,zi,k,(,2,),单位脉冲响应,h,k,、零状态响应,y,zs,k,(,3,),完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、,强迫响应,(,4,),判断该系统是否稳定,。,解：,(,3,),系统的,固有响应,为,强迫响应,为,系统的,稳态响应,为,暂态响应,为,综合例题,2.,已知某离散因果,LTI,系统,的差分方程为,求,:,(,1,),零输入响应,y,zi,k,(,2,),单位脉冲响应,h,k,、零状态响应,y,zs,k,(,3,),完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、,强迫响应,(,4,),判断该系统是否稳定,。,解：,(,4,),该系统为,不稳定系统,综合例题,2.,已知某离散因果,LTI,系统,的差分方程为,求,:,(,1,),零输入响应,y,zi,k,(,2,),单位脉冲响应,h,k,、零状态响应,y,zs,k,(,3,),完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、,强迫响应,(,4,),判断该系统是否稳定,。,第四章,例,1,试计算图示周期矩形脉冲信号,的,傅里叶级数,展开式。,解,:,该周期信号,显然满足,狄里赫勒,的三个条件，,必然存在,傅里叶级数,展开式。,因此，,的,指数形式傅里叶级数,展开式为,例,1,试计算图示周期矩形脉冲信号,的,傅里叶级数,展开式。,解,:,若,=,T,0,/2,，则有,由于 为实信号且满足偶对称,，故,其,三角形式傅里叶级数,展开式为,例,2,试计算图示周期三角脉冲信号的,傅里叶级数,展开式。,解,:,该周期信号显然满足,狄里赫勒,的三个条件，,C,n,存在,例,2,试计算图示周期三角脉冲信号的,傅里叶级数,展开式。,解,:,周期三角脉冲信号的,指数形式傅里叶级数,展开式为,例,2,试计算图示周期三角脉冲信号的,傅里叶级数,展开式。,解,:,周期三角脉冲信号的,三角形式傅里叶级数,展开式为,由,例,3,求,C,n,。,解,:,根据指数形式傅里叶级数的定义可得,例,2,已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的,Fourier,级数表示式。,解：,由图可知,例,1,求图示周期信号的傅里叶级数,例,2,试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽,(,02,p,/,t,),内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中,A,=1,，,T,0,=1/4,，,=1/20,。,解：,周期矩形脉冲的傅里叶系数为,将,A,=1,，,T,0,=1/4,，,=1/20,，,w,0,=2,p,/,T,0,=8,p,代入上式,例,2,试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽,(,02,p,/,t,),内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中,A,=1,，,T,0,=1/4,，,=1/20,。,解：,包含在,有效带宽,(0 2,p,/,t,),内的各谐波平均功率为,信号的,平均功率,为,例,2,试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽,(,02,p,/,t,),内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中,A,=1,，,T,0,=1/4,，,=1/20,。,周期信号的,功率谱,例,3,求,其,功率。,解：,1,),2,),例,试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数。,解：,非周期矩形脉冲信号,x,(,t,),的时域表示式为,由,傅里叶正变换,定义式，,可得,例,1,试求图示延时矩形脉冲信号,x,1,(,t,),的频谱函数,X,1,(j,w,),。,解：,无延时且宽度为,的,矩形脉冲信号,x,(,t,),如图，,因为,故，由,延时特性,可得,其对应的频谱函数为,例,1,试求图示延时矩形脉冲信号,x,1,(,t,),的频谱函数,X,1,(j,w,),。,解：,无延时且宽度为,的,矩形脉冲信号,x,(,t,),如图，,因为,故，由,延时特性,可得,其对应的频谱函数为,例,2,试求矩形脉冲信号,x,(,t,),与余弦信号,cos(,w,0,t,),相乘后信号的,频谱函数,。,应用,频移特性,可得,解,:,已知宽度为,的矩形脉冲信号对应的,频谱函数,为,例,2,试求矩形脉冲信号,x,(,t,),与余弦信号,cos(,w,0,t,),相乘后信号的,频谱函数,。,解,:,例,3,试利用,积分特性,求图示信号,x,(,t,),的,频谱函数,。,解：,利用时域,积分特性,，可得,由于,例,4,试利用,积分特性,求图示信号,x,(,t,),的,频谱函数,。,解：,将,x,(,t,),表示为,x,1,(,t,)+,x,2,(,t,),即,例,5,试利用,微分特性,求矩形脉冲信号的,频谱函数,。,解：,由上式利用,时域微分特性,，得,因此有,例,6,试利用,微分特性,求图示信号,x,(,t,),的,频谱函数,。,解：,利用,时域微分特性,，可得,？,信号的,时域,微分，使信号中的直流分量丢失。,例,7,试利用,修正的,微分特性,求图示信号,x,(,t,),的,频谱函数,。,解：,利用,修正的微分特性,，可得,与例,4,结果一致！,例,8,试求单位斜坡信号,tu,(,t,),的频谱。,解：,已知,单位阶跃信号傅里叶变换,为,故利用,频域微分特性,可得,:,例,9,求如图所示信号的频谱。,解：,例,10,计算其频谱,Y,(j,w,),。,解：,利用,Fourier,变换的,卷积特性,可得,例,11,计算 。,解：,由,根据,Parseval,能量守恒定律,，可得,解：,例,1,例,2,解：,例,3,利用泊松求和公式,可得,解：,解：,利用频域微分特性,例,4,例,5,已知,x,k,的频谱如下图，试求,利用频移特性，可得,解：,右移,左移,例,已知实信号,x,(,t,),的最高频率为,f,m,(Hz),，,试计算对各信号,x,(2,t,),，,x,(,t,),*,x,(2,t,),，,x,(,t,),x,(2,t,),抽样不混叠的最小抽样频率。,对信号,x,(2,t,),抽样时，最小抽样频率为,4,f,m,(Hz),；,对,x,(,t,),*,x,(2,t,),抽样时，最小抽样频率为,2,f,m,(Hz),；,对,x,(,t,),x,(2,t,),抽样时，最小抽样频率为,6,f,m,(Hz),。,解：,根据信号时域与频域的对应关系及,抽样定理,得：,第五章,解：,利用,Fourier,变换的,微分特性,，微分方程的频域表示式为,由定义可求得,例,1,已知描述某,LTI,系统,的微分方程为,y,(,t,)+3,y,(,t,)+2,y,(,t,)=,x,(,t,),，,求系统的,频率响应,H,(j,w,),。,例,2,已知某,LTI,系统,的,冲激响应,为,h,(,t,)=(e,-,t,-,e,-,2,t,),u,(,t,),，求系统的,频率响应,H,(j,w,),。,解：,利用,H(,j,w,),与,h,(,t,),的关系,例,3,图示,RC,电路系统，激励电压源为,x,(,t,),，输出电压,y,(,t,),为电容两端的电压,v,c,(,t,),，电路的初始状态为零。求系统的,频率响应,H,(j,w,),和,冲激响应,h,(,t,),。,解：,RC,电路的频域,(,相量,),模型如图，,由,Fourier,反变换，得系统的,冲激响应,h,(,t,),为,由电路的基本原理有,例,1,已知描述某,LTI,系统,的微分方程为,y,(,t,)+3,y,(,t,)+2,y,(,t,)=3,x,(,t,)+4,x,(,t,),，系统的输入激励,x,(,t,)=e,-,3,t,u,(,t,),，,求系统的,零状态响应,y,zs,(,t,),。,解：,由于输入激励,x,(,t,),的频谱函数为,系统的频率响应由微分方程可得,故系统的零状态响应,y,zs,(,t,),的频谱函数,Y,zs,(j,w,),为,例,2,已知一连续时间系统的频率响应如图所示，,输入信号时，,试求该系统的稳态响应,y,(,t,),。,解：,利用余弦信号作用在系统上的零状态响应的特点，即,可以求出信号,x,(,t,),作用在系统上的稳态响应为,例,3,求图示周期方波信号通过,LTI,系统,H,(j,w,)=1/(,a,+j,w,),的响应,y,(,t,),。,解：,对于周期方波信号，其,Fourier,系数为,可得系统响应,例,1,已知一,LTI,系统,的,频率响应,为,(,1,),求系统的幅度响应,|,H,(j,w,)|,和相位响应,(,w,),，,并判断系统是否为无失真传输系统。,(,2,),当输入为,x,(,t,)=sin,t,+sin3,t,(,-,t,),时，求系统的稳态响应。,解：,(,1,),因为,所以系统的,幅度响应,和,相位响应,分别为,系统的幅度响应,|,H,(j,w,)|,为常数，但相位响应,(,w,),不是,w,的线性函数，所以,系统不是无失真传输系统。,(,2,),例,1,已知一,LTI,系统,的,频率响应,为,(,1,),求系统的幅度响应,|,H,(j,w,)|,和相位响应,(,w,),，,并判断系统是否为无失真传输系统。,(,2,),当输入为,x,(,t,)=sin,t,+sin3,t,(,-,t,),时，求系统的稳态响应。,解：,显然，输出信号相对于输入信号产生了失真。,输出信号的失真是由于系统的,非线性相位,引起的。,输入和输出信号的波形,例,2,求带通信号,x,(,t,)=Sa(,t,)cos2,t,，,-,t,，,通过线性相位,理想低通滤波器,的响应。,解：,因为,利用,Fourier,变换的,频移特性,，可得,例,2,求带通信号,x,(,t,)=Sa(,t,)cos2,t,，,-,t,，,通过线性相位,理想低通滤波器,的响应。,解：,y,(,t,)=,x,(,t,-,t,d,)=Sa(,t,-,t,d,)cos2(,t,-,t,d,),，,-,t,2,),当,w,c,1,时,，,输入信号的所有频率分量都不能通过系统，即,y,(,t,)=0,，,-,t,3,时,，,输入信号的所有频率分量都能通过系统，即,例,2,求带通信号,x,(,t,)=Sa(,t,)cos2,t,，,-,t,，,通过线性相位,理想低通滤波器,的响应。,解：,3,),当,1,w,c,3,时，,由抽样信号频谱及,Fourier,变换的,时域,和,频域位移特性,可得,w,c,-w,c,Y,(j,w,),只有,1,w,c,范围内的频率分量能通过系统，故,例,：,已知一离散,LTI,系统的,h,k,=(0.5),k,u,k,，输入,x,k,=cos(0.5,p,k,),，,(,-,k,0,x,1,(,t,),例,4,试求如图所示,周期信号,的单边,Laplace,变换。,解：,因为,所以,Re(,s,)0,x,1,(,t,),解：,方法,1,对,x,(,t,),求导,例,5,试求如图所示信号的单边,Laplace,变换。,利用拉氏变换的微分特性,可得,解：,例,5,试求如图所示信号的单边,Laplace,变换。,方法,2,对,x,(,t,),表达为,利用拉氏变换的卷积特性,可得,拉氏变换位移特性,解：,例,5,试求如图所示信号的单边,Laplace,变换。,方法,3,将,x,(,t,),用基本信号,表达为,利用拉氏变换的位移特性和线性特性,可得,例,6,已知,求,x,(,t,),的初值和终值,。,解：,X,(,s,),不是真分式，,x,(,t,),在,t,=0,包含冲激，不能直接应用初值定理,sX,(,s,),的收敛域包含,j,w,轴，直接应用初值定理可得,对,X,1,(,s,),应用初值定理可得,将,X,(,s,),改写为,X,1,(,s,),例,1,采用部分分式展开法求,X,(,s,),的反变换。,解：,X,(,s,),为有理真分式，极点为一阶极点。,将上式两端同时乘以,s,可得,令,s,=0,，上式右端只有,k,1,项不等于零，所以,例,1,采用部分分式展开法求,X,(,s,),的反变换。,解：,同理可求出,由此可得,对上式进行拉氏反变换可得,例,2,采用部分分式展开法求,X,(,s,),的反变换。,解：,X,(,s,),有,1,个,3,阶重极点,将,式两端同时乘以,(,s,+1),3,可得,令,s,=,-,1,，,式右端只有,k,2,项不等于零，所以,例,2,采用部分分式展开法求,X,(,s,),的反变换。,解：,对,式求一阶导数，再令,s,=,-,1,可得,对,式求二阶导数，再令,s,=,-,1,可得,例,3,采用部分分式展开法求下列,X,(,s,),的反变换。,解：,X,(,s,),为有理假分式，将其化为有理真分式,利用例,1,计算结果，以及,可得,例,4,求下列,X,(,s,),的反变换。,解：,(1),X,(,s,),不是真分式，且有,1,个,2,阶重极点,例,4,求下列,F,(,s,),的反变换。,解：,令,s,2,=q,(2),X,(,s,),有,1,个,2,阶重极点和一对共轭极点，为计算简便,例,4,求下列,F,(,s,),的反变换。,解：,k,2,k,3,用待定,系数法求,(3),X,(,s,),不是有理分式，将其表示为,X,1,(,s,),X,2,(,s,)=,X,1,(,s,)e,-,2,s,将,X,1,(,s,),展开为,例,1,系统的微分方程为,y,(,t,),+,5,y,(,t,),+,6,y,(,t,),=,2,x,(,t,),+,8,x,(,t,),激励,x,(,t,),=,e,-,t,u,(,t,),，初始状态,y,(0,-,),=,3,，,y,(0,-,)=2,，,求响应,y,(,t,),。,解：,对微分方程进行,单边拉氏变换,可得,例,1,系统的微分方程为,y,(,t,),+,5,y,(,t,),+,6,y,(,t,),=,2,x,(,t,),+,8,x,(,t,),激励,x,(,t,),=,e,-,t,u,(,t,),，初始状态,y,(0,-,),=,3,，,y,(0,-,)=2,，,求响应,y,(,t,),。,解：,例,2,图示电路初始状态为,v,C,(0,-,)=,-,E,求电容两端电压,v,C,(,t,),。,解：,建立电路的,s,域模型,由,s,域模型写回路方程,求出回路电流,电容电压为,例,1,已知一,LTI,连续时间系统满足的微分方程为,y,(,t,)+3,y,(,t,)+2,y,(,t,)=3,x,(,t,)+2,x,(,t,),t,0,试求该系统的系统函数,H,(,s,),和单位冲激响应,h,(,t,),。,解：,对微分方程两边进行,Laplace,变换得,根据系统函数的定义可得,进行,Laplace,反变换，可得,例,2,试求零初始状态的理想积分器和理想微分器的系统函数,H,(,s,),解：,1,）,具有零初始状态的理想积分器的输入输出关系为,根据系统函数的定义可得,两边取,Laplace,变换，可得,例,2,试求零初始状态的理想积分器和理想微分器的系统函数,H,(,s,),解：,2,）,具有零初始状态的理想微分器的输入输出关系为,两边取,Laplace,变换，可得,系统的冲激响应为,例,3,判断下述系统是否稳定。,解：,1,）极点为,s,=,-,1,和,s,=,-,2，,都在,s,左半平面。,所以系统稳定。,2,）极点为,s,=,j,0,，,是虚轴上的一对共轭极点,。,所以系统不稳定。,例,4,已知 ，求系统的频率响应。,解：,例,画出系统的模拟框图,解：,s,-,1,s,-,1,s,-,1,5,7,X,(,s,),Y,(,s,),5,10,1,）直接型框图,例,画出系统的模拟框图,解：,2,）级联式,S,-1,s,-,1,s,-,1,S,-1,s,-,1,5,5,X,(,s,),Y,(,s,),1,2,例,画出系统的模拟框图,解：,3,）并联式,S,-1,s,-,1,s,-,1,S,-1,s,-,1,2,0.5,5/6,4/3,X,(,s,),Y,(,s,),5,综合题,1,：,一连续线性,LTI,因果系统的微分方程描述为,已知,由,s,域求解：,(1),零输入响应,y,zi,(,t,),，零状态响应,y,zs,(,t,),，完全响应,y,(,t,),。,(2),系统函数,H,(,s,),，单位冲激响应,h,(,t,),并判断系统是否稳定。,(3),画出系统的直接型模拟框图。,综合题,1,：,一连续线性,LTI,因果系统的微分方程描述为,解：,已知,由,s,域求解：,(1),零输入响应,y,zi,(,t,),，零状态响应,y,zs,(,t,),，完全响应,y,(,t,),。,(1),对微分方程两边做单边拉普拉斯变换得,零输入响应的,s,域表达式为,进行拉普拉斯反变换可得,综合题,1,：,一连续线性,LTI,因果系统的微分方程描述为,解：,已知,由,s,域求解：,(1),零输入响应,y,zi,(,t,),，零状态响应,y,zs,(,t,),，完全响应,y,(,t,),。,零状态响应的,s,域表达式为,进行拉普拉斯反变换可得,完全响应为,综合题,1,：,一连续线性,LTI,因果系统的