05-涡度、散度与垂直速度.doc

涡度、散度与垂直速度，是天气分析预报中经常使用的三个物理量。在天气学教科书(例如：朱乾根等，2000)与动力气象学教科书(例如：吕美仲与彭永清，1990)中都有详尽介绍。本章内容，主要取材于朱乾根等的教科书。
§7.1 涡度的表达式
涡度是衡量空气质块转运动强度物理量，单位为。根据右手定则，逆时针旋转时为正，顺时针旋转时为负。从动力学角度分析，根据涡度的变化，就可了解气压系统的发生和发展。
更确切地说，我们这里的涡度是指相对涡度，其表达式为：

(7.1.1)
其中是三维风矢。
虽然涡度是一个矢量，但在天气分析中，一般却只计算它的垂直分量，亦即：相对涡度垂直分量或垂直相对涡度。的表达式为：
(7.1.2)
需要注意的是，在日常分析预报中说的涡度，其全称应是垂直相对涡度。
将式(7.1.2)变微分为差分，得：
(7.1.3)
§7.1.2 相对涡度的计算方法
犹如风矢有实测风与地转风一样，相对涡度有实测风涡度与地转风涡度两种。下面分别介绍它们的计算方法。
1. 实测风涡度计算方法
用实测风计算涡度时要按照式(7.1.3)所列各项分别进行。首先把实测风分解为、分量，然后分别读取图7.1.1所示的A、C点的值和B、D点的值，最后代入式(7.1.3)即得O点的涡度：
(7.1.4)

图7.1.1 计算物理量用的正方形网格(朱乾根等，2000)
2. 地转风涡度计算方法
假若实测风与地转风相差很小，那么，便可用地转风代替实测风，并可根据地转风公式直接从高度场(或气压场)求算相对涡度。用地转风计算得到的相对涡度称地转风涡度，也有人也简称地转涡度。
地转风涡度的几何意义是代表等压面凹凸的程度。
把等压面上的地转风公式
(7.1.5)
代入式(7.1.2)中，略去地转参数的空间变化后，即可得到地转风涡度的表达式：
(7.1.6)
上式中为位势高度，为高度场的拉普拉斯。在实际业务中可用图7.1.1所示网格进行计算，并把上式改写为差分形式：
(7.1.7)
式中为地图投影放大系数。由上式可见，读取网格上A、B、C、D、O五点的高度值，代入式(7.1.7)，便得O点的地转风涡度。
§7.2 散度的计算
(引自：朱乾根等《天气学原理与方法》(第3版)pp618～620)。
1. 定义及表达式
散度是衡量速度场辐散、辐合强度的物理量，单位为1/s，辐散时为正，辐合时为负。
水平散度的表达式为：
(7.2.1)
水平散度D的大小是从同一水平面(或等压面，请读者牢牢记住这个条件)上的实测风场计算求得的。
2. 计算方法
把式(7.2.1)写成差分形式：
(7.2.2)
若用图7.1.1所示网格计算水平散度，变微分为差分，则上式就改写为：

(7.2.3)
式中为在天气图上所取网格点的距离。这样把图7.1.1中B、D点的值和A、C点的值代入式(7.2.3)，便得O点的散度。
3. 注意事项
当气象测站不在同一个海拔高度上时，地面图上散度的计算方法，我们将在后面介绍。
关于对上面计算散度值的修正方法，将在§7.3介绍。
§7.3 垂直速度的诊断
(引自：朱乾根等《天气学原理与方法》(第3版)pp620～635)。
大气垂直运动是天气分析和预报中必须经常考虑的一个重要物理量。
需要提请读者注意的是，这里说的垂直速度(或运动)，仅仅指大尺度的。
垂直速度不是直接观测到的物理量，它是通过间接计算而得到的。垂直速度的计算方法很多，下面只介绍O’Brie(1970)提出的运动学法(积分连续方程法)。
1. 计算原理
在坐标系中，连续方程可写为：
(7.3.1)
或 (7.3.2)
将上式两端对积分得：

(7.3.3)
令为和两层等压面之间的平均散度，则式(7.3.3)可改写成：
(7.3.4)
式中和分别为和高度处的垂直速度。单位为；正值为下沉运动，负值则为上升运动。若平均散度在和两层之间的变化是线性的，即：
，那么，在求得各层散度之后，根据式(7.3.4)便可自下而上一层一层地算出各层的垂直速度来。
2. 下边界条件
假定：(a)地面海拔高度很低，且是平坦的(读者要特别注意这个假定)，(b)处，，则各主要等压面上的垂直速度可分别用式(7.3.4)推算出来。
3. 必须对和D进行修正的原因
原则上，可以用这种方法计算出任意层次的。但在实际上，用这种方法来计算高层的常常很不准确。原因是：(a)风在高层观测的精确度较低；(b)误差随高度有积累。上述原因的详细解释是，在作散度计算时，既有风的观测、分析方面的误差，又有计算中带来的误差，这些误差都随高度升高而有积累，从而导致的计算值的精确度随高度升高而不断下降。结果到了气柱的顶部，的值往往不能满足的边界条件，这就违背了“补偿原理”。因此必须对上述运动学方法或“补偿作用”进行修正。
4. 对D和的修正
根据实际资料的分析,的修正量可以假定为气压的线性函数。即(证明略)：
(7.3.5)
式中是一个只与总层数有关的常数。
对作了上述修正后，也应作相应的修正(证明略)。
(7.3.6)
其中，，是层次序号。为需要计算的总层数，是未经修正的最高层垂直速度(一般即100处的)，是经过修正后的最高层垂直速度。式(7.3.6)中的是借用其它方法(例如绝热法等方法)求出的。
实例分析表明，一般都在3～，最大可达20～。而由绝热法或其他方法求出的100上的数值一般很小(大约为0～)，因此较之是很小的。这样，在精度允许的情况下，为了计算的方便，可取。这样，式(7.3.5)与(7.3.6)便可简化成下列形式：
(7.3.7)
(7.3.8)
5. 与的换算关系
在很多情况下，人们需将上面计算出的换算成。例如，在计算-螺旋度时以及绘制垂直剖面图上的环流时就遇到上述情况。
垂直速度在坐标系里为，在坐标系里为，两者有以下的关系：
(7.3.9)
通常，式(7.3.9)的右边前两项之和很小，因此近似有：
(7.3.10)
代入静力学关系，则得：
(7.3.11)
再代入状态方程，则得：
(7.3.12)
式(7.3.12)即为与的换算关系式。的单位多取，的单位多取。
§7.4 地转偏差与散度、垂直速度的关系
1. 定义
地转风虽然可以作为实际风的近似，但一般情况下实际风和地转风总是有差别的。为了量度实际风偏离地转风的程度，人们将实际风与地转风的矢量差定义为地转偏差。令地转偏差用表示，则有：
(7.4.1)
或 (7.4.2)
2. 计算方法
考虑到有关教科书中地转风的定义式后，可将式(7.4.2)改写为：
(7.4.3)
将公式(7.4.3)变为差分形式，得：
(7.4.4)
根据式(7.4.4)，可以计算出地转偏差矢量的两个分量与，进而得到地转偏差矢量：
(7.4.5)
3. 地转偏差与水平散度、垂直速度的关系
将式(7.4.2)代入水平散度公式，得：

(7.4.6)
若取为常数，则有：
(7.4.7)
将式(7.4.7)代入(7.4.6)，得：
(7.4.8)
式(7.4.8)表明，实际风的水平散度是由地转偏差决定的。由于垂直运动与水平散度联系在一起，故可以认为垂直运动也与地转偏差有一定联系。
4. 地转偏差在动能制造转换中的作用
当有地转偏差时，若实际风偏向低压一侧，水平气压梯度力对空气微团作功，其动能将增加；若实际风偏向高压一侧，空气微团反抗水平气压梯度力作功，其动能将减小。因此，地转偏差对大气运动动能的制造和转换起着重要作用。
5. 地转偏差的大小
自由大气中地转偏差一般很小，地转偏差与地转风的比值平均为20%左右。实际风偏离地转风的角度平均约为15°。地转偏差虽然很小，但对大气运动的演变却起着极为重要的作用。有地转偏差时，空气微团才可能作穿越等压线运动，从而引起质量重新分布，造成气压场和风场的变化，所以地转偏差是天气系统演变的一个动力因子。
6. 地转偏差与水平加速度的关系
可以证明(证明从略)，地转偏差和水平加速度方向相垂直，在北半球指向水平加速度的左侧，如图7.4.1所示。地转偏差的大小和水平加速度成正比，和纬度的正弦成反比。
图7.4.1 地转偏差与水平加速度关系
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