2025年学海大联考 高一数学第一学期期末综合测试试题含解析.doc

2025年学海大联考 高一数学第一学期期末综合测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．命题“”的否定是
A. B.
C. D.
2．若“”是“”的充分不必要条件，则（）
A. B.
C. D.
3．在空间直角坐标系中，点在轴上，且点到点与点的距离相等，则点坐标为（）
A. B.
C. D.
4．已知正方体外接球的表面积为，正方体外接球的表面积为，若这两个正方体的所有棱长之和为，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
5．已知函数，记集合，，若，则的取值范围是（）
A.[0,4] B.（0,4）
C.[0，4) D.(0，4]
6．已知函数，则 的值等于
A. B.
C. D.
7．定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围为（ ）.
A. B.
C. D.
8．函数的部分图象如图所示，将其向右平移个单位长度后得到的函数解析式为（ ）

A. B.
C. D.
9．已知向量满足，且，若向量满足，则的取值范围是
A. B.
C D.
10．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数 若方程恰有三个实数根，则实数的取值范围是_______.
12．已知函数（）的部分图象如图所示，则的解析式是___________.

13．已知，g(x)=x+t，设，若当x为正整数时，恒有h(5)≤h(x)，则实数t的取值范围是_____________.
14．在函数的图像上，有______个横、纵坐标均为整数的点
15．设函数，若实数满足，且，则的取值范围是_______________________
16．已知为第二象限角，且，则_____
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）若的值域为R，求实数a的取值范围；
（2）若，解关于x的不等式.
18．某兴趣小组要测量钟楼的高度（单位：）.如示意图，垂直放置的标杆的高度为，仰角.

（1）该小组已测得一组的值，算出了，请据此算出的值（精确到）；
（2）该小组分析测得的数据后，认为适当调整标杆到钟楼的距离（单位：），使与之差较大，可以提高测量精度.若钟楼的实际高度为，试问为多少时，最大？
19．已知函数部分图象如图所示.

（1）当时，求的最值；
（2）设，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
20．已知函数
（1）若，求a的值；
（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若对于恒成立，求实数m的范围
21．刘先生购买了一部手机，欲使用某通讯网络最近推出的全年免流量费用的套餐，经调查收费标准如下表：
套餐
月租
本地话费
长途话费
套餐甲
12元
0.3元/分钟
0.6元/分钟
套餐乙
无
0.5元/分钟
0.8元/分钟
刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍（手机双向收费，接打话费相同）
（1）设刘先生每月通话时间为x分钟，求使用套餐甲所需话费的函数及使用套餐乙所需话费的函数；
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是，选C.
考点：全称命题与存在性命题.
2、B
【解析】转化“”是“”的充分不必要条件为Ü，分析即得解
【详解】由题意，“”是“”的充分不必要条件
故Ü
故
故选：B
3、B
【解析】先由题意设点的坐标为，根据空间中的两点间距离公式，列出等式，求出，即可得出结果.
【详解】因为点在轴上，所以可设点的坐标为，
依题意，得，
解得，则点的坐标为
故选：B.
4、B
【解析】设正方体的棱长为，正方体的棱长为，然后表示出两个正方体外接球的表面积，求出化简变形可得答案
【详解】解：设正方体的棱长为，正方体的棱长为
因为，所以，则
因为，所以，
因为，
所以，
故当时，取得最小值，且最小值为
故选：B
5、C
【解析】对分成和两种情况进行分类讨论，结合求得的取值范围.
【详解】当时，，
此时，符合题意.
当时，，
由解得或，
由得或，
其中，，和都不是这个方程的根，
要使，则需.
综上所述，的取值范围是.
故选：C
6、C
【解析】因为，所以，故选C.
7、D
【解析】求出在，上的值域，利用的性质得出在，上的值域，再求出在，上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出的范围
【详解】解：当时，，
可得在，上单调递减，在上单调递增，
在，上的值域为，，
在上的值域为，，
在上的值域为，，
，
，
在上的值域为，，
当时，为增函数，
在，上的值域为，，
，解得；
当时，为减函数，
在，上的值域为，，
，解得；
当时，为常数函数，值域为，不符合题意；
综上，的范围是或
故选：
【点睛】本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则值域是值域的子集
8、C
【解析】由函数图象求出、、和的值，写出的解析式，再根据图象平移得出函数解析式
【详解】由函数图象知，，，
解得，所以，
所以函数；
因为，
所以，；
解得，；
又，所以；
所以；
将函数的图象向右平移个单位长度后，得的图象，
即
故选：
9、B
【解析】由题意利用两个向量加减法的几何意义，数形结合求得的取值范围.
【详解】设，根据作出如下图形，
则
当时，则点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，且
结合图形可得，当点与重合时，取得最大值；
当点与重合时，取得最小值
所以的取值范围是
故当时，的取值范围是
故选：B

10、A
【解析】由斜二测画法的规则知与x'轴平行或重合的线段与x’轴平行或重合，其长度不变，与y轴平行或重合的线段与x’轴平行或重合，其长度变成原来的一半，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，观察四个选项，A选项符合题意．故应选A
考点：斜二测画法
点评：注意斜二测画法中线段长度的变化

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】令f（t）＝2，解出t，则f（x）＝t，讨论k的符号，根据f（x）的函数图象得出t的范围即可
【详解】解：令f（t）＝2得t＝﹣1或t（k≠0）
∵f（f（x））﹣2＝0，∴f（f（x））＝2，
∴f（x）＝﹣1或f（x）（k≠0）
（1）当k＝0时，做出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）＝﹣1无解，即f（f（x））﹣2＝0无解，不符合题意；
（2）当k＞0时，做出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）＝﹣1无解，f（x）无解，即f（f（x））﹣2＝0无解，不符合题意；
（3）当k＜0时，做出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）＝﹣1有1解，
∵f（f（x））﹣2＝0有3解，∴f（x）有2解，
∴1，解得﹣1＜k
综上，k的取值范围是（﹣1，]
故答案为（﹣1，]
【点睛】本题考查了函数零点个数与函数图象的关系，数形结合思想，属于中档题
12、
【解析】由图可知，，得，从而，所以，然后将代入，得，又，得，因此，，注意最后确定的值时，一定要代入，而不是，否则会产生增根.
考点：三角函数的图象与性质.
13、 [-5，-3]
【解析】作出的图象，如图，

设与的交点横坐标为，
则在时，总有，
所以当时，有，，
由，得；
当当时，有，，
由，得，
综上，，
故答案为：.
14、3
【解析】由题可得函数为减函数，利用赋值法结合条件及函数的性质即得.
【详解】因为，
所以函数在R上单调递减，
又，，，
，且当时，，
当时，令，
则，
综上，函数的图像上，有3个横、纵坐标均为整数的点
故答案为：3.
15、
【解析】结合图象确定a，b，c的关系，由此可得，再利用基本不等式求其最值.
【详解】解：因为函数，若实数a，b，c满足，且，
；
如图：，且；
令；
因为；
，当且仅当时取等号；
，；

故答案为：
16、
【解析】根据同角三角函数关系结合诱导公式计算得到答案.
【详解】为第二象限角，且，故，
.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或.（2）见解析.
【解析】（1）当时，的值域为, 当时，的值域为,如满足题意则，解之即可；
（2）当时，，即恒成立，当时，即,分类讨论解不等式即可.
试题解析：
（1）当时，的值域为当时，的值域为，的值域为，解得或的取值范围是或.
（2）当时，，即恒成立，当时，即
（ⅰ）当即时，无解：
（ⅱ）当即时，；
（ⅲ）当即时
①当时，
②当时，
综上（1）当时，解集为
（2）当时，解集
（3）当时，解集为
（4）当时，解集为
18、（1）约为
（2）为时，最大
【解析】（1）运用正切三角函数建立等式，再结合题中数据可求解；
（2）由，得到，再运用基本不等式求解.
【小问1详解】
由得，
同理，.
因为，所以，
解得.
因此，算出钟楼的高度约为.
【小问2详解】
由题设知，得，
又
，
当且仅当时，取等号，
故当时，最大.
因为，则，所以当时，最大，
故所求的是.
19、（1），；
（2）
【解析】(1)根据正弦型图像的性质求出函数解析式，在根据求出函数最值；
(2)求出g(x)解析式，令，利用二次函数根分布解题即可.
【小问1详解】
由图象可知，又.
，又，
.
由，得.
当，即时，；
当，即时，.
【小问2详解】

，
则.
令，
原不等式转化为对恒成立.
令，
则，解得
综上，实数的取值范围为.
20、（1）
（2）奇函数，证明见解析
（3）
【解析】（1）代入，得到，利用对数的运算即可求解；
（2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算的数量关系，由此完成证明；
（3）将已知转化为，求出在的最小值，即可得解.
【小问1详解】
，，即，解得，
所以a的值为
【小问2详解】
为奇函数，证明如下：
由，解得：或，所以定义域为关于原点对称，
又，
所以为奇函数；
【小问3详解】
因为，
又外部函数为增函数，内部函数在上为增函数，
由复合函数的单调性知函数在上为增函数，
所以，
又对于恒成立，所以，所以，
所以实数的范围是
21、（1），；
（2）答案见解析.
【解析】（1）由题可知他每月接打本地电话时间为，接打长途，结合条件即得；
（2）利用作差法，然后分类讨论即得.
【小问1详解】
因为刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍，
所以他每月接打本地电话时间为，接打长途
若选择套餐甲，则月租12元，本地话费，长途话费，
则；
若选择套餐乙，则月租0元，本地话费，长途话费，
则
【小问2详解】
∵，
当时，即时，，此时应选择套餐乙省钱；
当时，即时，，此时应选择套餐甲省钱；
当时，即时，，此时甲乙两种套餐话费一样