自动控制原理第4章-根轨迹.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,第四章 根轨迹法,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四章 根轨迹法,控制系统的稳定性是由其闭环传递函数的极点（特征根,P,i,）所决定的。要使系统稳定，则系统的特征根（闭环极点）必须在,s,复平面的,左半平面内,。,第四章 根轨迹法,第四章,根轨迹法,根轨迹法,不直接求解特征方程，而是用复平面上的系统的,开环零、极点,来确定系统的,闭环零、极点,的图解方法。,特点,：,（,1,）图解方法，直观、形象。,（,2,）适用于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化趋势。,（,3,）近似方法，不十分精确。,第四章 根轨迹法,如图所示单位负反馈控制系统，其开环传递函数为,4.1,根轨迹的基本概念,4.1.1,根轨迹,该系统的开环极点为,P,1,=0,，,P,2,=-1,。,系统的闭环传递函数：,系统的特征方程：,第四章 根轨迹法,第四章 根轨迹法,根轨迹是指,系统中某个参数的数值从零变到无穷大时，系统闭环特征方程的根在复平面上的变化轨迹,。,(1),当,0K0.25,时，闭环系统的两个特征根为相异负实根，此时系统为过阻尼状态,(2),当,K=0.25,时，特征根为两个相等的负实根，此时系统为临界状态,(3),当,0.25 K,时，特征根为一对具有负实部的共轭复根，此时系统为欠阻尼状态,第四章 根轨迹法,4.2.2,根轨迹的幅值条件和相角条件,闭环特征方程为：,第四章 根轨迹法,既满足幅值条件又满足相角条件的,S,值就是特征方程的一组根，,也就是一组闭环极点,。,根轨迹上的所有点满足同一个相角条件，,K,变动，相角条件是不变的。,所以，绘制根轨迹可以这样进行,首先在,S,平面上找出所有符合相角条件的点，这些点连成的曲线就是根轨迹，,然后反过来按幅值条件求出根轨迹上任一点的,K,值。,第四章 根轨迹法,式中,p,1,p,2,p,n,，为开环极点，,z,1,z,2,z,m,为开环零点。这样，系统的闭环特征方程可以表示为：,上式变形：,4.2.1,开环零极点与相角条件,4.2,绘制典型根轨迹,系统的开环传递函数为：,典型根轨迹方程,第四章 根轨迹法,所以，幅值条件为：,相角条件为：,上式也可写成：,第四章 根轨迹法,（,2,）在复平面上任取一试验点,S,，画出由开环零点和开环极点至,S,的矢量。,按相角条件绘制根轨迹的具体方法,:,（,1,）在复平面上标出开环极点和开环零点,第四章 根轨迹法,（,4,）计算各矢量的模和幅角，如果,S,是根轨迹上的一点，则必然满足相角条件：,（,4,）当,S,为根轨迹上的一点时，可以求得开环增益：,（,3,）标出各开环零、极点至实验点的幅角,第四章 根轨迹法,1,、起点和终点,根轨迹一定开始于开环极点，终止于开环零点。,当,n=m,时：开始于,n,个开环极点的,n,条根轨迹，正好终止于,m,个开环零点。,终点,K,：特征方程的根就是它的,m,个开环零点。,4.2.2,基本规则,起点,K,=0,：特征方程的根就是它的,n,个开环极点，,变形：,第四章 根轨迹法,当,n,m,：开始于,n,个开环极点的,n,条根轨迹，有,m,支终止于开环零点，有,n-m,支终止于无穷远处（无穷远零）,第四章 根轨迹法,2,、分支数和对称性,根轨迹的分支数与开环零点数,m,和开环极点数,n,中的大者相等，它们是连续的并且一定对称于实轴。,根据根轨迹的定义，当,K,连续变化时,特征方程的根也必然是连续变化的，故,根轨迹具有连续性,。,因为根轨迹是闭环特征方程的根，所以,根轨迹的分支数必定等于闭环特征方程的根的数目,。无论,K,如何变化特征方程始终有,max(,n,m,),个根，所以根轨迹一定有,max,(,n,m,),支。,特征方程的根要么是实根（在实轴上）要么是共轭复根（对称于实轴），所以,根轨迹一定对称于实轴,。,第四章 根轨迹法,3,、渐近线,当,nm,时，根轨迹一定有,n-m,条趋向无穷远；当,nm,时，根轨迹一定有,m-n,条来自无穷远。可以证明：当,nm,时，根轨迹存在,|,n,m,|,条渐近线，且渐近线与实轴的夹角为：,所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为：,第四章 根轨迹法,4,、实轴上的根轨迹,实轴上的开环零、极点将实轴分段，其中任一段，如果其,右边实轴,上的开环零、极点总数是奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。,依据本法则，图中,z,1,和,p,1,之间、,z,2,和,p,4,之间以及,z,3,和,-,之间的实轴部分，都是根轨迹的一部分。,第四章 根轨迹法,对,s,0,右边实轴上所有开环零、极点来说：,满足相角条件。,考虑实轴上的,s,0,，任,一对共轭开环零点或共轭极点,（如,p,2,p,3,）,对应的相角（,2,3,）之和均为,360,0,；,对,s,0,，其,左边实轴上任一开环零、极点对应的相角均为,0,0,，其,右边实轴上任一开环零、极点对应的相角均为,180,0,。,第四章 根轨迹法,例题,1,，某控制系统的开环传递函数为,试画出实轴上的根轨迹和,s,时的渐进线。,解,：（,1,）在图上标出开环函数极点,p,1,=0,，,p,2,=-1,，,p,3,=-4,(2),在实轴上,(-1,0),和,(-,-4),区间之右的实数零、极点数之和为奇数，故这两个区间的实轴是根轨迹。,（,3,）本例,n=3,，,m=0,，故有三条根轨迹在,K,时伸向无穷远，渐进线与实轴的交点为,第四章 根轨迹法,6,、根轨迹的分离点,实轴上的根轨迹相向运动，在,A,点相遇后进入复平面,复平面内的一对共轭复数根轨迹在实轴相遇,B,，然后趋向实轴上的零点,5,、根轨迹与虚轴的交点,将,s=j,代入闭环特征方程，令特征方程的实部和虚部分别等于零，可以解出,0,和,K,0,。,用劳斯（,Roth,）判据也可以求得,K,0,第四章 根轨迹法,位于实轴上的两个,相邻的开环极点之间一定有分离点,，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止于另一个开环极点。同理，位于实轴上的,两个相邻的开环零点之间也一定有分离点,。,分离点的座标,，是下列代数方程的解：,说明：上式只是必要条件而非充分条件，也就是说它的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它规则。,第四章 根轨迹法,定理：若系统有,2,个开环极点，,1,个开环零点，且在复平面存在根轨迹，则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。,第四章 根轨迹法,7,、根轨迹的出射角和入射角,根轨迹从某个开环极点出发时的,切线与正实轴,的,夹角,称为出射角，根轨迹从开环极点,p,i,出发的出射角为：,根轨迹进入某个开环零点的,切线与正实轴,的夹角称为入射角，根轨迹进入开环零点,Z,l,的入射角为：,第四章 根轨迹法,按,7,个基本规则绘制根轨迹图：,首先，系统有三个无穷远零点，有三个开环极点：,p,1,=0,，,p,2,=-1,，,p,3,=-2,，将它们标在复平面上。,4.2.3,绘图示例,根据规则,1),和,2),，根轨迹将有,3,支，分别开始于这三个开环极点，趋向无穷远。,第四章 根轨迹法,根据规则,3),，根轨迹有,3,根渐近线，它们与实轴的夹角是：,所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为：,根据规则,4),，实轴上的,-1,0,，,(-,-2,段是根轨迹的一部分。,第四章 根轨迹法,根据规则,5),，确定根轨迹与虚轴交点,令上式中的实部和虚部分别等于零，可以得到：,=0,K,=0,或,因此，根轨迹在 处与虚轴相交，并且交点处,K,=,6,。,实轴上的根轨迹在,=0,处也与虚轴相交。,令特征方程中的,s,=,j,得：,K=6,K=6,第四章 根轨迹法,根轨迹在实轴上的,-1,，,0,段一定有一个分离点，根据规则（,6,），解,整理得,解得,=,-,0.423,=-,1.577,，显然只有,-,0.423,在根轨迹上，所以分离点为,-,0.423,。,第四章 根轨迹法,根轨迹从,p,1,p,2,p,3,出发的出射角已经很明确，为了验证规则（,7,），我们还是计算一下：,以上根据基本规则画出的根轨迹仍然是概略图，它在实轴上的根轨迹、渐近线、与虚轴的交点是准确的，其它部分就不准确了。,第四章 根轨迹法,图,4-5,（手工）,图,4-5,（,matlab,）,第四章 根轨迹法,29,4.3.1,不以增益,K,为参量的根轨迹图,4.4,特殊根轨迹图,常规（典型）根轨迹方程为,第四章 根轨迹法,30,1,、开环零点为参量的根轨迹,上式两边同除,s,(1+5,s,)+5,得：,所以，等价为典型根轨迹方程后，相当于：,n,=2,m,=1,z,1,=0,p,1,2,=-0.1j0.995,上式等价为：,系统闭环特征方程为：,图,4-7(a),第四章 根轨迹法,31,按基本规则绘制即可：,（,1,）起点,:,p,1,2,=-0.1j0.995,（,2,）终点：,z,1,=0,，,z,2,为无穷远零点,（,3,）渐近线：一条，与实轴的夹角为,180,0,，交与实轴的,-0.2,处,（,4,）实轴上的跟轨迹区间为（,-,，,0,）,（,5,）分离点,解得：,第四章 根轨迹法,32,注意：这里的,z,1,p,1,p,2,并不是图,4-7a,所示系统的开环零、极点，而是等价为典型根轨迹方程后，,等价系统的开环零、极点,，这是与典型根轨迹的主要区别。,第四章 根轨迹法,33,例,2,系统开环传递函数,解,.(1),渐近线：,实轴根轨迹：,-,0,，,a=0,变化，,绘制根轨迹,分离点：,与虚轴交点：,构造,“,等效开环传递函数,”,第四章 根轨迹法,34,2,、开环极点为参量的根轨迹,两边同除以,s,(,s,+1)+,K,，得：,上式中,K,取固定常数，,T,作为参量，它就是典型根轨迹方程的形式，相当于,n,=2,m,=3,n0,）：,这时特征方程变成：,对应的相角条件变成：,4.3.2,正反馈系统的根轨迹,第四章 根轨迹法,38,由于相角条件的改变，导致基本规则的,3,、,4,和,7,必须修改为如下的,3P,、,4P,和,7P,：,3P,、渐近线与实轴的夹角为：,4P,、实轴上的某一段如果其右边实轴上的,开环零、极点总数是偶数,，那么该段就一定是根轨迹的一部分。,7P,、根轨迹的出射角和入射角公式中的,180,0,均改为,360,0,。,第四章 根轨迹法,39,例,4-3,考虑图示系统,设其中,:,试绘制系统的根轨迹图。,解：,(1),在复平面上画出开环零、极点,p,1,=-1+j,，,p,2,=-1-j,，,p,3,=-3,，,z,1,=-2,(2),实轴上根轨迹存在于,(-2,+),及,(-3,-),之间,(3),根轨迹的渐进线，本例有,n-m=2,条根轨迹趋于无穷，其交角,第四章 根轨迹法,40,与实轴的交点,表明：两条渐进线从,-1.5,开始沿实轴趋于无穷。,(4),确定分离点。由方程：,得：,第四章 根轨迹法,41,(5),确定出射角。对于,p,1,点，,对于,p,2,点，由于对称,第四章 根轨迹法,42,4.3.1,不以增益,K,为参量的根轨迹图,4.4,特殊根轨迹图,常规（典型）根轨迹方程为,第四章 根轨迹法,43,1,、开环零点为参量的根轨迹,上式两边同除,s,(1+5,s,)+5,得：,所以，等价为典型根轨迹方程后，相当于：,n,=2,m,=1,z,1,=0,p,1,2,=-0.1j0.995,上式等价为：,系统闭环特征方程为：,图,4-7(a),第四章 根轨迹法,44,按基本规则绘制即可：,（,1,）起点,:,p,1,2,=-0.1j0.995,（,2,）终点：,z,1,=0,，,z,2,为无穷远零点,（,3,）渐近线：一条，与实轴的夹角为,180,0,，交与实轴的,-0.2,处,（,4,）实轴上的跟轨迹区间为（,-,，,0,）,（,5,）分离点,解得：,第四章 根轨迹法,45,注意：这里的,z,1,p,1,p,2,并不是图,4-7a,所示系统的开环零、极点，而是等价为典型根轨迹方程后，,等价系统的开环零、极点,，这是与典型根轨迹的主要区别。,第四章 根轨迹法,46,例,2,系统开环传递函数,解,.(1),渐近线：,实轴根轨迹：,-,0,，,a=0,变化，,绘制根轨迹,分离点：,与虚轴交点：,构造,“,等效开环传递函数,”,第四章 根轨迹法,47,2,、开环极点为参量的根轨迹,两边同除以,s,(,s,+1)+,K,，得：,上式中,K,取固定常数，,T,作为参量，它就是典型根轨迹方程的形式，相当于,n,=2,m,=3,n0,）：,这时特征方程变成：,对应的相角条件变成：,4.3.2,正反馈系统的根轨迹,第四章 根轨迹法,51,由于相角条件的改变，导致基本规则的,3,、,4,和,7,必须修改为如下的,3P,、,4P,和,7P,：,3P,、渐近线与实轴的夹角为：,4P,、实轴上的某一段如果其右边实轴上的,开环零、极点总数是偶数,，那么该段就一定是根轨迹的一部分。,7P,、根轨迹的出射角和入射角公式中的,180,0,均改为,360,0,。,第四章 根轨迹法,52,例,4-3,考虑图示系统,设其中,:,试绘制系统的根轨迹图。,解：,(1),在复平面上画出开环零、极点,p,1,=-1+j,，,p,2,=-1-j,，,p,3,=-3,，,z,1,=-2,(2),实轴上根轨迹存在于,(-2,+),及,(-3,-),之间,(3),根轨迹的渐进线，本例有,n-m=2,条根轨迹趋于无穷，其交角,第四章 根轨迹法,53,与实轴的交点,表明：两条渐进线从,-1.5,开始沿实轴趋于无穷。,(4),确定分离点。由方程：,得：,第四章 根轨迹法,54,(5),确定出射角。对于,p,1,点，,对于,p,2,点，由于对称,第四章 根轨迹法,55,在这些情况下，将闭环特征方程进行变形，,构造,“,等效开环传递函数,”,一、不以增益,K,为参量的根轨迹图,然后就可以套用典型根轨迹的方法来绘制根轨迹图了。,课程回顾,（,1,）,第四章 根轨迹法,56,1,、开环零点为参量的根轨迹,上式两边同除,s,(1+5,s,)+5,得：,所以，等价为典型根轨迹方程后，相当于：,n,=2,m,=1,z,1,=0,p,1,2,=-0.1j0.995,上式等价为：,系统闭环特征方程为：,课程回顾,（,2,）,第四章 根轨迹法,57,2,、开环极点为参量的根轨迹,两边同除以,s,(,s,+1)+,K,，得：,系统闭环特征方程为：,课程回顾,（,3,）,上式等价为：,第四章 根轨迹法,58,3P,、渐近线与实轴的夹角为：,4P,、实轴上的某一段如果其右边实轴上的,开环零、极点总数是偶数,，那么该段就一定是根轨迹的一部分。,7P,、根轨迹的出射角和入射角公式中的,180,0,均改为,360,0,。,3,、正反馈系统的根轨迹（修改部分基本规则）,课程回顾,（,4,）,第四章 根轨迹法,59,4.5,控制系统的根轨迹分析,4.5.1,根轨迹与稳定性,1,、当,K,在,(0,，,),间取值时，如果,n,支根轨迹全部位于虚轴的左边，就意味着不管,K,取任何值闭环系统都是稳定的。,系统稳定与否，可以通过对其根轨迹的分析来确定,第四章 根轨迹法,60,2,、根轨迹只要有一支全部位于虚轴的右边，就意味着不管,K,取何值，闭环系统都不稳定。,第四章 根轨迹法,61,3,、根轨迹只要有一支穿越虚轴，就说明闭环系统的稳定是有条件的，知道了根轨迹与虚轴交点的,K,值，就可以确定稳定条件，进而确定合适的,K,值。,由图知：当,0,K,6,时，系统不稳定。,第四章 根轨迹法,62,4.5.2,开环零极点对系统的影响,在系统开环函数,G,(,s,),H,(,s,),中，增加零点,z,l,，相当于加入一阶微分环节,s,-,z,l,；增加极点,p,i,，相当于加入一个惯性环节,1/(,s,-,p,i,),;,1,、增加开环极点的影响,例如，单位负反馈系统的开环传递函数为,其根轨迹图为：,无论,K,为何值，闭环系统都是稳定的！,图,(1),第四章 根轨迹法,63,给系统增加一个极点,p,i,=-2,，图,(2),即为所对应的根轨迹图,这时，闭环系统稳定的条件为：,0K5.92,图,(2),第四章 根轨迹法,64,图,(3),给系统增加一个极点,p,i,=-0.5,，图,(3),即为所对应的根轨迹图。,这时，闭环系统稳定的条件为：,0K0.74,比较图,(2),和图,(3),可知,，随着增加的开环极点向虚轴的靠近，闭环系统的稳定范围变小，稳定性能下降。,第四章 根轨迹法,65,图,(4),给系统增加一个极点,p,i,=0,，图,(4),即为所对应的根轨迹图。,无论,K,为何值，闭环系统都不能稳定！,结论：在开环传递函数上,增加极点，使系统的稳定性变差。且系统的稳定性和增加的极点位置靠近虚轴的远近有关。,第四章 根轨迹法,66,2,、增加开环零点的影响,在开环传递函数上,增加零点,z,l,，可以使根轨迹向左方弯曲,，,因而提高了系统的相对稳定性。而且这种,向左弯曲的趋势，随着增加零点的右移而加剧,。,例如，单位负反馈系统的开环传递函数为,闭环系统稳定的条件,0K4,图,(1),第四章 根轨迹法,67,图,(2),给系统增加一个零点,z,l,=-2,，图,(2),即为所对应的根轨迹图。,无论,K,为何值，闭环系统都是稳定的！,第四章 根轨迹法,68,例如，三阶系统的开环传递函数为：,4.5.3,零、极点相消问题,(a),在设计控制系统时，常用控制器的零（极）点去抵消被控对象的极（零）点，从而提高系统的稳定性能,系统的根轨迹为,第四章 根轨迹法,69,如果附加一个零点,z,1,=-1,，这时系统的传函变成：,可见系统的稳定性大大提高了。,(b),(a),其根轨迹图为,第四章 根轨迹法,70,根轨迹图清楚地表示：尽管存在建模误差，附加零点仍然提高了系统的稳定性。,考虑建模误差的影响：假设实际,p,1,=-0.8,，却按,p,1,=-1,建模，这样零极点不能正好抵消，这时：根轨迹变成图,c,；,p,1,=-1.2,根轨迹变成图,d,。,(c),(d),第四章 根轨迹法,71,如果用一个零点去低消系统的不稳定极点，可能使系统变的不稳定,说明,例如，三阶系统的开环传递函数为：,如果用一个零点,z,1,=1,去低消系统的不稳定极点,p,1,=1,零极点正好相消，稳定性提高了,第四章 根轨迹法,72,考虑建模误差：假设实际,p,1,=,0.8,，根轨迹为图,f,零极点不正好相消，系统不稳定。可见：不宜用零极点相消法去抵消系统的不稳定极点或零点,第四章 根轨迹法,73,系统的动态性能最终体现在时间响应上，影响时间响应的因素有两个：,1),闭环传递函数,主要影响时间响应的暂态分量,2),输入函数,主要影响时间响应的稳态分量,闭环极点,s,i,（以区别于开环极点,p,i,）在,S,平面上不同位置所对应的暂态分量，其规律可以总结为：,4.5.4,闭环零极点与时间响应,（,1,）闭环极点与时间响应,第四章 根轨迹法,74,1),左右分布决定终值。,j,s,i,位于虚轴左边：暂态分量最终衰减到零；,s,i,位于虚轴右边：暂态分量一定发散；,s,i,位于虚轴：暂态分量为等幅振荡。,2),虚实分布决定振型。,s,i,位于实轴上：暂态分量为非周期运动；,s,i,位于虚轴上：暂态分量为周期运动。,3),远近分布决定快慢。,s,i,位于虚轴左边时，离虚轴愈远过渡过程衰减得愈快。所以离虚轴最近的闭环极点主宰系统响应的时间最长，被称为主导极点。,第四章 根轨迹法,75,主导极点一般安排为一对共轭复数极点,，位于如图所示,虚轴左边,60,o,扇形区内,，且离虚轴有一定的距离，其理由在于：,1,）闭环主导极点为共轭复数，使闭环系统的动态性能与一个二阶欠阻尼系统相似。欠阻尼系统具有较快的反应速度。,第四章 根轨迹法,76,3,）离虚轴一定的距离保证了足够的稳定裕度。稳定裕度太小，在实际应用时可能系统不稳定。,2,）阻尼系数太大、太小都不合适，,60,o,扇形区意味着阻尼系数不小于,cos60=0.5,，一般认为最佳阻尼系数是,0.707,。,第四章 根轨迹法,控制系统的稳定性是由其闭环传递函数的极点（特征根,P,i,）所决定的。要使系统稳定，则系统的特征根（闭环极点）必须在,s,复平面的,左半平面内,。,第四章 根轨迹法,第四章,根轨迹法,根轨迹法,不直接求解特征方程，而是用复平面上的系统的,开环零、极点,来确定系统的,闭环零、极点,的图解方法。,特点,：,（,1,）图解方法，直观、形象。,（,2,）适用于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化趋势。,（,3,）近似方法，不十分精确。,第四章 根轨迹法,如图所示单位负反馈控制系统，其开环传递函数为,4.1,根轨迹的基本概念,4.1.1,根轨迹,该系统的开环极点为,P,1,=0,，,P,2,=-1,。,系统的闭环传递函数：,系统的特征方程：,第四章 根轨迹法,第四章 根轨迹法,根轨迹是指,系统中某个参数的数值从零变到无穷大时，系统闭环特征方程的根在复平面上的变化轨迹,。,(1),当,0K0.25,时，闭环系统的两个特征根为相异负实根，此时系统为过阻尼状态,(2),当,K=0.25,时，特征根为两个相等的负实根，此时系统为临界状态,(3),当,0.25 K,时，特征根为一对具有负实部的共轭复根，此时系统为欠阻尼状态,第四章 根轨迹法,4.2.2,根轨迹的幅值条件和相角条件,闭环特征方程为：,第四章 根轨迹法,既满足幅值条件又满足相角条件的,S,值就是特征方程的一组根，,也就是一组闭环极点,。,根轨迹上的所有点满足同一个相角条件，,K,变动，相角条件是不变的。,所以，绘制根轨迹可以这样进行,首先在,S,平面上找出所有符合相角条件的点，这些点连成的曲线就是根轨迹，,然后反过来按幅值条件求出根轨迹上任一点的,K,值。,第四章 根轨迹法,式中,p,1,p,2,p,n,，为开环极点，,z,1,z,2,z,m,为开环零点。这样，系统的闭环特征方程可以表示为：,上式变形：,4.2.1,开环零极点与相角条件,4.2,绘制典型根轨迹,系统的开环传递函数为：,典型根轨迹方程,第四章 根轨迹法,所以，幅值条件为：,相角条件为：,上式也可写成：,第四章 根轨迹法,（,2,）在复平面上任取一试验点,S,，画出由开环零点和开环极点至,S,的矢量。,按相角条件绘制根轨迹的具体方法,:,（,1,）在复平面上标出开环极点和开环零点,第四章 根轨迹法,（,4,）计算各矢量的模和幅角，如果,S,是根轨迹上的一点，则必然满足相角条件：,（,4,）当,S,为根轨迹上的一点时，可以求得开环增益：,（,3,）标出各开环零、极点至实验点的幅角,第四章 根轨迹法,1,、起点和终点,根轨迹一定开始于开环极点，终止于开环零点。,当,n=m,时：开始于,n,个开环极点的,n,条根轨迹，正好终止于,m,个开环零点。,终点,K,：特征方程的根就是它的,m,个开环零点。,4.2.2,基本规则,起点,K,=0,：特征方程的根就是它的,n,个开环极点，,变形：,第四章 根轨迹法,当,n,m,：开始于,n,个开环极点的,n,条根轨迹，有,m,支终止于开环零点，有,n-m,支终止于无穷远处（无穷远零）,第四章 根轨迹法,2,、分支数和对称性,根轨迹的分支数与开环零点数,m,和开环极点数,n,中的大者相等，它们是连续的并且一定对称于实轴。,根据根轨迹的定义，当,K,连续变化时,特征方程的根也必然是连续变化的，故,根轨迹具有连续性,。,因为根轨迹是闭环特征方程的根，所以,根轨迹的分支数必定等于闭环特征方程的根的数目,。无论,K,如何变化特征方程始终有,max(,n,m,),个根，所以根轨迹一定有,max,(,n,m,),支。,特征方程的根要么是实根（在实轴上）要么是共轭复根（对称于实轴），所以,根轨迹一定对称于实轴,。,第四章 根轨迹法,3,、渐近线,当,nm,时，根轨迹一定有,n-m,条趋向无穷远；当,nm,时，根轨迹一定有,m-n,条来自无穷远。可以证明：当,nm,时，根轨迹存在,|,n,m,|,条渐近线，且渐近线与实轴的夹角为：,所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为：,第四章 根轨迹法,4,、实轴上的根轨迹,实轴上的开环零、极点将实轴分段，其中任一段，如果其,右边实轴,上的开环零、极点总数是奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。,依据本法则，图中,z,1,和,p,1,之间、,z,2,和,p,4,之间以及,z,3,和,-,之间的实轴部分，都是根轨迹的一部分。,第四章 根轨迹法,对,s,0,右边实轴上所有开环零、极点来说：,满足相角条件。,考虑实轴上的,s,0,，任,一对共轭开环零点或共轭极点,（如,p,2,p,3,）,对应的相角（,2,3,）之和均为,360,0,；,对,s,0,，其,左边实轴上任一开环零、极点对应的相角均为,0,0,，其,右边实轴上任一开环零、极点对应的相角均为,180,0,。,第四章 根轨迹法,例题,1,，某控制系统的开环传递函数为,试画出实轴上的根轨迹和,s,时的渐进线。,解,：（,1,）在图上标出开环函数极点,p,1,=0,，,p,2,=-1,，,p,3,=-4,(2),在实轴上,(-1,0),和,(-,-4),区间之右的实数零、极点数之和为奇数，故这两个区间的实轴是根轨迹。,（,3,）本例,n=3,，,m=0,，故有三条根轨迹在,K,时伸向无穷远，渐进线与实轴的交点为,第四章 根轨迹法,6,、根轨迹的分离点,实轴上的根轨迹相向运动，在,A,点相遇后进入复平面,复平面内的一对共轭复数根轨迹在实轴相遇,B,，然后趋向实轴上的零点,5,、根轨迹与虚轴的交点,将,s=j,代入闭环特征方程，令特征方程的实部和虚部分别等于零，可以解出,0,和,K,0,。,用劳斯（,Roth,）判据也可以求得,K,0,第四章 根轨迹法,位于实轴上的两个,相邻的开环极点之间一定有分离点,，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止于另一个开环极点。同理，位于实轴上的,两个相邻的开环零点之间也一定有分离点,。,分离点的座标,，是下列代数方程的解：,说明：上式只是必要条件而非充分条件，也就是说它的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它规则。,第四章 根轨迹法,定理：若系统有,2,个开环极点，,1,个开环零点，且在复平面存在根轨迹，则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。,第四章 根轨迹法,课程回顾,（,1,）,根轨迹：,系统某一参数由,0 ,变化时，系统闭环极点在,s,平面相应变化所描绘出来的轨迹,闭环极点,与开环零点、开环极点及,K*,均有关,相角条件：,幅值条件：,根轨迹方程,根轨迹增益,闭环零点,=,前向通道零点,+,反馈通道极点,第四章 根轨迹法,1,、起点和终点,根轨迹一定开始于开环极点，终止于开环零点。,课程回顾,（,2,）,2,、分支数和对称性,根轨迹的分支数与开环零点数,m,和开环极点数,n,中的大者相等，它们是连续的并且一定对称于实轴。,3,、渐近线,第四章 根轨迹法,4,、实轴上的根轨迹,实轴上的开环零、极点将实轴分段，其中任一段，如果其,右边实轴,上的开环零、极点总数是奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。,课程回顾,（,3,）,所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为：,第四章 根轨迹法,6,、根轨迹的分离点,实轴上的根轨迹相向运动，在,A,点相遇后进入复平面,复平面内的一对共轭复数根轨迹在实轴相遇,B,，然后趋向实轴上的零点,5,、根轨迹与虚轴的交点,将,s=j,代入闭环特征方程，令特征方程的实部和虚部分别等于零，可以解出,0,和,K,0,。,用劳斯（,Roth,）判据也可以求得,K,0,课程回顾,（,4,）,第四章 根轨迹法,定理：若系统有,2,个开环极点，,1,个开环零点，且在复平面存在根轨迹，则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。,课程回顾,（,5,）,第四章 根轨迹法,7,、根轨迹的出射角和入射角,根轨迹从某个开环极点出发时的,切线与正实轴,的,夹角,称为出射角，根轨迹从开环极点,p,i,出发的出射角为：,根轨迹进入某个开环零点的,切线与正实轴,的夹角称为入射角，根轨迹进入开环零点,Z,l,的入射角为：,第四章 根轨迹法,按,7,个基本规则绘制根轨迹图：,首先，系统有三个无穷远零点，有三个开环极点：,p,1,=0,，,p,2,=-1,，,p,3,=-2,，将它们标在复平面上。,4.2.3,绘图示例,根据规则,1),和,2),，根轨迹将有,3,支，分别开始于这三个开环极点，趋向无穷远。,第四章 根轨迹法,根据规则,3),，根轨迹有,3,根渐近线，它们与实轴的夹角是：,所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为：,根据规则,4),，实轴上的,-1,0,，,(-,-2,段是根轨迹的一部分。,第四章 根轨迹法,根据规则,5),，确定根轨迹与虚轴交点,令上式中的实部和虚部分别等于零，可以得到：,=0,K,=0,或,因此，根轨迹在 处与虚轴相交，并且交点处,K,=,6,。,实轴上的根轨迹在,=0,处也与虚轴相交。,令特征方程中的,s,=,j,得：,K=6,K=6,第四章 根轨迹法,根轨迹在实轴上的,-1,，,0,段一定有一个分离点，根据规则（,6,），解,整理得,解得,=,-,0.423,=-,1.577,，显然只有,-,0.423,在根轨迹上，所以分离点为,-,0.423,。,第四章 根轨迹法,根轨迹从,p,1,p,2,p,3,出发的出射角已经很明确，为了验证规则（,7,），我们还是计算一下：,以上根据基本规则画出的根轨迹仍然是概略图，它在实轴上的根轨迹、渐近线、与虚轴的交点是准确的，其它部分就不准确了。,第四章 根轨迹法,图,4-5,（手工）,图,4-5,（,matlab,）,第四章 根轨迹法,例,1,已知系统结构图，绘制根轨迹。,解：,渐近线：,实轴上的根轨迹：,-,0,与虚轴交点：,出射角：,