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单击此处编辑母版标题样式,离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT),第,章,文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。,3.1 学习要点与重要公式,3.1.1 学习要点,（1）DFT的定义和物理意义，DFT和FT、ZT之间的关系；,（2）DFT的重要性质和定理：隐含周期性、循环移位性质、共轭对称性、实序列,DFT的特点、循环卷积定理、离散巴塞伐尔定理；,（3）频率域采样定理；,（4）FFT的基本原理及其应用。,3.1.2 重要公式,1）定义,k,=0,1,N,1,k,=0,1,N,1,2）隐含周期性,3）线性性质,若,，则,4）时域循环移位性质,5)频域循环移位性质,6）循环卷积定理,循环卷积：,L,x,(,n,),循环卷积的矩阵表示：,循环卷积定理：若,y,c,(,n,)=,h,(,n,),L x,(,n,),则,Y,c,(,k,)=DFT,y,c,(,n,),L,=,H,(,k,),X,(,k,),k,=0,1,2,L,1,其中,H,(,k,)=DFT,h,(,n,),L,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),L,6)离散巴塞伐尔定理,7）共轭对称性质,(1)长度为,N,的共轭对称序列,x,ep,(,n,)与反共轭对称序列,x,op,(,n,):,序列,x,(,n,)的共轭对称分量与共轭反对称分量：,（2）如果,x,(,n,)=,x,r,(,n,)+j,x,i,(,n,),且,X,(,k,)=,X,ep,(,k,)+,X,op,(,k,),则,X,ep,(,k,)=DFT,x,r,(,n,),X,op,(,k,)=DFTj,x,i,(,n,),（3）如果,x,(,n,)=,x,ep,(,n,)+,x,op,(,n,),且,X,(,k,)=,X,r,(,k,)+j,X,i,(,k,),则,X,r,(,k,)=DFT,x,ep,(,n,),j,X,i,(,k,)=DFT,x,op,(,n,),（4）实序列DFT及FT的特点:假设,x,(,n,)是实序列，,X,(,k,)=DFT,x,(,n,)，则,X,(,k,)=,X,*,(,N,k,),|,X,(,k,)|=|,X,(,N,k,)|,(,k,)=,(,N,k,),3.2 频 率 域 采 样,我们知道，时域采样和频域采样各有相应的采样定理。频域采样定理包含以下内容:,（1）设,x,(,n,)是任意序列，,X,(e,j,)=FT,x,(,n,)，对,X,(e,j,)等间隔采样得到,k,=0，1，2，3，,N,1,则,(2)如果,x,(,n,)的长度为,M,，只有当频域采样点数,N,M,时，,x,N,(,n,)=,x,(,n,)，否则,会发生时域混叠，,x,N,(,n,),x,(,n,)。,通过频率域采样得到频域离散序列,x,N,(,k,)，再对,x,N,(,k,)进行IDFT得到的序列,x,N,(,n,)应是原序列,x,(,n,)以采样点数,N,为周期进行周期化后的主值区序列，这一概念非常重要。,(3)如果在频率域采样的点数满足频率域采样定理，即采样点数,N,大于等于序列的长度,M,，则可以用频率采样得到的离散函数,X,(,k,)恢复原序列的Z变换,X,(,z,)，公式为,式中,上面第一式称为,z,域内插公式，第二式称为内插函数。,3.3 循环卷积和线性卷积的快速计算,以及信号的频谱分析,3.3.1 循环卷积的快速计算,如果两个序列的长度均不很长，可以直接采用循环卷积的矩阵乘法计算其循环卷积；如果序列较长，可以采用快速算法。快速算法的理论基础是循环卷积定理。设,h,(,n,)的长度为,N,，,x,(,n,)的长度为,M,计算,y,c,(,n,)=,h,(,n,),L x,(,n,)的快速算法如下：,（1）计算,k,=0,1,2,3,，,L,1，,L,=max,N,M,（2）计算,Y,c,(,k,)=,H,(,k,),X,(,k,),k,=0,1,2,L,1,（3）计算,y,c,(,n,)=IDFT,Y,c,(,k,),L,n,=0,1,2,L,1,说明：如上计算过程中的DFT和IDFT均采用FFT算法时，才称为快速算法，否则比直接在时域计算循环卷积的运算量大3倍以上。,3.3.2 线性卷积的快速计算快速卷积法,序列,h,(,n,)和,x,(,n,)的长度分别为,N,和,M,，,L,=,N,+,M,1，求,y,(,n,)=,h,(,n,)*,x,(,n,)的方法如下：,（1）在,h,(,n,)的尾部加,L,N,个零点，在,x,(,n,)的尾部加,L,M,个零点；,（2）计算,L,点的,H,(,k,)=FFT,h,(,n,)和,L,点的,X,(,k,)=FFT,x,(,n,);,（3）计算,Y,(,k,)=,H,(,k,),X,(,k,)；,（4）计算,Y,(,n,)=IFFT,Y,(,k,)，,n,=0，1，2，3，,L-,1。,但当,h,(,n,)和,x,(,n,)中任一个的长度很长或者无限长时，需用书上介绍的重叠相加法和重叠保留法。,3.3.3 用DFT/FFT进行频谱分析,对序列进行,N,点的DFT/FFT就是对序列频域的N点离散采样，采样点的频率为,k,=2,k,/,N,k,=0,1,2,N,1。对信号进行频谱分析要关心三个问题：频谱分辨率、频谱分析范围和分析误差。DFT的分辨率指的是频域采样间隔2/,N,，用DFT/FFT进行频谱分析时，在相邻采点之间的频谱是不知道的，因此频率分辨率是一个重要指标，希望分辨率高，即2/,N,要小，DFT的变换区间,N,要大。,当然，截取信号的长度要足够长。但如果截取的长度不够长，而依靠在所截取的序列尾部加零点，增加变换区间长度，也不会提高分辨率。例如，分析周期序列的频谱，只观察了一个周期的1/4长度，用这些数据进行DFT，再通过尾部增加零点，加大DFT的变换区间,N,，也不能分辨出是周期序列，更不能得到周期序列的精确频率。,用DFT/FFT对序列进行频谱分析，频谱分析范围为;用DFT/FFT对模拟信号进行频谱分析，频谱分析范围为采样频率的一半，即0.5,F,s,。,用DFT/FFT对信号进行谱分析的误差表现在三个方面，即混叠现象、栅栏效应和截断效应。截断效应包括泄漏和谱间干扰。,3.4 例 题,例3.4.1,设,x,(,n,)为存在傅里叶变换的任意序列，其Z变换为,X,(,z,)，,X,(,k,)是对,X,(,z,)在单位圆上的,N,点等间隔采样，即,求,X,(,k,)的,N,点离散傅里叶逆变换（记为,x,N,(,n,)）与,x,(,n,)的关系式。,解,:由题意知,即,X,(,k,)是对,X,(e,j,)在0,2上的,N,点等间隔采样。由于,X,(e,j,)是以2为周期的，所以采样序列,即以,N,为周期。所以它必然与一周期序列相对应，为的DFS系数。,为了导出与,x,(,n,)之间的关系，应将上式中的,用,x,(,n,)表示：,所以,因为,所以,即是,x,(,n,)的周期延拓序列，由DFT与DFS的关系可得出,x,N,(,n,)=IDFT,X,(,k,)为,x,(,n,)的周期延拓序列（以,N,为延拓周期）的主值序列。以后这一结论可以直接引用。,例3.4.2,已知,x,(,n,)=,R,8,(,n,),X,(e,j,)=FT,x,(,n,),对,X,(e,j,)采样得到,X,(,k,)，,求,解,：直接根据频域采样概念得到,例3.4.3,令,X,(,k,)表示,x,(,n,)的,N,点DFT，分别证明：（1）如果,x,(,n,)满足关系式,x,(,n,)=,x,(,N,1,n,),则,X,(0)=0,（2）当N为偶数时，如果,x,(,n,)=,x,(,N,1n),则,证 （1）直接按DFT定义即可得证。因为,所以,令,n,=,N,1,m,，则,式+式得,所以,X,(0)=0,（2）因为,x,(,n,)=,x,(,N,1,n,)，所以,令,m,=,N,1,n,，则上式可写成,当时（,N,为偶数），,因为,所以,因此证得,例3.4.4,有限时宽序列的,N,点离散傅里叶变换相当于其Z变换在单位圆上的,N,点等间隔采样。我们希望求出,X,(,z,)在半径为,r,的圆上的,N,点等间隔采样，即,试给出一种用DFT计算得到的算法。,解,:因为,所以,由此可见，先对,x,(,n,)乘以指数序列,r,n,，然后再进行,N,点DFT，即可得到题中所要求的复频域采样。,例3.4.5,长度为,N,的一个有限长序列,x,(,n,)的,N,点DFT为,X,(,k,)。另一个长度为2,N,的序列,y,(,n,)定义为,试用,X,(,k,)表示,y,(,n,)的2,N,点离散傅里叶变换,Y,(,k,)。,解,:该题可以直接按DFT定义求解。,上面最后一步采用的是,X,(,k,)以,N,为周期的概念。,例3.4.6,用DFT对模拟信号进行谱分析，设模拟信号,x,a,(,t,)的最高频率为200 Hz，以奈奎斯特频率采样得到时域离散序列,x,(,n,)=,x,a,(,nT,)，要求频率分辨率为10 Hz。假设模拟,信号频谱Xa(j,)如图3.4.1所示，试画出,X,(e,j,)=FT,x,(,n,)和,X,(,k,)=DFT,x,(,n,)的谱线图，并标出每个k值对应的数字频率,k,和模拟频率,f,k,的取值。,图3.4.1,解,:因为最高频率,f,max,=200 Hz，频率分辨率,F,=10 Hz，所以采样频率,f,s,为,观察时间,采样点数,N,=,T,f,s,=0.1400=40个,所以，对,x,a,(,t,)进行采样得,x,(,n,)=,x,a,(,nT,),n,=0,1,39,X,a,(j,f,)、,X,(e,j,)及,X,(,k,),N,分别如图3.4.2（a）、（b）、（c）所示。,图3.4.2,当,f,s,=2,f,max,时，,f,=,f,max,对应，,由 可求得 ；当,f,s,2,f,max,时，,f,max对应,的数字频率,=2,f,max,T,。,X,a,(i,f,)与,X,(,k,)的对应关系（由图3.4.2（a）、（c）可看出）为,该例题主要说明了模拟信号,x,a,(,t,)的时域采样序列,x,(,n,)的,N,点离散傅里叶变换,X,(,k,)与,x,a,(,t,)的频谱,X,a,(j,f,)之间的对应关,系。只有搞清该关系，才能由,X,(,k,)看出,X,a,(j,f,)的频谱特征。否则，即使计算出,X,(,k,)，也搞不清,X,(,k,)的第,k,条谱线对应于,X,a,(j,f,)的哪个频率点的采样，这样就达不到谱分析的目的。实际中，,X,(,k,)求出后，也可以将横坐标换算成模拟频率，换算公式为,f,k,=,kF,=,k,/(,NT,)。直接作,X,a,(,kF,)=,X,a,(,f,k,)=,TX,(,k,)谱线图。,例3.4.7,已知,x,(,n,)长度为,N,，,X,(,z,)=ZT,x,(,n,)。要求计算,X,(,z,)在单位圆上的,M,个等间隔采样。假定,M,N,，试设计一种计算,M,个采样值的方法，它只需计算一次,M,点DFT。,解,:这是一个典型的频域采样理论应用问题。根据频域采样、时域周期延拓以及DFT的惟一性概念，容易解答该题。,由频域采样理论知道，如果,即,X,(,k,)是,X,(,z,)在单位圆上的,M,点等间隔采样,则,当然,即首先将,x,(,n,)以,M,为周期进行周期延拓，取主值区序列,x,M,(,n,)，最后进行,M,点DFT则可得到,应当注意，,M,N,，所以周期延拓,x,(,n,)时，有重叠区，,x,M,(,n,)在重叠区上的值等于重叠在,n,点处的所有序列值相加。,显然，由于频域采样点数,M,N,，不满足频域采样定理，所以，不能由,X,(,k,)恢复,x,(,n,)，即丢失了,x,(,n,)的频谱信息。,例3.4.8,已知序列,x,(,n,)=,1,2,2,1,h,(,n,)=,3,2,1,1 （1）计算5点循环卷积,y,5,(,n,)=,x,(,n,),L,h,(,n,);（2）用计算循环卷积的方法计算线性卷积,y,(,n,)=,x,(,n,)*,h,(,n,)。解：(1)这里是2个短序列的循环卷积计算，可以用矩阵相乘的方法(即用教材第82页式(3.2.7)）计算，也可以用类似于线性卷积的列表法。因为要求5点循环卷积，因此每个序列尾部加一个零值点，按照教材式(3.2.7)写出,得到,y,5,(,n,)=,4,9,9,6,2。注意上面矩阵方程右边第一个55矩阵称为,x,(,n,)的循环矩阵，它的第一行是,x,(,n,)的5点循环倒相，第二行是第一行的向右循环移一位，第三行是第二行向右循环移一位，依次类推。,用列表法可以省去写矩阵方程，下面用列表法解：,表中的第一行是,h,(,n,)序列，第2、3、4、5、6行的前五列即是x(n)的循环矩阵的对应行。同样得到,y,5,(,n,)=,9,9,6,2。,（2）我们知道只有当循环卷积的长度大于等于线性卷积结果的长度时，循环卷积的结果才能等于线性卷积的结果。该题目中线性卷积的长度为,L,4+41=7，因此循环卷积的长度可选,L,=7，这样两个序列的尾部分别加3个零点后，进行7点循环卷积，其结果就是线性卷积的结果。即,得到,y,(,n,)=,x,(,n,)*,h,(,n,)=,3,8,9,6,2,1,1,例3.4.9,已知实序列,x,(,n,)和,y,(,n,)的DFT分别为,X,(,k,)和,Y,(,k,)，试给出一种计算一次IDFT就可得出,x,(,n,)和,y,(,n,)的计算方法。（选自2004年北京交通大学硕士研究生入学试题。）,解,：令,w,(,n,)=,x,(,n,)+j,y,(,n,),对其进行DFT，得到,W,(,k,)=,X,(,k,)+j,Y,(,k,),w,(,n,)=IDFT,W,(,k,),因为,x,(,n,)和,y,(,n,)分别为实序列，因此,x,(,n,)=Re,w,(,n,),y,(,n,)=Im,w,(,n,),例,3.4.10,已知,x,(,n,)(,n,=0，1，2，1023)，,h,(,n,)(,n,=0，1，2，15)。在进行线性卷积时，每次只能进行16点线性卷积运算。试问为了得到,y,(,n,)=,x,(,n,)*,h,(,n,)的正确结果，原始数据应作怎样处理，并如何进行运算。（选自1996年西安电子科技大学硕士研究生入学试题。）,解,：将,x,(,n,)进行分组后，采用书上介绍的重叠相加法。,x,(,n,)的长度为1024点，按照16分组，共分64组，记为,x,i,(,n,),i,=0,1,2,63。即,式中，,y,i,(,n,)=,x,i,(,n,)*,h,(,n,),i,=0,1,2,63。可以用FFT计算16点的线性卷积,y,i,(,n,)。最后结果,y,(,n,)的长度为1024+1611039。,例3.4.11,x,(,n,)是一个长度,M,=142的信号序列，即：,x,(,n,)=0，当,n,0或,n,M,时。现希望用,N,100的DFT来分析频谱。试问：如何通过一次,N,=100的DFT求得,k,=0,1,2,99；这样进行频谱分析是否存在误差？,解,：通过频率域采样得到频域离散函数，再对其进行IDFT得到的序列应是原序列,x,(,n,)以,N,为周期进行周期化后的主值序列。按照这一概念，在频域02采样100点，那么相应的时域应以100为周期进行延拓后截取主值区。该题要求用一次100点的DFT求得，可以用下式计算：,式中,k,对应的频率为。这样进行频谱分析存在误差，误差是因为时域混叠引起的。,3.5 教材第3章习题与上机题解答,1 计算以下序列的,N,点DFT，在变换区间0,n,N,1内，序列定义为,(1),x,(,n,)=1,(2),x,(,n,)=(,n,),(3),x,(,n,)=(,n,n,0,)0,n,0,N,(4),x,(,n,)=,R,m,(,n,)0,m,N,(5),(6),(7),x,(,n,)=e,j,0,n,R,N,(n),(8),x,(,n,)=sin(,0,n,),R,N,(,n,),(9),x,(,n,)=cos(,0,n,),R,N,(,N,),(10),x,(,n,)=,nR,N,(,n,),解,：,(1),（2）,（3）,(4),(5),0,k,N,1,(6),0,k,N,1,(7),或,（8）解法一 直接计算：,解法二,由DFT的共轭对称性求解。,因为,所以,所以,即,结果与解法一所得结果相同。此题验证了共轭对称性。,(9)解法一 直接计算:,解法二,由DFT共轭对称性可得同样结果。,因为,（10）解法一,上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解,X,(,k,)。因为,x,(,n,)=,nR,N,(,n,)，所以,x,(,n,),x,(,n,1),N,R,N,(,n,)+,N,(,n,)=,R,N,(,n,),等式两边进行DFT，得到,X,(,k,),X,(,k,),W,k,N,+,N,=,N,(,k,),故,当,k,=0时，可直接计算得出,X,(0)为,这样，,X,(,k,)可写成如下形式：,解法二,k,=0时，,k,0时，,所以，,，即,2 已知下列,X,(,k,)，求,x,(,n,)=IDFT,X,(,k,),(1),(2),其中，,m,为正整数，0,m,N,/2,N,为变换区间长度。,解:（1）,n,=0,1,N,1,(2),n,=0,1,N,1,3 已知长度为,N,=10的两个有限长序列：,做图表示,x,1,(,n,)、,x,2,(,n,)和,y,(,n,)=,x,1,(,n,)*,x,2,(,n,)，循环卷积区间长度,L,=10。,解,:,x,1,(,n,)、,x,2,(,n,)和,y,(,n,)=,x,1,(,n,)*,x,2,(,n,)分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示。,题3解图,4 证明DFT的对称定理，即假设,X,(,k,)=DFT,x,(,n,)，,证明,DFT,X,(,n,)=,N,x,(,N,k,),证：因为,所以,由于,所以,DFT,X,(,n,)=,N,x,(,N,k),k,=0,1,N,1,5 如果,X,(,k,)=DFT,x,(,n,)，证明DFT的初值定理,证:由IDFT定义式,可知,6 设x(n)的长度为N，且,X,(,k,)=DFT,x,(,n,)0,k,N,1,令,h,(,n,)=,x,(,n,),N,R,mN,(,n,),m,为自然数,H,(,k,)=DFT,h,(,n,),mN,0,k,mN,1,求H(k)与X(k)的关系式。,解:,H,(,k,)=DFT,h,(,n,)0,k,mN,1,令,n,=,n,+,lN,l,=0,1,m,1,n,=0,1,N,1,则,因为,所以,7 证明:若,x,(,n,)为实序列，,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),N,，则,X,(,k,)为共轭对称序列，即,X,(,k,)=,X,*（,N,k,)；若,x,(,n,)实偶对称，即,x,(,n,)=,x,(,N,n,)，则,X,(,k,)也实偶对称；若,x,(,n,)实奇对称，即,x,(,n,)=,x,(,N,n,)，则,X,(,k,)为纯虚函数并奇对称。,证:(1)由教材(3.2.17)(3.2.20)式知道，如果将,x,(,n,)表,示为,x,(,n,)=,x,r,(,n,)+j,x,i,(,n,),则,X,(,k,)=DFT,x,(,n,)=,X,ep,(,k,)+,X,op,(,k,),其中，,X,ep,(,k,)=DFT,x,r,(,n,)，是,X,(,k,)的共轭对称分量；,X,op,(,k,)=DFTj,x,i,(,n,),是,X,(,k,)的共轭反对称分量。所以，如果,x,(,n,)为实序列，则,X,op,(,k,)=DFTj,x,i,(,n,)=0，故,X,(,k,)=,DFT,x,(,n,)=,X,ep,(,k,)，即,X,(,k,)=,X,*(,N,k,)。,（2）由DFT的共轭对称性可知，如果,x,(,n,)=,x,ep,(,n,)+,x,op,(,n,)且,X,(,k,)=Re,X,(,k,)+j Im,X,(,k,)则Re,X,(,k,)=DFT,x,ep,(,n,),j Im,X,(,k,)=DFT,x,op,(,n,)所以，当,x,(,n,)=,x,(,N,n,)时，等价于上式中,x,op,(,n,)=0,x,(,n,)中只有,x,ep,(,n,)成分，所以,X,(,k,)只有实部，即,X,(,k,)为实函数。又由（1）证明结果知道，实序列的DFT必然为共轭对称函数，即,X,(,k,)=,X,*,(,N,k,)=,X,(,N,k,)，所以,X,(,k,)实偶对称。,同理，当,x,(,n,)=,x,(,N,n,)时，等价于,x,(,n,)只有,x,op,(,n,)成分（即,x,ep,(,n,)=0），故,X,(,k,)只有纯虚部，且由于,x,(,n,)为实序列，即,X,(,k,)共轭对称，,X,(,k,)=,X,*,(,N,k,)=,X,(,N,k,),为纯虚奇函数。8 证明频域循环移位性质：设,X,(,k,)=DFT,x,(,n,)，,Y,(,k,)=DFT,y,(,n,)，如果,Y,(,k,)=,X,(,k,+l),N,R,N,(,k,)，则,证：,令,m,=,k,+l,则,9 已知,x,(,n,)长度为,N,，,X,(,k,)=DFT,x,(,n,)，,求,Y,(,k,)与,X,(,k,)的关系式。,解:,10 证明离散相关定理。若,X,(,k,)=,X,1,*,(,k,),2,(k),则,证：根据DFT的惟一性，只要证明,即可。,令,m,=,l,+,n,，则,所以,当然也可以直接计算,X,(,k,)=,X,1,*,(,k,),X,2,(,k,)的IDFT。,0,n,N,1,由于,0,n,N,1,所以,11 证明离散帕塞瓦尔定理。若,X,(,k,)=DFT,x,(,n,)，则,证：,12 已知,f,(,n,)=,x,(,n,)+j,y,(,n,)，,x,(,n,)与,y,(,n,)均为长度为N的实序列。设,F,(,k,)=DFT,f,(,n,),N,0,k,N,1,(1),(2),F,(,k,)=1+j,N,试求,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),N,，,Y,(,k,)=DFT,y,(,n,),N,以及,x,(,n,)和,y,(,n,)。,解,:由DFT的共轭对称性可知,x,(,n,),X,(,k,)=,F,ep,(,k,),j,y,(,n,)j,Y,(,k,)=,F,op,(,k,),方法一 （1）,0,n,N,1,由于,0,n,m,N,1,所以,x,(,n,)=,a,n,0,n,N,1,同理,y,(,n,)=,b,n,0,n,N,1,（2）,F,(,k,)=1+j,N,，,方法二 令,只要证明,A,(,k,)为共轭对称的，,B,(,k,)为共轭反对称，则就会有,A,(,k,)=,F,ep,(,k,)=,X,(,k,),B,(,k,)=,F,op,(,k,)=j,Y,(,k,),因为,，共轭对称,，共轭反对称,所以,由方法一知,x,(,n,)=IDFT,X,(,k,)=,a,n,R,N,(,n,),y,(,n,)=IDFT,Y,(,k,)=,b,n,R,N,(,n,),13 已知序列,x,(,n,)=,a,n,u,(,n,)，0,a,1,对,x,(,n,)的Z变换,X,(,z,)在单位圆上等间隔采样,N,点，采样序列为,求有限长序列IDFT,X,(,k,),N,。,解,:我们知道，,是以2为周期的周期函数，所以,以,N,为周期，将看作一周期序列的DFS系数，则,由式知为,将式代入式得到,由于,所以,由题意知,所以根据有关,X,(,k,)与,x,N,(,n,)的周期延拓序列的DFS系数的关系有,由于0,n,N,1，所以,因此,说明：平时解题时，本题推导,的过程可省去，直接引用频域采样理论给出的结论（教材中式（3.3.2）和(3.3.3)）即可。,14 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为,x,(,n,)=0,n,0,8,n,y,(,n,)=0,n,0,20,n,对每个序列作20点DFT，即,X,(,k,)=DFT,x,(,n,)k=0,1,19,Y,(,k,)=DFT,y,(,n,)k=0,1,19,试问在哪些点上,f,(,n,)与,x,(,n,)*,y,(,n,)值相等,为什么？,解,:如前所述，记,f,l,(,n,)=,x,(,n,)*,y,(,n,)，而,f,(,n,)=IDFT,F,(,k,)=,x,(,n,)20,y,(,n,)。,f,l,(,n,)长度为27，,f,(,n,)长度为20。由教材中式（3.4.3）知道,f,(,n,)与,f,l,(,n,)的关系为,只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足,f,(,n,)=,f,l,(,n,),所以,f,(,n,)=,f,l,(,n,)=,x,(,n,)*,y,(,n,)7,n,19,15 已知实序列,x,(,n,)的8点DFT的前5个值为0.25,0.125-j0.3018,0,0.125-j0.0518,0。,（1）求,X,(,k,)的其余3点的值；,（2）,求,X,1,(,k,)=DFT,x,1,(,n,),8,；,（3）,，求,。,解,：（1）因为,x,(,n,)是实序列，由第7题证明结果有,X,(,k,)=,X,*(,N,k,)，即,X,(,N,k,)=,X,*(,k,),所以，,X,（,k,）的其余3点值为,X,(5),X,(6),X,(7)=0.125+j0.0518,0,0.125+j0.3018,（2）根据DFT的时域循环移位性质，,(3),16,x,(,n,)、,x,1,(,n,)和,x,2,(,n,)分别如题16图(a)、(b)和(c)所示，已知,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),8,。求,和,注:用,X,(,k,)表示,X,1,(,k,)和,X,2,(,k,)。,解,：因为,x,1,(,n,)=,x,(,n,+3),8,R,8,(,n,),x,2,(,n,)=,x,(,n,2),8,R,8,(,n,)，所以根据DFT的时域循环移位性质得到,17 设,x,(,n,)是长度为,N,的因果序列，且,试确定,Y,(,k,)与,X,(e,j,)的关系式。,解,：,y,(,n,)是,x,(,n,)以,M,为周期的周期延拓序列的主值序列，根据频域采样理论得到,18 用微处理机对实数序列作谱分析，要求谱分辨率,F,50 Hz，信号最高频率为 1 kHz，试确定以下各参数：,(1)最小记录时间,T,p min,；,(2)最大取样间隔,T,max,；,(3)最少采样点数,N,min,；,(4)在频带宽度不变的情况下，使频率分辨率提高1倍（即F缩小一半）的,N,值。,解,:（1）已知,F,=50 Hz，因而,（2）,（3）,（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大1倍，即为0.04 s，实现频率分辨率提高1倍（,F,变为原来的1/2）。,19 已知调幅信号的载波频率,f,c,=1 kHz，调制信号频率,f,m,=100 Hz，用FFT对其进行谱分析，试求：,(1)最小记录时间,T,p min,;,(2)最低采样频率,f,s min,;,(3)最少采样点数,N,min,。,解,：调制信号为单一频率正弦波时，已调AM信号为,x,(,t,)=cos(2,f,c,t,+,j,c,)1+cos(2,f,m,t,+,j,m,),所以，已调AM信号,x,(,t,)只有3个频率：,f,c,、,f,c,+,f,m,、,f,c,f,m,。,x,(,t,)的最高频率,f,max,=1.1 kHz，频率分辨率F100 Hz（对本题所给单频AM调制信号应满足100/,F,=整数，以便能采样到这三个频率成分）。故,(1),(2),(3),（注意，对窄带已调信号可以采用亚奈奎斯特采样速率采样，压缩码率。而在本题的解答中，我们仅按基带信号的采样定理来求解。）,20 在下列说法中选择正确的结论。线性调频Z变换可以用来计算一个有限长序列,h,(,n,)在,z,平面实轴上诸点,z,k,的,Z,变换,H,(,z,k,)，使,(1),z,k,=,a,k,k,=0,1,N,1,a,为实数，,a,1;,(2)zk=ak,k=0,1,N1,a,为实数，,a,1;,(3)(1)和(2)都不行，即线性调频,Z,变换不能计算,H,(,z,)在,z,平面实轴上的取样值。,解,：在chirp-,Z,变换中，在,z,平面上分析的,N,点为,z,k,=,AW,k,k,=0,1,N,1,其中,所以,当,A,0,=1,0,=0,W,0,=,a,1,j,=0时，,z,k,=,a,k,故说法（1）正确,说法（2）、（3）不正确。,21 我们希望利用,h,(,n,)长度为,N,=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT(即FFT)来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段(本题设每段长度为,M,=100个采样点)，但相邻两段必须重叠,V,个点，然后计算各段与,h,(,n,)的,L,点(本题取,L,=128)循环卷积，得到输出序列,y,m,(,n,)，,m,表示第,m,段循环卷积计算输出。最后，从,y,m,(,n,)中选取,B,个样值，使每段选取的,B,个样值连接得到滤波输出,y,(,n,)。,(1)求,V,；,(2)求,B,；,(3)确定取出的,B,个采样应为,y,m,(,n,)中的哪些样点。,解,:为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列,y,m,(,n,)的序列标号为,n,=0,1,2,127。,先以,h,(,n,)与各段输入的线性卷积,y,lm,(,n,)分析问题，因为当,h,(,n,)的50个样值点完全与第,m,段输入序列,x,m,(,n,)重叠后，,y,lm,(,n,)才与真正的滤波输出,y,(,n,)相等，所以，ylm(n)中第0点到第48点（共49个点）不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点（共51个点）为正确的滤波输出序列,y,(,n,)的第,m,段，即,B,=51。,所以，为了去除前面49个不正确点，取出51个正确的点连接,得到不间断又无多余点的,y,(,n,)，必须重叠10051,=49个点，即,V,=49。,下面说明，对128点的循环卷积,y,m,(,n,)，上述结果也是正确的。我们知道,因为,y,lm,(,n,)长度为,N+M1=50+1001=149,所以,n,从21到127区域无时域混叠，,y,m,(,n,)=,y,lm,(,n,)，当然，第49点到第99点二者亦相等，所以，所取出的51点为从第49点到第99点的,y,m,(,n,)。,综上所述，总结所得结论：,V,=49,B,=51,选取,y,m,(,n,)中第4999点作为滤波输出。,读者可以通过作图来理解重叠保留法的原理和本题的解答。,22 证明DFT的频域循环卷积定理。,证,：DFT的频域循环卷积定理重写如下:,设,h,(,n,)和,x,(,n,)的长度分别为,N,和,M,，,y,m,(,n,)=,h,(,n,),x,(,n,),H,(,k,)=DFT,h,(,n,),L,X,(,k,)=DFT,X,(,n,),L,则,L,X,(,k,),其中，,L,max,N,，,M,。,根据DFT的惟一性，只要证明,y,m,(,n,)=IDFT,Y,m,(,k,)=,h,(,n,),x,(,n,)，就证明了DFT的频域循环卷积定理。,23*已知序列,x,(,n,)=,1,2,3,3,2,1。（1）求出,x,(,n,)的傅里叶变换,X,(e,j,)，画出幅频特性和相频特性曲线(提示：用1024点FFT近似,X,(e,j,)；（2）计算,x,(,n,)的,N,（,N,6）点离散傅里叶变换,X,(,k,)，画出幅频特性和相频特性曲线；（3）将,X,(e,j,)和,X,(,k,)的幅频特性和相频特性曲线分别画在同一幅图中，验证,X,(,k,)是,X,(e,j,)的等间隔采样，采样间隔为2/,N,；（4）计算,X,(,k,)的,N,点IDFT，验证DFT和IDFT的惟一性。,解,：该题求解程序为ex323.m，程序运行结果如题23*解图所示。第（1）小题用1024点DFT近似,x,(,n,)的傅里叶变换；第（2）小题用32点DFT。题23*解图(e)和(f)验证了,X,(,k,)是,X,(e,j,)的等间隔采样，采样间隔为2/,N,。题23*解图(g)验证了IDFT的惟一性。,题23*解图,24*给定两个序列:,x,1,(,n,)=,2,1,1,2,x,2,(,n,)=,1,1,1,1。,（1）直接在时域计算,x,1,(,n,)与,x,2,(,n,)的卷积；,（2）用DFT计算,x,1,(,n,)与,x,2,(,n,)的卷积，总结出DFT的时域卷积定理。,解,：设,x,1,(,n,)和,x,2,(,n,)的长度分别为,M,1,和,M,2,，,X,1,(,k,)=DFT,x,1,(,n,),N,X,2,(,k,)=DFT,x,2,(,n,),N,Y,c,(,k,)=,X,1,(,k,),X,2,(,k,),y,c,(,n,)=IDFT,Y,c,(,k,),N,所谓DFT的时域卷积定理，就是当,N,M,1,+,M,2,1时，,y,c,(,n,)=,x,1,(,n,)*,x,2,(,n,)。,本题中，,M,1,=,M,2,=4，所以，程序中取,N,=7。本题的求解程序ex324.m如下：,%程序 ex324.m,x1n=2 1 1 2；x2n=1 1 1 1；,%时域直接计算卷积yn：,yn=conv(x1n，x2n),%用DFT计算卷积ycn：,M1=length(x1n)；M2=length(x2n)；N=M1+M21；,X1k=fft(x1n，N)；%计算x1n的N点DFT,X2k=fft(x2n，N)；%计算x2n的N点DFT,Yck=X1k.*X2k；ycn=ifft(Yck，N),程序运行结果：,直接在时域计算,x,1,(,n,)与,x,2,(,n,)的卷积yn和用DFT计算,x,1,(,n,)与,x,2,(,n,)的卷积ycn如下：,yn=2 1 2 2 2 1 2,ycn=2.0000 1.0000 2.0000 2.0000,2.0000 1.0000 2.0000,25*已知序列,h,(,n,)=,R,6,(,n,),x,(,n,)=,nR,8,(,n,)。,（1）计算,y,c,(,n,)=,h,(,n,)8,x,(,n,)；,（2）计算,y,c,(,n,)=,h,(,n,)16,x,(,n,)和,y,(,n,)=,h,(,n,)*,x,(,n,)；,（3）画出,h,(,n,)、,x,(,n,)、,y,c,(,n,)和,y,(,n,)的波形图，观察总结循环卷积与线性卷积的关系。,解,：本题的求解程序为ex325.m。程序运行结果如题25*解图所示。由图可见，循环卷积为线性卷积的周期延拓序列的主值序列；当循环卷积区间长度大于等于线性卷积序列长度时，二者相等，见图（b）和图(c)。,题25*解图,程序ex325.m如下：%程序ex325.m hn=1 1 1 1；xn=0 1 2 3；%用DFT计算4点循环卷积yc4n：H4k=fft(hn，4)；%计算h(n)的4点DFTX4k=fft(xn，4)；%计算x(n)的4点DFTYc4k=H4k.*X4k；yc4n=ifft(Yc4k，4)；%用DFT计算8点循环卷积yc8n：H8k=fft(hn，8)；%计算h(n)的8点DFTX8k=fft(xn，8)；%计算x(n)的8点DFTYc8k=H8k.*X8k；yc8n=ifft(Yc8k，8)；yn=conv(hn，xn)；%时域计算线性卷积yn：,26*验证频域采样定理。设时域离散信号为,其中,a,=0.9，,L,=10。,（1）计算并绘制信号,
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