2025年广西南宁市第四中学高一数学第一学期期末监测模拟试题含解析.doc

2025年广西南宁市第四中学高一数学第一学期期末监测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列函数中，为偶函数的是（）
A. B.
C. D.
2．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
3．若，则的最小值是（）
A.1 B.2
C.3 D.4
4．设奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（）
A B.或
C. D.或
5．已知正实数满足，则的最小值是（）
A B.
C. D.
6．直线在轴上的截距是
A. B.
C. D.
7． “，”的否定是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
8． “”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9．一条侧棱垂直于底面的三棱锥P﹣ABC的三视图不可能是（ ）
A.直角三角形
B.等边三角形
C.菱形
D.顶角是90°的等腰三角形
10．若过，两点的直线的倾斜角为，则y等于（）
A. B.
C.1 D.5
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为，其中表示不超过x的最大整数.例如：，.已知函数，若，则________；不等式的解集为________.
12．将函数的图象先向下平移1个单位长度，在作关于直线对称的图象，得到函数，则__________.
13．已知函数．则函数的最大值和最小值之积为______
14．若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为______
15．如图，单位圆上有一点，点P以点P0为起点按逆时针方向以每秒弧度作圆周运动，5秒后点P的纵坐标y是_____________.

16．已知函数和函数的图像相交于三点，则的面积为__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知命题，且，命题，且，
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围
18．已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）确定函数的解析式并用定义证明在上是增函数
（2）解不等式：.
19．已知平面向量.
(1)求与的夹角的余弦值；
(2)若向量与互相垂直，求实数的值.
20．已知函数是偶函数
（1）求实数的值
（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围
21．已知，
（1）当且x是第四象限角时，求的值；
（2）若关于x的方程有实数根，求a的最小值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】利用函数的奇偶性的定义逐一判断即可.
【详解】A，因为函数定义域为：，且，所以为奇函数，故错误；
B，因为函数定义域为：R，，而，所以函数为非奇非偶函数，故错误；
C，，因为函数定义域为：R，，而，所以函数为非奇非偶函数，故错误；
D，因为函数定义域为：R，，所以函数为偶函数，故正确；
故选：D.
2、D
【解析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.
【详解】因为，，，
所以，
故选：D
3、C
【解析】采用拼凑法，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，，当且仅当时取到等号，故的最小值是3.
故选：C
4、D
【解析】由奇偶性可将所求不等式化为；利用奇偶性可判断出单调性和，分别在和的情况下，利用单调性解得结果.
【详解】为奇函数，；
又在上单调递增，，在上单调递增，；
，即；
当时，，；当时，，；
的解集为或.
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：
（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；
（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.
5、B
【解析】根据题中条件，得到，展开后根据基本不等式，即可得出结果.
【详解】因为正实数满足，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：B.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
6、B
【解析】由题意，令，则，即，所以直线在轴上的截距为，故选B.
7、C
【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可
【详解】“，”的否定是“，，”
故选：C
8、B
【解析】根据充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】若，则成立，即必要性成立，反之若，则不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
9、C
【解析】直接利用空间图形和三视图之间的转换的应用求出结果
【详解】由于三棱锥P﹣ABC的一条侧棱垂直于底面，
所以无论怎样摆放，该三视图都为三角形，不可能为菱形
故选：C
【点睛】本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题
10、B
【解析】根据斜率的定义和坐标表达式即可求得结果.
【详解】，.
【点睛】本题考查斜率的定义和坐标表达式，注意认真计算，属基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①. ②.
【解析】第一空：”根据“高斯函数”的定义，可得，进而再分类讨论建立方程求值即可；第二空：分类讨论建立不等式求解即可.
【详解】由题意，得，
当时，，即；
当时，，即(舍)，
综上；
当时，，即，
当时，，即，
综上，.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：求解分段函数相关问题的关键是“分段归类”，即应用分类讨论思想.
12、5
【解析】利用平移变换和反函数的定义得到的解析式，进而得解.
【详解】函数的图象先向下平移1个单位长度得到
作关于直线对称的图象，即的反函数，则
，，即，

故答案为：5
【点睛】关键点点睛：本题考查图像的平移变换和反函数的应用，利用反函数的性质求出的解析式是解题的关键，属于基础题.
13、80
【解析】根据二次函数的性质直接计算可得.
【详解】因为，所以当时，，当时，，所以最大值和最小值之积为.
故答案为：80
14、；
【解析】因为函数的图象向左平移个单位长度，得到,所以的最小值为
15、##
【解析】根据单位圆上点的坐标求出，从而求出，从而求出点P的纵坐标.
【详解】因为位于第一象限，且，故，所以，故，所以点P的纵坐标
故答案为：
16、
【解析】解出三点坐标，即可求得三角形面积.
【详解】由题：，
，所以，，
所以，
.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）由可得，解不等式求出a的取值范围即可；
（2）把p是q的充分条件转化为集合A和集合B之间的关系，运用集合的知识列出不等式组求解a的范围即可.
【详解】（1），
，解之得：，故a的取值范围为；
（2）或，
p是q的充分条件，
，
或，解之得：或，
故实数a的取值范围为.
【点睛】本题考查元素与集合间的关系，考查充分条件的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
18、（1），证明见解析
（2）
【解析】（1）由题意可得，从而可求出，再由，可求出，从而可求出函数的解析式，然后利用单调性的定义证明即可，
（2）由于函数为奇函数，所以将转化为，再利用函数为增函数可得，从而求得解集
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，得，
所以，
因为，所以，解得，
所以，
证明：任取，且，
则

，
因为，所以，，，
所以，即，
所以在上是增函数
【小问2详解】
因为在上为奇函数，
所以转化为，
因为在上是增函数，
所以，解得，
所以不等式的解集为
19、（1）；（2）
【解析】（1）由数量积公式，得夹角余弦值为；（2），所以。
试题解析：
(1)∵向量，
∴.
∴向量与的夹角的余弦值为.
(2)∵向量与互相垂直，
∴.
又.∴.
点睛：本题考查数量积的应用。数量积公式，学生要熟练掌握数量积公式的应用，能够转化到求夹角公式。两向量垂直，则数量积为零。本题为基础题型，考查公式的直接应用。
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据是偶函数，由成立求解；
（2）函数与图象有且只有一个公共点，即方程有且只有一个根，令，转化为方程有且只有一个正根求解.
【小问1详解】
解：函数，
因为是偶函数，
所以，
即，
即对一切恒成立，
所以；
【小问2详解】
因为函数与的图象有且只有一个公共点，
所以方程有且只有一个根，
即方程有且只有一个根，
令，则方程有且只有一个正根，
当时，解得，不合题意；
当时，开口向上，且过定点，符合题意，
当时，，解得，
综上：实数的取值范围是.
21、（1）
（2）1
【解析】（1）根据立方差公式可知，要计算及的值就可以求解问题；
（2）将方程转化为，再分类讨论即可求解.
【小问1详解】
，即，则，
即，所以
因为x是第四像限角，所以，所以，
所以
【小问2详解】
由，可得，
则方程可化为，
①当时，，显然方程无解；
②当时，方程等价于
又（当且仅当时取“=”），所以要使得关于x的方程有实数根，则．故a的最小值是1