2025年安徽省阜阳市太和县太和二中数学高二第一学期期末调研模拟试题含解析.doc

2025年安徽省阜阳市太和县太和二中数学高二第一学期期末调研模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在数列中，若，则称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中不正确的为（ ）
A.若是等方差数列，则是等差数列 B.若是等方差数列，则是等方差数列
C.是等方差数列 D.若是等方差数列，则是等方差数列
2．将一个表面积为的球用一个正方体盒子装起来，则这个正方体盒子的最小体积为（ ）
A. B.
C. D.
3．已知双曲线，其渐近线方程为，则a的值为（）
A. B.
C. D.2
4．某中学高一年级有200名学生，高二年级有260名学生，高三年级有340名学生，为了了解该校高中学生完成作业情况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则高二年级抽取的人数为（ ）
A.10 B.13
C.17 D.26
5．曲线为四叶玫瑰线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，苜蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状.下列结论正确的个数是( )
①曲线C关于点(0，0)对称；②曲线C关于直线y＝x对称；③曲线C的面积超过4π.

A.0 B.1
C.2 D.3
6．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）

A. B.
C. D.
7．如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（）

A.在内是增函数
B.在内是增函数
C.在时取得极大值
D.在时取得极小值
8．【2018江西抚州市高三八校联考】已知双曲线 (，)与抛物线有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
9．已知，为双曲线：的焦点，为，（其中为双曲线半焦距），与双曲线的交点，且有，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
10．命题“存在，”的否定是（）
A.存在， B.存在，
C.对任意， D.对任意，
11．已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12．已知五个数据3，4，x，6，7的平均数是x，则该样本标准差为（）
A.1 B.
C. D.2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设函数为奇函数，当时，，则_______
14．已知曲线，则曲线在点处的切线方程为____________.
15．在的展开式中，含项的系数为______（结果用数值表示）
16．在空间直角坐标系中，若三点、、满足，则实数的值为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设数列的前项和为，已知，且
（1）证明：；
（2）求
18．（12分）已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，其中，且成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19．（12分）已知是函数的一个极值点.
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
20．（12分）请你设计一个包装盒，如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点，正好形成一个长方体形状的包装盒，、在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设

（1）求包装盒的容积关于的函数表达式，并求出函数的定义域；
（2）当为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？
21．（12分）已知幂函数在上单调递减，函数的定义域为集合A
（1）求m的值；
（2）当时，的值域为集合B，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围
22．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC//AD，AD＝2BC＝2PA＝2AB＝2，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点.

（1）证明：直线PF//平面ACG；
（2）求直线PD与平面ACG所成角的正弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据等方差数列的定义逐一进行判断即可
【详解】选项A中，符合等差数列的定义，所以是等差数列，A正确；选项B中，不是常数，所以不是等方差数列，选项B错误；选项C中，，所以是等方差数列，C正确；选项D中
，所以是等方差数列，D正确
故选：B
2、C
【解析】求出球的半径，要使这个正方形盒子的体积最小，则这个正方体正好是该球的外切正方体，所以正方体的棱长等于球的直径，从而可得出答案.
【详解】解：设球的半径为，则，得，故该球的半径为11cm，
若要使这个正方形盒子的体积最小，则这个正方体正好是该球的外切正方体，所以正方体的棱长等于球的直径，即22cm，所以这个正方体盒子的最小体积为.
故选：C.
3、A
【解析】由双曲线方程，根据其渐近线方程有，求参数值即可.
【详解】由渐近线，结合双曲线方程，
∴，可得.
故选：A.
4、B
【解析】计算出抽样比可得答案.
【详解】该校高中学生共有名，
所以高二年级抽取的人数名.
故选：B.
5、C
【解析】根据图像或解析式即可判断对称性①②；估算第一象限内图像面积即可判断③.
【详解】①将点(－x，－y)代入后依然为，故曲线C关于原点对称；
②将点(y，x)代入后依然为，故曲线C关于y＝x对称；
③曲线C在四个象限的图像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分，
∵，
∴曲线C上离原点最远的点的距离为
显然第一象限内曲线C的面积小于以为直径的圆的面积，
又∵，∴第一象限内曲线C的面积小于，则曲线C的总面积小于4π.
故③错误.
故选：C.
6、B
【解析】求出的值，可得出双曲线的渐近线方程.
【详解】由已知可得，
因此，该双曲线的渐近线方程为.
故选：B.
7、B
【解析】根据图象判断的单调性，由此求得的极值点，进而确定正确选项.
【详解】由图可知，在区间上,单调递减；
在区间上,单调递增.
所以不是的极值点，是的极大值点.
所以ACD选项错误，B选项正确.
故选：B
8、C
【解析】由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
由在抛物线的准线上，则，则，则焦点坐标为，
所以，则，解得，
双曲线的渐近线方程是，将代入渐近线的方程，即，
则双曲线的离心率为，故选C.

9、B
【解析】根据求得的关系，结合双曲线的定义以及勾股定理，即可求得的等量关系，再求离心率即可.
【详解】根据题意，连接，作图如下：

显然为直角三角形，又，
又点在双曲线上，故可得，
解得，
由勾股定理可得：，即，
即，，故双曲线的离心率为.
故选：B.
10、D
【解析】特称命题的否定：将存在改任意并否定原结论，即可知正确答案.
【详解】由特称命题的否定为全称命题，知：原命题的否定为：对任意，.
故选：D
11、D
【解析】利用最值的含义转化为不等式恒成立问题解决即可
【详解】解：由题意可得，
整理得，
当时，不等式化简为恒成立，所以，
当时，不等式化简为恒成立，所以，
综上，，
所以实数的取值范围是，
故选：D
12、B
【解析】先求出的值，然后利用标准差公式求解即可
【详解】解：因为五个数据3，4，x，6，7的平均数是x，
所以，解得，
所以标准差，
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由奇函数的定义可得，代入解析式即可得解.
【详解】函数为奇函数，当时，，
所以.
故答案为-1.
【点睛】本题主要考查了奇函数的求值问题，属于基础题.
14、
【解析】求解导函数，然后根据导数的几何意义求出切线斜率，并计算，利用点斜式写出切线方程.
【详解】，由题意，切线的斜率为，，所以曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：
15、12
【解析】通过二次展开式就可以得到.
【详解】的展开式中含
含项的系数为
故答案为：12
16、##
【解析】分析可知，结合空间向量数量积的坐标运算可求得结果.
【详解】由已知可得，，
因为，则，
即，解得.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）当时，由题可得，，两式子相减可得，即，然后验证当n=1时，命题成立即可；
（2）通过求解数列的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前n项和的通项公式.
【详解】（1）由条件，对任意，有，
因而对任意，有，
两式相减，得，即，
又，所以，
故对一切，
（2）由（1）知，，所以，
于是数列是首项，公比为3的等比数列，
数列是首项，公比为3的等比数列，
所以，
于是

从而，
综上所述，.
【点睛】已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：（1）先利用a1＝S1求出a1；（2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）便可求出当n≥2时an的表达式；（3）对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.
18、（1），;
（2）.
【解析】（1）利用求出数列的通项，再求出等比数列的公比即得解；
（2）求出，再利用错位相减法求解.
【小问1详解】
解：，
.
当时，，适合.
.
设等比数列公比为，
，
，即，
或（舍去），
.
【小问2详解】
解：，
，
，
上述两式相减，得，
所以
所以
.
19、（1）3（2），
【解析】（1）先求出函数的导数，根据极值点可得导数的零点，从而可求实数的值；
（2）由（1）可得函数的单调性，从而可求最值.
【小问1详解】
，
是的一个极值点,.
，，
此时，
令，解剧或，
令，解得，
故为的极值点，故.
【小问2详解】
由（1）可得在上单调递增，在上单调递减，
故在上为增函数，在上为减函数，
.
又
20、（1），定义域为；
（2）当时，包装盒的容积最大是.
【解析】（1）设出包装盒的高和底面边长，利用长方体的表面积得到等量关系，再利用长方体的体积公式求出表达式，再利用实际意义得到函数的定义域；
（2）求导，利用导函数的符号变化得到函数的极值，即最值.
小问1详解】
解：设包装盒的高为，底面边长为，
则，，
所以=
其定义域为；
【小问2详解】
解：由（1）得：，，
因为，
所以当时，；
当时，；
所以当时，取得极大值，
即当时，包装盒的容积最大是
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据幂函数的定义和单调性求解；
（2）利用根式函数的定义域和值域求得集合A，B，再由是A的真子集求解.
【小问1详解】
解：因为幂函数在上单调递减，
所以，
解得.
【小问2详解】
由，得，
解得，
所以，
当时的值域为，
所以，
因为是成立的充分不必要条件，
所以是A的真子集，
，
解得.
22、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）连接EC，设EB与AC相交于点O，结合已知条件利用线面平行的判定定理可证得OG//平面PEF，再由三角形中位线定理结合线面垂直的判定定理可得AC//平面PEF，从而由面面垂直的判定可得平面PEF//平面GAC，进而可证得结论，
（2）由已知可证得PA、AB、AD两两互相垂直，以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可
【小问1详解】
证明：连接EC，设EB与AC相交于点O，如图，

因为BC//AD，且，AB⊥AD，
所以四边形ABCE为矩形，
所以O为EB的中点，又因为G为PB的中点，
所以OG为△PBE的中位线，即OG∥PE，
因为OG 平面PEF，PE⊂平面PEF，
所以OG//平面PEF，
因为E，F分别为线段AD，DC的中点，所以EF//AC，
因为AC 平面PEF，EF⊂平面PEF，
所以AC//平面PEF，
因为OG⊂平面GAC，AC⊂平面GAC，AC∩OG＝O，
所以平面PEF//平面GAC，
因为PF⊂平面PEF，所以PF//平面GAC.
【小问2详解】
因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，
因为AB⊥AD，
所以PA、AB、AD两两互相垂直，以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则A（0，0，0），，C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），
所以，
设平面ACG的法向量为，则，所以，
令x＝1，可得y＝﹣1，z＝﹣1，所以，
设直线PD与平面ACG所成角为θ，则
，
所以直线PD与平面ACG所成角的正弦值为.