2025-2026学年江苏省南京市南京师大附中高一上数学期末联考试题含解析.doc

2025-2026学年江苏省南京市南京师大附中高一上数学期末联考试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数（）的零点所在的一个区间是（）
A. B.
C. D.
2．集合用列举法表示是（）
A. B.
C. D.
3．若，则的大小关系为.
A. B.
C. D.
4．已知函数，则（）
A. B.
C. D.
5．下列说法正确的有（）
①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；
④圆锥的轴截面是等腰三角形.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
6．函数的零点所在区间是（）
A. B.
C. D.
7．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称之为三角形的欧拉线若的顶点，，且的欧拉线的方程为，则顶点C的坐标为　　
A. B.
C. D.
8．已知函数的定义域为，命题为奇函数，命题，那么是的（）
A.充分必要条件 B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件 D.必要不充分条件
9．若，则（）
A.2 B.1
C.0 D.
10．已知四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，若，则___________.
12．设函数（e为自然对数的底数，a为常数），若为偶函数，则实数______；若对，恒成立，则实数a的取值范围是______
13．已知，，则_____；_____
14．下列命题中正确的是________
（1）是的必要不充分条件
（2）若函数的最小正周期为
（3）函数的最小值为
（4）已知函数，在上单调递增，则
15．求值：__________.
16．若命题“”为真命题，则的取值范围是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．观察以下等式：
①
②
③
④
⑤
（1）对①②③进行化简求值，并猜想出④⑤式子的值；
（2）根据上述各式的共同特点，写出一条能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明
18．已知函数，当时，取得最小值
（1）求a的值；
（2）若函数有4个零点，求t的取值范围
19．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：
甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为，边界忽略不计)即为中奖.
乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖.问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？

20．命题 p：方程x2+x+m=0有两个负数根；命题q：任意实数x∈R， mx2－2mx＋1>0成立；若p与q都是真命题，求m取值范围.
21．设函数是增函数，对于任意都有
（1）写一个满足条件的；
（2）证明是奇函数；
（3）解不等式
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】将各区间的端点值代入计算并结合零点存在性定理判断即可.
【详解】由，
，，
所以，根据零点存在性定理可知函数在该区间存在零点.
故选：C
2、D
【解析】解不等式，结合列举法可得结果.
【详解】.
故选：D
3、D
【解析】由指数函数，对数函数的单调性，求出的大致范围即可得解.
【详解】解：因为，，
即，
故选D.
【点睛】本题考查了比较指数值，对数值的大小关系，属基础题.
4、B
【解析】由分段函数解析式及指数运算求函数值即可.
【详解】由题设，，
所以.
故选：B.
5、A
【解析】根据棱台、球、正方体、圆锥的几何性质，分析判断，即可得答案.
【详解】①中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱延长线会交于一点，所以①不正确；
②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以②不正确；
③中底面不一定是正方形，所以③不正确；
④中圆锥的母线长相等，所以轴截面是等腰三角形，所以④是正确的.
故选：A
6、B
【解析】判断函数的单调性，根据函数零点存在性定理即可判断.
【详解】函数的定义域为，
且函数在上单调递减；在上单调递减，
所以函数为定义在上的连续减函数，
又当时，，
当时，，
两函数值异号，
所以函数的零点所在区间是，
故选：B.
7、A
【解析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标
【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，
三角形ABC的重心为（，），
代入欧拉线方程得：2＝0，
整理得：m﹣n+4＝0 ①
AB的中点为（1，2），直线AB的斜率k2，
AB的中垂线方程为y﹣2（x﹣1），即x﹣2y+3＝0
联立，解得
∴△ABC的外心为（﹣1，1）
则（m+1）2+（n﹣1）2＝32+12＝10，
整理得：m2+n2+2m﹣2n＝8 ②
联立①②得：m＝﹣4，n＝0或m＝0，n＝4
当m＝0，n＝4时B，C重合，舍去
∴顶点C的坐标是（﹣4，0）
故选A
【点睛】本题考查直线方程的求法，训练了直线方程的点斜式，考查了方程组的解法
8、C
【解析】根据奇函数的性质及命题充分必要性的概念直接判断.
【详解】为奇函数,则，
但，无法得函数为奇函数，例如，满足，但是为偶函数，
所以是的充分不必要条件，
故选：C.
9、C
【解析】根据正弦、余弦函数的有界性及，可得，，再根据同角三角函数的基本关系求出，即可得解；
【详解】解：∵，，又∵，∴，，又∵，∴，∴，
故选：C
10、D
【解析】取的中点，连接，，则（或补角）是与所成的角，利用勾股定理可求该角为直角.
【详解】
如图，取的中点，连接，，则，，
（或补角）是与所成的角，
，，
，，而，所以，.
故选：D.
【点睛】本题考查异面直线所成的角，此类问题一般需要通过平移构建平面角，再利用解三角形的方法求解.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、0
【解析】由，即可求出结果.
【详解】由知
，则，又因为，所以.
故答案：0.
12、 ①.1 ②.
【解析】第一空根据偶函数的定义求参数，第二空为恒成立问题，参变分离后转化成求函数最值
【详解】由，即，关于恒成立，故
恒成立，等价于恒成立
令，，，故a的取值范围是
故答案为：1，
13、 ①. ②.
【解析】利用指数式与对数的互化以及对数的运算性质化简可得结果.
【详解】因为，则，故.
故答案为：；2
14、（3）（4）
【解析】对于（1）对角取特殊值即可验证；对于（2）采用数形结合即可得到答案；对于（3）把函数进行化简为关于的函数，再利用基本不等式即可得到答案；对于（4）用整体的思想，求出单调增区间为，再让即可得到答案.
【详解】对于（1），当，当，不满足是的必要条件，故（1）错误；
对于（2），函数的最小正周期为，故（2）错误；
对于（3），，
当且仅当等号成立， 故（3）正确；
对于（4）函数的单调增区间为，
若在上单调递增，则，又，
故（4）正确.
故答案为：（3）（4）.
15、
【解析】利用诱导公式一化简，再求特殊角正弦值即可.
【详解】.
故答案为：.
16、
【解析】依题意可得恒成立，则，得到一元二次不等式，解得即可；
【详解】解：依题意可得，命题等价于恒成立，
故只需要解得，即
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）答案见解析；
（2）；证明见解析.
【解析】（1）利用特殊角的三角函数值计算即得；
（2）根据式子的特点可得等式，然后利用和差角公式及同角关系式化简运算即得,
【小问1详解】

猜想：

【小问2详解】
三角恒等式为
证明：

=
18、（1）4 （2）
【解析】（1）分类讨论和两种情况，由其单调性得出a的值；
（2）令，结合一元二次方程根的分布得出t的取值范围
【小问1详解】
解：当时，，则，故没有最小值
当时，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
故，即
【小问2详解】
的图象如图所示

令，则函数在上有2个零点，
得
解得，故t的取值范围为
19、乙商场中奖的可能性大.
【解析】分别计算两种方案中奖的概率．先记出事件，得到试验发生包含的所有事件，和符合条件的事件，由等可能事件的概率公式得到
试题解析：
如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积，阴影部分的面积为，
则在甲商场中奖的概率为；
如果顾客去乙商场，记3个白球为，，，3个红球为，，，记(，)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：
，，，，，，，，，，，，，，，共15种，
摸到的是2个红球有，，，共3种，
则在乙商场中奖的概率为，
又，则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大.
20、
【解析】根据判别式以及韦达定理即可求解.
【详解】对于有两个负数根（可以为重根），即，
并且由韦达定理，∴；
对于恒成立，当时，符合题意；
当时，则必定有且，得，
所以；
若p与q都是真命题，则.
21、（1），
（2）见解析（3）
【解析】（1）满足是增函数，对于任意都有的函数
（2）利用函数的奇偶性的定义转化求解即可
（3）利用已知条件转化不等式，通过函数的单调性转化求解即可
【小问1详解】
因为函数是增函数，对于任意都有，这样的函数很多，其中一种为：，证明如下：
函数满足是增函数，，所以满足题意.
【小问2详解】
令，则由
得，
即得，故是奇函数
【小问3详解】
，所以，则
，因为，所以
，所以，又因为函数是增函数，所以
，所以或.所以的解集为：.