浙江省宁波诺丁汉大学附中2026届高二数学第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

浙江省宁波诺丁汉大学附中2026届高二数学第一学期期末学业质量监测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B.
C. D.
2．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）
A. B.2
C. D.
3．如图，正方形与矩形所在的平面互相垂直，在上，且平面，则M点的坐标为（）

A. B.
C. D.
4．若是函数的极值点，则函数（）
A.有最小值，无最大值 B.有最大值，无最小值
C.有最小值，最大值 D.无最大值，无最小值
5．如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为，假设正方形的边长为，的面积为，并向正方形中随机投掷个点，用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率为
附表：

A. B.
C. D.
6．数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，-些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物.曲线C：为四叶玫瑰线.
①方程(xy<0)表示的曲线在第二和第四象限；
②曲线C上任一点到坐标原点0的距离都不超过2；
③曲线C构成的四叶玫瑰线面积大于4π；
④曲线C上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点).
则上述结论中正确的个数是（ ）

A.1 B.2
C.3 D.4
7．已知双曲线的右焦点为，渐近线为，，过的直线与垂直，且交于点，交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C.2 D.
8．已知随机变量，且，，则为（）
A.0.1358 B.0.2716
C.0.1359 D.0.2718
9．函数单调减区间是（）
A. B.
C.和 D.
10．从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A.48 B.36
C.24 D.18
11．若直线与直线垂直，则（）
A6 B.4
C. D.
12．正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，的中点，则直线ED与FG所成角的余弦值为（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系xOy中,设军营所在平面区域为{(x,y)|x2+y2≤},河岸线所在直线方程为x+2y-4=0.假定将军从点P(,)处出发,只要到达军营所在区域即回到军营,当将军选择最短路程时,饮马点A的纵坐标为______.最短总路程为______

14．函数的导数_________________.
15．过抛物线的准线上任意一点做抛物线的切线，切点分别为，则A点到准线的距离与点到准线的距离之和的最小值为___________
16．如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，、分别为、的中点.设异面直线与所成的角为，则的最大值为____

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为
（1）求边垂直平分线所在的直线的方程；
（2）若的面积为5，求点的坐标
18．（12分）已知命题p：实数x满足；命题q：实数x满足．若p是q的必要条件，求实数a的取值范围
19．（12分）已知首项为1的等比数列，满足
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和
20．（12分）如图，在直角梯形中，．直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面．M为线段的中点，P为线段上的动点

（1）求证：；
（2）当点P满足时，求证：直线平面；
（3）是否存在点P，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定P点的位置；若不存在，请说明理由
21．（12分）新疆长绒棉品质优良，纤维柔长，被世人誉为“棉中极品”，产于我国新疆的吐鲁番盆地、塔里木盆地的阿克苏、喀什等地.棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标之一，在新疆某地区成熟的长绒棉中随机抽测了一批棉花的纤维长度（单位：mm），将样本数据制成频率分布直方图如下：

（1）求的值；
（2）估计该样本数据的平均数（同一组中的数据用该组数据区间的中点值为代表）；
（3）根据棉花纤维长度将棉花等级划分如下：
纤维长度
小于30mm
大于等于30mm，小于40mm
大于等于40mm
等级
二等品
一等品
特等品
从该地区成熟的棉花中随机抽测两根棉花的纤维长度，用样本的频率估计概率，求至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率.
22．（10分）已知圆台的上下底面半径分别为，母线长为．求：
（1）圆台的高；
（2）圆台的体积
注：圆台体积公式：，其中，S分别为上下底面面积，h为圆台的高
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，，，，
因此异面直线与所成角的余弦值等于.
故选：D.
2、A
【解析】根据点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】由双曲线的标准方程可知：，
该双曲线的焦点坐标为：，
双曲线的渐近线方程为：，
所以焦点到渐近线的距离为：，
故选：A
3、A
【解析】设点的坐标为，由平面,可得出，利用空间向量数量积为0求得、的值，即可得出点的坐标.
【详解】设点的坐标为，,,，，则，,，
平面,
即，
所以，，解得，所以，点的坐标为，
故选：A.
4、A
【解析】对求导，根据极值点求参数a，再由导数研究其单调性并判断其最值情况.
【详解】由题设，且，
∴，可得.
∴且，
当时，递减；当时，递增；
∴有极小值，无极大值.
综上，有最小值，无最大值.
故选：A
5、D
【解析】每个点落入中的概率为，设落入中的点的数目为，题意所求概率为
故选D
6、B
【解析】对于①，由判断，对于②，利用基本不等式可判断，对于③，以为圆心，2为半径的圆的面积与曲线围成的面积进行比较即可，对于④，将和联立，求解出两曲线的切点，从而可判断
【详解】对于①，由，得异号，方程(xy<0)关于原点及y=x对称，
所以方程(xy<0)表示的曲线在第二和第四象限，所以①正确，
对于②，因为，所以，所以，所以，所以由曲线的对称性可知曲线C上任一点到坐标原点0的距离都不超过2，所以②正确，
对于③，由②可知曲线C上到原点的距离不超过2，而以为圆心，2为半径的圆的面积为，所以曲线C构成的四叶玫瑰线面积小于4π，所以③错误，
对于④，将和联立，解得，所以可得圆与曲线C相切于点，，，，而点（1，1）不满足曲线方程，所以曲线在第一象限不经过任何整数点，由曲线的对称性可知曲线在其它象限也不经过任何整数点，所以曲线C上只有1个整点（0，0），所以④错误，
故选：B
7、C
【解析】由题设易知是的中垂线，进而可得，结合双曲线参数关系及离心率公式求双曲线的离心率即可.
【详解】由题意，是的中垂线，故，

由对称性得，则，故，
∴.
故选：C.
8、C
【解析】根据正态分布的对称性可求概率.
【详解】由题设可得，
，
故选：C.
9、B
【解析】根据函数求导，然后由求解.
【详解】因为函数，
所以，
由，解得，
所以函数的单调递减区间是，
故选：B
10、B
【解析】直接利用乘法分步原理分三步计算即得解.
【详解】从中选一个数字，有种方法；
从中选两个数字，有种方法；
组成无重复数字的三位数，有个.
故选：B
11、A
【解析】由两条直线垂直的条件可得答案.
【详解】由题意可知，即
故选：A.
12、B
【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算即可求解.
【详解】如图所示建立适当空间直角坐标系，

故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①. ②.
【解析】求出P(,)关于直线x+2y4=0对称点P'的坐标，再求出线段OP'与直线x+2y-4=0的交点A,再利用圆的几何性质可得结果.
【详解】设P(,)关于直线x+2y4=0的对称点为P'(m,n),
则解得
因为从点P到军营总路程最短,所以A为线段OP'与直线x+2y4=0的交点,
联立得y=(42y),解得y=.
所以“将军饮马”的最短总路程为=，故答案为，.
【点睛】本题主要考查对称问题以及圆的几何性质，属于中档题.解析几何中点对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且 点 在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.
14、.
【解析】根据初等函数的导数法则和导数的四则运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得.
故答案为：.
15、8
【解析】设，，，，由可得，根据导数的几何意义求得两切线的方程，联立求得点的坐标，再根到准线的距离转化为到焦点的距离，三点共线时距离最小，进而求出最小值
【详解】解：设，，，，由可得，所以，
所以直线，的方程分别为：，，
联立，解得，
即，，又有在准线上，所以，
所以，
设直线的方程为：，
代入抛物线的方程可得：，可得，
所以可得，即直线恒过点，即直线恒过焦点，
即直的方程为：，代入抛物线的方程：，
，所以，
点到准线的距离与点到准线的距离之和，
所以当时，距离之和最小且为8，这时直线平行于轴
故答案为：8
16、
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设，，，，，由向量法可得，令，，，利用导数研究函数的单调性即可求得的最大值，从而可得答案
【详解】解：由题意，根据已知条件，直线AB，AD，AQ两两互相垂直，所以建立如图所示空间直角坐标系

不妨设，则，0，，，0，，，1，，设，，，，
，，，，，，
，
令，，则，
函数在上单调递减，
时，函数取得最大值，
的最大值为
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）或
【解析】（1）由题意直线的斜率公式，两直线垂直的性质，求出的斜率，再用点斜式求直线的方程
（2）根据的面积为5，求得点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式，求得的值
【详解】解：（1），，
的中点的坐标为，
又
设边的垂直平分线所在的直线的斜率为
则
，
可得的方程为，
即
边的垂直平分线所在的直线的方程
（2）边所在的直线方程为

设边上的高为即点到直线的距离为
且
解得
解得或，
点的坐标为或
18、
【解析】由题设得是为真时的子集，即，法一：讨论、，根据集合的包含关系求参数范围；法二：利用在恒成立，结合参变分离及指数函数的单调性求参数范围.
【详解】由，得，则命题对应的集合为，
设命题对应的集合为，是的必要条件，则，
由，得，又，
法一：若时，，则，显然成立；
若时，，则，可得，
综上：
法二：在恒成立，即，
∵在单调递减，
∴.
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据已知条件求得数列的公比，由此求得.
（2）利用错位相减求和法求得.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，
由，可得.
故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以
【小问2详解】
由（1）得，
，①
，②
①②，得

所以
20、（1）见解析（2）见解析
（3）存在点P，
【解析】（1）建立空间坐标系求两直线的方向向量，根据数量积为0可证的结论；
（2）求得直线的方向向量和面的法向量，证得两向量垂直即可；
（3）求直线的方向向量和面的法向量的夹角即可.
【小问1详解】
由已知可得，，，两两垂直，以A为原点，
，，所在直线为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，
因为，
所以，，，，，，
，，，
∴，，
∴，，
即，，
∴平面
又∵平面，
∴
【小问2详解】
设点坐标为，则，
∵，∴，，，
解得：，，，即
设平面的一个法向量，
∵，，
∴，即，
令，则，，得
又，
∴
∴直线平面
【小问3详解】
设，则,
设的一个法向量为
∵，，
∴，解，
令，则，，得
设与平面所成角为，则
．解得：或(舍).
故存在点P，，即点P为距的第一个5等分点

21、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可求出答案.
（2）根据平均数的公式可得到答案.
（3）先求出一根棉花纤维长度达到特等品的概率，然后分恰好有一根和两根棉花
小问1详解】
由解得
【小问2详解】
该样本数据的平均数为：

【小问3详解】
由题意一根棉花纤维长度达到特等品的概率为：
两根棉花中至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率

22、（1）；（2）.
【解析】（1）作出圆台的直观图，过点A作，垂足为H，由勾股定理可求圆台的高；
（2）结合（1），利用圆台的体积公式可求圆台的体积
【详解】（1）作出圆台的直观图，如图，
设圆台上下底面圆心分别为，为圆台的一条母线，
连接，，过点A作，垂足为H，则的长等于圆台的高，
因为圆台的上下底面半径分别为，母线长为
所以，，
则，可得，
故圆台高为；
（2）圆的面积
圆的面积为
故圆台的体积为