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必修1知识点整理
第一章：集合
1．知识网络

2.注意的地方
（1）对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的 性， 性， 性。
（2）进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。
注重借助于数轴和韦恩图解集合问题。空集是一切集合的 ，是一切非空集合的 。
（3）注意下列性质：集合的所有子集的个数是 ；
若 ; 。
二.函数
1．函数的概念：定义 设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有且仅有一个 元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射。这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)。于是y=f(x)，x称作y的原象。映射f也可记为：f：A→B， x→f(x).其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广），由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常叫作f(A)。
2．构成函数的三要素： 。
3．求函数定义域的常用方法：（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方根的被开方数大于等于零；（3）对数的真数大于零；（4）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；（5）三角函数正切函数中。（6）如果函数是由实际意义确定的解析式，据自变量的实际意义确定其取值范围。
4．求函数解析式的常用方法：（1）、换元法；（2）、配方法；（3）、判别式法；（4）、不等式法；（5）、单调性法；
关注：分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。
5．求函数值域(最值)的常用方法：（1）换元法；（2）、配方法；（3）、判别式法；（4）、不等式法；（5）、单调性法。
6．函数的奇偶性（在整个定义域内考虑）
（1）定义： ；
（2）判断方法： Ⅰ、定义法：步骤：①求出定义域；判断定义域是否关于 ； ②.求；
③.比较或的关系。Ⅱ、图象法：即根据图象的对称性判别；
（3）已知：：若非零函数的奇偶性相同，则在公共定义域内为偶函数；
若非零函数的奇偶性相反，则在公共定义域内为奇函数。
(4)常用的结论：若是奇函数，且，则；若是偶函数，则；反之不然。
7．函数的单调性：
(1)函数单调性的定义： ；
(2)证明函数单调性的步骤：①设 ；②作差 ；③. 。
(3)求单调区间的方法： ①定义法； ②图象法；③复合函数在公共定义域上的单调性： 若f与g的单调性相同，则为增函数； 若f与g的单调性相反，则为减函数。“同增异减”注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。
(3)一些有用的结论：a.奇函数在其对称区间上的单调性 ； b.偶函数在其对称区间上的单调性 ； c.在公共定义域内,增函数增函数是 ；减函数减函数是 ；增函数减函数是 ； 减函数增函数是 。
8.指对数的运算性质： ； ； ；
；（） （） ；
（）
loga(MN)= ；loga()= ；
loga= ； =
9．初等函数的图象和性质：
表1
指数函数
对数数函数
定义域

值域

图象

性质
过定点__________
过定点___________
减函数
增函数
减函数
增函数

底数越小越接近坐标轴
底数越大越接近坐标轴
底数越小越接近坐标轴
底数越大越接近坐标轴
表2
幂函数

奇函数

偶函数
第一象限性质
减函数
增函数
过定点
必修2知识点归纳整理
第一章 空间几何体
1．空间几何的几 何特征：1）棱柱: 有两个面互相平行，其余各个面都是 ，并且每相邻两个四边形的公共边都互相 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱锥: 有一个面是 ，其余各面都是有一个公共顶点的 ，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。棱台：用一个 于棱锥底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
2 )圆柱: 以 的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
圆锥:以直角三角形的一条 所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
圆台：用 于圆锥底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
3）球：以 所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。
2．空间几何的表示（1）三视图：正视图、俯视图、侧视图。画三视图注意：长 ，高 ；宽 。
（2）空间几何体的直观图——用斜二侧画法的画图规则： 。
(3)中心投影： ；平行投影： 。
3．空间几何体的表面积（1）棱柱、棱椎、棱台的表面积，即各个面的面积之和。
（2）圆柱、圆锥、圆台的表面积：S圆柱表= S圆锥表= S圆台表=
（3）柱体、锥体、台体的体积：V柱 = V锥 = V台 =
（4）球的表面积和体积：S球表 = V球 =
4.（补充）几何体的外接球问题：（1）棱长为的正四面体外接球半径为 ，内切球半径为 。
（2）长、宽、高分别为的长方体外接球半径为 。
（3）棱长为的正方体的外接球半径为 ，内切球半径为 。
第二章 点、直线、平面的位置关系
1．平面：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上 都在这个平面内。
公理2：过 的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们 经过这个公共点的公共直线。确定平面的条件：① 可确定一个平面。② 可确定一个平面。③两条 或 直线可确定一个平面。
2．空间两直线的位置关系：
异面直线：不同在 平面内的两条直线叫做异面直线。两异面直线所成角的范围： 。
3.直线与平面的位置关系：
直线与平面所成角:平面的一条斜线和它在平面上的 所成的锐角。直线与平面所成角的范围 。
判断直线与平面平行的方法：①如果平面外一条直线 内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。即 。②如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行。即 。
4．两平面的位置关系
直线与平面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交；那么这条直线就和交线平 二面角的平面角: 在二面角棱上任取一点O，分别两个半平面内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。范围是
判断两平面平行的方法:
①如果一个平面内有两条 直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。② 同一条直线的两个平面平行。③ 同一个平面的两个平面平行。
两平面平行的性质：①两个平面平行，其中一个平面内 直线必平行另一个平面。
②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的 互相平行。
③一条直线 垂直于两个 平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
5.垂直的证明,判定直线与平面垂直的方法：
①（定义）如果一条直线和平面内 直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。
②如果一条直线和一个平面内两条 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
③如果两条 中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
④如果两个平面垂直，那么 的直线垂直于另一个平面。
⑤如果 都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
证明两平面垂直的方法：
①（定义法）两个平面相交，如果所成的二面角是 ，那么这两个平面互相垂直。
②如果一个平面经过另一个平面的一条 ，那么这两个平面互相垂直。
6.（补充）三棱锥P-ABC顶点P在底面ABC的射影H
①若三侧面两两互相垂直，则点H为△ABC的 心；若PA⊥BC,PB⊥AC,则PC⊥AB，则点H为△ABC的 心；
②若PA=PB=PC,则点H为△ABC的 心；若侧棱与底面成角相等，则点H为△ABC的 心；
③若点P到三边AB、BC、AC距离相等，则点H为△ABC的 心；
若三侧面与底面所成二面角相等，且点H在△ABC内部，则点H为△ABC的 心.
第三章直线与方程
1、倾斜角和斜率（1）倾斜角：x轴正向与直线 方向之间所成的角，范围是： （与x轴平行或重合时，） 斜率：k= （）； （2）已知直线l上两点P1（x1,y1）、P2(x2,y2)，其中，则l的斜率k= 。
2、直线的方程 ：点斜式： 其中不能表示的直线是：
斜截式： 其中不能表现的直线是：
两点式： 其中不有表示的直线是：
截距式： 其中不能表示的直线是：
一般式： （条件： ）
3、两直线平行和垂直充要条件 ：1）L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2。L1 //L2 ； L1 ⊥L2
（2）L1：A1x+B1y+C1=0，L2： A2x+B2y+C2=0。L1 //L2 ； L1 ⊥L2
4、距离公式 ：（1）两点距离：若= ；
（2）点线距离：点到直线Ax+By+C=0(A、B不同时为0)的距离d1=
（3）两平行线距离：L1：Ax+By+C1=0，L2： Ax+By+C2=0的距离d2=
5、对称问题：点、， 若P1、P2关于直线：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)对称，
则须满足条件：① ②
第四章 圆的方程
1、圆的方程： 标准方程： 一般方程： 。
转化为标准方程为 。
2、直线与圆的位置关系判定：圆心C（a,b）到直线的距离d=,半径为R；
A、几何法：（1）若 ＞0；（2）若 =0
（3）若 ＜0
B、代数法：法利用直线与圆的方程联立方程组来判断和求解
3、直线被圆所截得的弦长公式 = 。
4、圆与圆的位置关系：设两个大小不等的圆O1圆，O2的半径分别为r1、r2，圆心距，则① 外离 ② 外切
③ 相交 ④ 内切 ⑤ 内含
5、空间中两点 。
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第一章、算法初步
1、画出四种基本的程序框：终端框（起止框）、输入输出框、处理框、判断框。

2、三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构（分直到型和当型）
3、基本算法语句
（一）输入语句
单个变量输入格式： ;
多个变量输入格式： ;
（二）输出语句格式： ;
（三）赋值语句 。
（四）条件语句
IF-THEN-ELSE格式及框图：
IF-THEN格式及框图

（五）循环语句
（1）WHILE语句（当型循环）及框图 （2）UNTIL语句

4、算法案例
案例1 辗转相除法与更相减损术; 案例2 秦九韶算法 ; 案例3 进位制
第二章、统计
一、随机抽样
类 别
共同点
各自特点
联 系
适 用
范 围
简 单
随 机
抽 样

（1）抽样过程中每个个体被抽到的可能性________。
（2）每次抽出个体后不再将它放回，即________抽样
从总体中______抽取

总体个数较少
将总体均分成几部 分，按__________的规则在各部分抽取
在起始部分
样时采用________抽样
总体个数较多
系 统
抽 样
将总体分成_______，
分层进行抽取
分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由_______的几部分组成
分 层
抽 样
二、用样本估计总体
第一节：用样本的频率分布估计总体分布
1)频率分布的概念：频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为：(1)计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差；（2）决定组距与组数将数据分组；（3）列频率分布表；（4）画频率分布直方图。
2)频率分布折线图、总体密度曲线1．频率分布折线图的定义：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。2．总体密度曲线的定义：在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。
3)茎叶图：１．茎叶图的概念：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图。
2．茎叶图的特征：（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。
（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。
第二节、用样本的数字特征估计总体的数字特征
4)、众数、中位数、平均数。如何从频率分布直方图中估计中位数？
5)、标准差、方差；标准差s= ；
标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。
第三节、变量间的相关关系
1)、变量间的相关性：
　　在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形称为散点图。如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。
　　　求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法。
求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：（1）计算平均数，；（2）求a，b；（3）写出回归直线方程。
回归直线方程，必过样本中心点，其中＝xi，＝ yi　。
第三章、概率
一、随机事件的概率：
1、必然事件、不可能事件、随机事件、频率与概率
2、（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B___________；
（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为____________事件；
（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= _______________；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)。
二、古典概型
1、基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念；
2、古典概型的概率计算公式：P（A）= 。
三、几何概型
1、几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与 ______________________________________________________。
2、几何概型的概率公式：P（A）= 。
3、几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有 个；2）每个基本事件出现的可能性 。
例1 写一个算法程序,计算1+2+3+…+n的值(要求可以输入任意大于1的正自然数)

例2：已知函数右图表示的是给定x的值，求其对应的
函数值y的程序框图，①处应填写 ；②处应填写 ．

例3把十进制数53转化为二进制数。

例4 利用辗转相除法求3869与6497的最大公约数与最小公倍数。

时速（km）
0.01 01
0.02 02
0.03 03
0.04 04
频率
组距
40
50
60
70
80
例5、已知辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如
右图所示，求时速在的汽车大约有多少辆？求此段时间内汽车时速的
平均数，中位数，众数。
例6、对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽门功课，得到的观测值如右。问：甲、乙谁的平均成绩最好？谁的各门功课发展较平衡？

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第一章 三角函数
一、三角函数的概念：
1、弧度制：（弧度数）＝____ =__________ 1弧度＝_____度
2、任意角的三角函数：（1）若终边上点P在单位圆上，则_________；一般地说，终边上取点P，_____________________________ （（2） 符号规律：__________________________（3） 单位圆中的三角函数线：
⑷ 重要结论：当时，__________ ＜＜
二、同角三角函数的基本关系：（1） 平方关系：______________ ⑵ 商数关系：____________
三、

u
诱导公式记忆口诀：___________________________。
四、三角函数的图象和性质：
1、 ① T=_______ ②单增区间：____________单减区间：________________
③奇偶性:_____图像关于_________对称。④对称轴方程：______（）；对称中心：(______________________),
2、 ① T=_______ ②单增区间：________单减区间：_________
③奇偶性:_____图像关于_________对 。 ④对称轴方程：______（）；对称中心：(___________________),
3、 ①且≠____________， 奇函数
②单增区间：______________， 对称中心：_________
4、＞0，A＞0）的图象和性质：
①五点法作图：令= ____________________,则y=_______________
②性质： T=_______ ； 单调性：令___________≤≤__________，得到增区间； 对称性：令＝_________，得对称轴方程；令＝__________， （）为对称中心。 奇偶性：若__________，为奇函数；若________________为偶函数。
③图像变换：__________________得的图像___________得的图像_____________________得的图像。
补充：1、
Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

2、终边落在x轴上的角的集合：________________ 终边落在y轴上的角的集合：________________ 终边落在坐标轴上的角的集合：________________
3、 周期问题：
第二章 平面向量
一、平面向量的概念与运算：
1、平面向量的概念：①向量②零向量③向量的模：即向量的长度，用或来表示。
④相等的向量：________________两个向量称为相等的向量。
2、平面向量的运算: 设，，＜＞＝θ
+= =(________________)； －= ＝(________________)
＝（________________） ＝________________
性质： =________________
二、平面向量之间的关系：
⑴平面向量基本定理：设与不共线，则对平面内，唯一实数对，使得
⑵‖（共线） 对≠，唯一实数使得或‖
若与不共线，且 ， 则‖
⑶⊥（垂直） ⊥________________ ________________＝0
⑷夹角：当时，＞0且不共线；当时，＜0且不共线。
特别的，
补充：1、 线段的定比分点问题.(1)直接列向量等式解决;(2)推导定比分点坐标公式;
2、
第三章 三角恒等变换
一、和差角公式：__________ _____ _。
二、二倍角及降幂公式：__________ ______。
三、常见角的转化：

= ，
四、所在象限由a、b符号来确定。注意到
补充：1、半角公式：
2、降幂扩角公式：
3、万能公式:
4、三倍角公式：
5、在有些题目中应用广泛。
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第一章、解三角形
一、三角形中的三角问题：1、
； ； ； 。2、正弦定理：___________________________余弦定理：_____________________________变形： ______________ _________________________________________________________。
3、 。
补充：1．常见三角不等式：（1）若，则.
(2) 若，则. (3) .
2.三角形面积定理：（1）S=________________________（分别表示a、b、c边上的高）.
（2）S=________________________. (3).
3.三角形内角和定理： 在△ABC中，。
4. 正弦型函数的对称轴为_____；对称中心为____；类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心。
第二章 数列
一、数列的一般概念
1．数列的定义： 。
2．数列与函数的关系：数列可以看做一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数。
3．数列的通项公式：如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式 来表示。
4．递推公式：由已知项，如与前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式表示。。
5．数列的表示法（1）列举法：如1，3，5，7，9，…；（2）图解法：用（，）这些孤立点表示；
（3）解析法：用通项公式表示，如；（4）递推法：用递推公式表示．
6．数列的分类（1）按数列项数的有限与无限分为两类：有穷数列与无穷数列。
2）按项与项的大小关系分为四类：递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列。
7．数列的通项与前项和的关系：
二、等差数列1．定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。符号语言：数列是等差数列
。
2．等差中项若三个数、、成等差数列，则称是与的等差中项．
是与的等差中项 。3．通项公式： 。推广形式：。4．前项和公式 或 。
5．等差数列的增减性：递增数列；递减数列；常数数列．
6．等差数列的重要性质：（1）子数列 若是等差数列，且公差为，则数列与都是公差为2的等差数列．一般地，若是等差数列，且公差为，是等差数列，且公差为，则数列是公差为的等差数列．（2）等距性 若是等差数列，且，则 特别地，若是等差数列，则（、）．（3）片片和若是等差数列，前项和为，则，，，…，是等差数列。
7．证明等差数列的方法：（1）利用定义证明，即证（为常数）；（2）利用等差中项公式证明，即证。
三、等比数列：1．定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。符号语言：数列是等比数列
。
2．等比中项 若三个数、、成等比数列，则称是与的等比中项．
是与的等比中项 。3．通项公式： 。推广形式：．
4．前项和公式：（分类讨论）
5．等比数列的增减性递增数列；递减数列；常数数列；摆动数列．
6．等比数列的重要性质：（1）子数列 若是等比数列，且公比为，则数列与都是公比为的等比数列。一般地，若是等比数列，且公比为，是等差数列，且公差为，则数列是公比为的等比数列。（2）等距性：若是等比数列，且，则 。 特别地，若是等比数列，则（、）。
（3）片片和：若是等比数列，前项和为，且，则，，，…是等比数列．
7．证明等比数列的方法（1）定义证明，即证（为非零常数）；或证且。
第三章 不等式
一、不等关系与不等式：1．不等式的定义；2．不等式建立的基础：若则，，．
3．不等式的有关名称：同向不等式；绝对值不等式；条件不等式。
4．不等式的性质
（1）对称性：若，则 ；（2）传递性：若，，则 ；
（3）加法单调性：若，为任意实数，则 ；
（4）乘法单调性：若，，则 ，若，，则 ；
（5）同向不等式相加：若，，则 ；
（6）异向不等式相减：若，，则 ；
（7）正数同向不等式相乘：若，，则 ；
（8）正数异向不等式相除：若，，则 ；
(9）乘方法则：若，且，则 ；
（10）开方法则：若，且，则 ；
（11）倒数法则：若，，则 。
二、几类不等式的解法
1．一元二次不等式及其解法：一元二次不等式的解集：(重要结论)

二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

不等式对恒成立 ；不等式对恒成立 ；不等式对恒成立 ；不等式对恒成立 。
2．一元高次不等式及其解法：可用数轴标根穿针引线法．
3．分式不等式及其解法：分母含有未知数的不等式叫做分式不等式．
分式不等式的解法：， 且 ；
，且；
三、二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
1．二元一次不等式的有关问题：（1）二元一次不等式；（2）二元一次不等式的解：二元一次不等式的解集不是数轴上的一个区间，而是平面上的一个区域。（3）二元一次不等式表示的平面区域；（4）二元一次不等式表示的平面区域的判定：①二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）。②由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）。③不等式表示的区域是直线的 ；不等式表示的区域是直线的 ；是 。
（5）二元一次不等式组表示的平面区域：
简单的线性规划问题的处理步骤：①寻找线性约束条件，线性目标函数；②由二元一次不等式表示平面区域做出可行域；③在可行域内求目标函数的最优解．
四、基本不等式1．重要不等式：若，则 （当且仅当时取等号）．
2．基本不等式：若，则 （当且仅当时取等号）．
3．求最值常用的不等式：，，．注意点：一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小．
5．常用的基本不等式:（1）若，则，，，，．
（2）若为正数，则(当且仅当时取等号) ．
推广：若，则（当且仅当时取等号）．
即个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
(3) 若为正数，则（当且仅当时取等号）。
（4）若、同号，则。（5）若，则。