2025年山东省济南市数学高一第一学期期末经典试题含解析.doc

2025年山东省济南市数学高一第一学期期末经典试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设，且，则（ ）
A. B.
C. D.
2．函数的值域是
A. B.
C. D.
3．已知，则等于（）
A. B.
C. D.
4．如图，在棱长为1的正方体中，三棱锥的体积为（）

A. B.
C. D.
5．下列函数中为奇函数，且在定义域上是增函数是（）
A. B.
C. D.
6．计算：的值为
A. B.
C. D.
7．下列四个函数中，在上为增函数的是（）
A. B.
C. D.
8．已知为所在平面内一点，，则（）
A. B.
C. D.
9．若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
10．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最合适的是（）
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.51
4.04
7.51
12.03
18.01
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，若有解，则m的取值范围是______
12．已知定义在上的偶函数在上递减，且，则不等式的解集为__________
13．已知定义在上的偶函数，当时，若直线与函数的图象恰有八个交点，其横坐标分别为，，，，，，，，则的取值范围是___________.
14．已知偶函数是区间上单调递增，则满足的取值集合是__________
15．已知，函数在上单调递增，则的取值范围是__
16．已知函数图像关于对称，当时，恒成立，则满足的取值范围是_____________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知为坐标原点,,,若
(1)求函数的对称轴方程;
(2)当时,若函数有零点,求的范围.
18．已知函数 的图像如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的最大值和最小值.
19．已知函数
（1）求的单调区间及最大值
（2）设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围
20．已知函数，

（1）求函数的最小正周期；
（2）用“五点法”做出在区间的简图
21．已知函数
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，即可得到答案；
详解】
，
，，
，
故选：D
2、A
【解析】由，知，解得
令，则.，即为和两函数图象有交点，作出函数图象，如图所示：

由图可知，当直线和半圆相切时最小，当直线过点A(4,0)时，最大.
当直线和半圆相切时，，解得，由图可知.
当直线过点A(4,0)时，，解得.
所以，即.
故选A.
3、A
【解析】利用换元法设，则，然后利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可
【详解】设，则，则，
则，
故选：
4、A
【解析】用正方体的体积减去四个三棱锥的体积
【详解】由，

故选：A
5、D
【解析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断
【详解】对于函数，定义域为，且，所以函数为偶函数，不符合题意；
对于在定义域上不单调，不符合题意；
对于在定义域上不单调，不符合题意；
对于，由幂函数的性质可知，函数在定义域上为单调递增的奇函数，符合题意
故选：D
6、A
【解析】运用指数对数运算法则.
【详解】
.
故选:A.
【点睛】本题考查指数对数运算，是简单题.
7、C
【解析】A.利用一次函数的性质判断；B.利用二次函数的性质判断；C.利用反比例函数的性质判断；D.由，利用一次函数的性质判断；
【详解】A.由一次函数的性质知：在上为减函数，故错误；
B.由二次函数的性质知：在递减，在上递增，故错误；
C.由反比例函数的性质知：在上递增，在递增，则在上为增函数，故正确；
D.由知：函数在上为减函数，故错误；
故选：C
【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数和反比例函数的单调性，属于基础题.
8、A
【解析】根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理即可得出答案.
【详解】解：因为为所在平面内一点，，
所以.
故选：A
9、C
【解析】根据函数的单调性得到关于k的不等式组，解出即可
【详解】解：f（x）＝＝1+，
若f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，
则，故k≤﹣2，
故选：C
10、B
【解析】由题中表格可知函数在上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，逐一判断，选择与实际数据接近的函数得选项.
【详解】解：由题中表格可知函数在上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，
对于A，函数是线性增加的函数，与表中的数据增加趋势不符合，故A不正确；
对于C，函数，当，与表中数据7.5的误差很大，不符合要求，故C不正确；
对于D，函数，当，与表中数据4.04的误差很大，不符合要求，故D不正确；
对于B，当，与表中数据1.51接近，
当，与表中数据4.04接近，
当，与表中数据7.51接近，
所以，B选项的函数是最接近实际的一个函数，
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用函数的值域，转化方程的实数解，列出不等式求解即可．
【详解】函数，若有解，
就是关于的方程在上有解；
可得：或，
解得：或
可得．
故答案为．
【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想有解计算能力．
12、
【解析】因为，而为偶函数，故，故原不等式等价于，也就是，所以即，填
点睛：对于偶函数，有．解题时注意利用这个性质把未知区间的性质问题转化为已知区间上的性质问题去处理
13、
【解析】先作出函数的大致图象，由函数性质及图象可知八个根是两两关于轴对称的，因此分析可得,，进而将转化为
形式，再数形结合，求得结果.
【详解】作出函数的图象如图：

直线与函数的图象恰有八个交点，其横坐标分别为，，，，，，，，
不妨设从左到右分别是，，，，，，，，则 ，
由函数解析式以及图象可知： ，
即 ，同理： ；
由图象为偶函数，图象关于轴对称可知： ，
所以
又因为是方程 的两根，
所以 ，
而 ，所以 ，
故 ，
即，
故答案为：
14、
【解析】因为为偶函数，所以等价于，
又是区间上单调递增，所以.
解得.
答案为：.
点睛：本题属于对函数单调性应用的考查，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.
15、
【解析】本题已知函数的单调区间，求参数的取值范围，难度中等．由，得，又函数在上单调递增，所以，即，注意到，即，所以取，得
考点：函数的图象与性质
【方法点晴】已知函数为单调递增函数，可得变量的取值范围，其必包含区间，从而可得参数的取值范围，本题还需挖掘参数的隐含范围，即函数在上单调递增，可知，因此，综合题
16、
【解析】由函数图像关于对称，可得函数是偶函数，由当时，恒成立，可得函数在上为增函数，从而将转化为，进而可求出取值范围
【详解】因为函数图像关于对称，
所以函数是偶函数，
所以可转化为
因为当时，恒成立，
所以函数在上为增函数，
所以，解得，
所以取值范围为，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），（2）
【解析】（1）先利用数量积的坐标表示以及三角恒等变换化简三角函数得，再根据正弦函数的对称性即可得出结论；
（2）由题意得有解，求出函数在区间上的值域即可得出结论
【详解】解:（1），，
，
对称轴方程为，
即；
（2）,有零点，，
，，，
，

【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题
18、（1）；（2）最大值，最小值为-1.
【解析】（1）由图可知，，可得，再将点代入得，结合，可得的值，即可求出函数的解析式；（2）根据函数的周期，可求 时函数的最大值和最小值就是转化为求函数在区间上的最大值和最小值，结合三角函数图象，即可求出函数的最大值和最小值.
试题解析：（1）由图可知：，则
∴，
将点代入得，，
∴，，即，
∵
∴
∴函数的解析式为.
（2）∵函数的周期是
∴求时函数的最大值和最小值就是转化为求函数在区间上的最大值和最小值.
由图像可知，当时，函数取得最大值为，
当时，函数取得最小值为.
∴函数在上的最大值为，最小值为-1.
点睛：已知图象求函数解析式的方法
（1）根据图象得到函数的周期，再根据求得
（2）可根据代点法求解，代点时一般将最值点的坐标代入解析式；也可用“五点法”求解，用此法时需要先判断出“第一点”的位置，再结合图象中的点求出的值
（3）在本题中运用了代点的方法求得的值，一般情况下可通过观察图象得到的值
19、（1）单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）
【解析】（1）首先确定的定义域，将其整理为，利用复合函数单调性的判断方法得到单调性，结合单调性可求得最值；
（2）根据对数函数单调性可将恒成立不等式转化为，采用分离变量法可得，结合对勾函数单调性可求得，由此可得结果.
【小问1详解】
由得：，的定义域为；
，
令，则在上单调递增，在上单调递减，
又在定义域内单调递增，
由复合函数单调性可知：的单调递增区间为，单调递减区间为；
由单调性可知：.
【小问2详解】
在上恒成立，，
即，在上恒成立，
；
令，则在上单调递增，在上单调递减，
，，即实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数单调性和最值的求解、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够将对数函数值之间的大小关系转化为一元二次不等式在区间内恒成立问题的求解，进而可采用分离变量的方法或讨论二次函数图象的方式来进行求解.
20、（1）；（2）答案见解析
【解析】（1）利用两角和的正弦公式及二倍角公式化简即可得解；
（2）列表，描点，即可作出图像.
【详解】（1）由题意

所以函数的最小正周期；
（2）列表

0

0

作图如下：

21、（1）最小正周期为，单调递增区间为，k∈Z；
（2）最大值为，最小值为
【解析】（1）先通过降幂公式化简得，进而求出最小正周期和单调递增区间；
（2）通过，求出，进而求出最大值和最小值.
【小问1详解】

，
∴函数f（x）的最小正周期为，
令，k∈Z，则，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z
【小问2详解】
∵，∴，
则，∴，
∴函数f（x）的最大值为，最小值为