2026届河南省兰考县第一高级中学高一数学第一学期期末综合测试试题含解析.doc

2026届河南省兰考县第一高级中学高一数学第一学期期末综合测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．已知等边的边长为2，为内（包括三条边上）一点，则的最大值是
A.2 B.
C.0 D.
3．下列函数中是增函数的为（）
A. B.
C. D.
4．集合，，则间的关系是（）
A. B.
C. D.
5．已知函数，则下列判断正确的是
A.函数是奇函数，且在R上是增函数
B.函数偶函数，且在R上是增函数
C.函数是奇函数，且在R上是减函数
D.函数是偶函数，且在R上是减函数
6．函数的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”
下列命题：
①“囧函数”的值域为R；
②“囧函数”在上单调递增；
③“囧函数”的图象关于轴对称；
④“囧函数”有两个零点；
⑤“囧函数”的图象与直线
至少有一个交点．正确命题的个数为
A1 B.2
C.3 D.4
7．纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是（℃），空气的温度是（℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.5236分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度是（　　）
A.5℃ B.10℃
C.15℃ D.20℃
8． “”是“幂函数在上单调递增”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9．已知函数在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．设，，，则的大小关系是（ ）
A B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为_______；的取值范围是________.
12．用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为__________
13．①函数y=sin2x的单调增区间是[]，（k∈Z）；②函数y=tanx在它的定义域内是增函数；③函数y=|cos2x|的周期是π；④函数y=sin（）是偶函数；其中正确的是____________
14．已知函数（且）只有一个零点，则实数的取值范围为______
15．函数=(其中且)的图象恒过定点,且点在幂函数的图象上,则= ______.
16．函数的最大值是__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知如图，在直三棱柱中，，且，是的中点，是的中点，点在直线上.

（1）若为中点，求证：平面；
（2）证明：
18．已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为.
（Ⅰ）若，求点的坐标；
（Ⅱ）求证：经过三点圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
19．已知函数．求：
（1）函数的单调递减区间，对称轴，对称中心；
（2）当时，函数的值域
20．如图，在平面四边形中，，，，，，于点E

（1）求四边形面积的最大值；
（2）求的取值范围
21．已知函数，.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值及相应的的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据三角恒等变换化简，结合函数单调区间和取得最值的情况，利用整体法即可求得参数的范围.
【详解】因为
，
因为在区间上单调递增，由，则，
则，解得，即；
当时，，要使得该函数取得一次最大值，
故只需，解得；
综上所述，的取值范围为.
故选：C.
第II卷
2、A
【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系，则，设点P的坐标为，
则
故
令，则t表示内（包括三条边上）上的一点与点间的距离的平方．结合图形可得当点与点B或C重合时t可取得最大值，且最大值为，故的最大值为．选A
点睛：
通过建立坐标系，将问题转化为向量的坐标运算可使得本题的解答代数化，在得到向量数量积的表达式后，根据表达式的特征再利用数形结合的思路求解是解题的关键，借助图形的直观性可容易得到答案
3、D
【解析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
4、D
【解析】解指数不等式和一元二次不等式得集合，再判断各选项
【详解】由题意，或，
所以，即
故选：D
【点睛】本题考查集合的运算与集合的关键，考查解一元二次不等式，指数不等式，掌握指数函数性质是解题关键
5、A
【解析】求出的定义域，判断的奇偶性和单调性，进而可得解.
【详解】的定义域为R，且；
∴是奇函数；
又和都是R上的增函数；
是R上的增函数
故选A
【点睛】本题考查奇偶性的判断，考查了指数函数的单调性，属于基础题
6、B
【解析】根据“囧函数”的定义结合反比例函数的性质即可判断①，根据复合函数的单调性即可②，根据奇偶性的定义即可判断③，根据零点的定义及反比例函数的性质即可判断④，数形结合即可判断⑤.
【详解】解：由题设可知函数的函数值不会取到0，故命题①是错误的；
当时，函数是单调递增函数，故“囧函数”在上单调递减，因此命题②是错误的；
函数的定义域为，
因为，
所以函数是偶函数，因此其图象关于轴对称，命题③是真命题；
因当时函数恒不为零，即没有零点，故命题④是错误的；
作出的大致图象，如图，在四个象限都有图象，
故直线与函数的图象至少有一个交点，因此命题⑤也是真命题
综上 命题③⑤是正确的，其它都是错误的.
故选：B

7、B
【解析】依题意可得，即，即可得到方程，解得即可；
【详解】：依题意，即，又，所以，即，解得；
故选：B
8、A
【解析】由幂函数的概念，即可求出或，再根据或均满足在上单调递增以及充分条件、必要条件的概念，即可得到结果.
【详解】若为幂函数，则，解得或，
又或都满足在上单调递增
故“”是“幂函数在上单调递增”的充分不必要条件
故选：A.
9、C
【解析】由在，上单调递减，得，由在上单调递减，得，作出函数且在上的大致图象，利用数形结合思想能求出的取值范围
【详解】解：由在上单调递减，得，
又由且在上单调递减，
得，解得，所以，
作出函数且在上的大致图象，

由图象可知，在上，有且仅有一个解，
故在上，同样有且仅有一个解，
当，即时，联立，即，
则，解得：，
当时，即，由图象可知，符合条件
综上：
故选：C
10、C
【解析】详解】，即，选.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①. ②.
【解析】根据题意，直接列式，根据题意求的最小值和最大值，得到的取值范围.
【详解】由题意可知函数关系式是，
由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是.
故答案为：；
12、
【解析】根据圆锥的底面周长等于半圆形纸片的弧长建立等式,再根据半圆形纸片的半径为圆锥的母线长求解即可.
【详解】由题得, 半圆形纸片弧长为,设圆锥的底面半径为,则,
故圆锥的高为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆锥展开图中的运算,重点是根据圆锥底面的周长等于展开后扇形的弧长,属于基础题.
13、①④
【解析】①由，解得．可得函数单调增区间；
②函数在定义域内不具有单调性；
③由，即可得出函数的最小正周期；
④利用诱导公式可得函数，即可得出奇偶性
【详解】解：①由，解得．可知：函数的单调增区间是，，，故①正确；
②函数在定义域内不具有单调性，故②不正确；
③，因此函数的最小正周期是，故③不正确；
④函数是偶函数，故④正确
其中正确的是①④
故答案为：①④
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
14、或或
【解析】∵函数（且）只有一个零点，
∴
∴
当时，方程有唯一根2，适合题意
当时，或
显然符合题意的零点
∴当时，
当时，，即
综上：实数的取值范围为或或
故答案为或或
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解
15、9
【解析】由题意知,当时,.即函数=的图象恒过定点.而在幂函数的图象上,所以,解得,即,所以=9.
16、
【解析】由题意得，
令，
则，且
故，，
所以当时，函数取得最大值，且，
即函数的最大值为
答案：
点睛：
（1）对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，当其中一个式子的值知道时，其余二式的值可求，转化的公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α
（2）求形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的函数的最值（或值域）时，可先设t＝sin x±cos x，转化为关于t的二次函数求最值（或值域）

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）取中点为，连接，，首先说明四边形是平行四边形，即可得，根据线面平行判定定理即可得结果；（2）连接，利用得到，再通过平面得到，进而平面，即可得最后结果.
【详解】（1）证明：取中点为，连接，，
在中，， 又
所以，，即四边形是平行四边形.
故，
又平面，平面，

所以，平面.
（2）证明：连接，在正方形中，，
所以，与互余，故，
又，，，
所以，平面，又平面，
故 又,
所以平面 又平面，
所以
【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，通过线线垂直线面垂直线面垂直的过程，属于中档题.在证明线面平行中，常见的方法有以下几种：1、利用三角形中位线；2、构造平行四边形得到线线平行；3、构造面面平行等.
18、 (1) 点的坐标为或 (2)见解析， 过的圆必过定点和
【解析】（1）设，由题可知，由点点距得到，解得参数值；（2）设的中点为，过三点的圆是以为直径的圆，根据圆的标准方程得到圆 ，根据点P在直线上得到，代入上式可求出，进而得到定点
解析：
（Ⅰ）设，由题可知，
即，解得：，
故所求点的坐标为或.
（2）设的中点为，过三点的圆是以为直径的圆，
设，则
又∵
圆
又∵代入（1）式，得：

整理得：
无论取何值时，该圆都经过的交点或
综上所述，过的圆必过定点和
点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系；一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值
19、（1）单调递减区间为；对称轴为，；对称中心为，；（2）
【解析】（1）首先化简函数解析式得到，然后结合函数的图象与性质即可求出单调递减区间，对称轴和对称中心；
（2）由求得，即可求出值域.
【详解】（1）化简可得，
由，，可得，，
∴函数的单调递减区间为，
令，可得，故函数的对称轴为，；
令，得，故函数的对称中心为，
（2）当时，，
∴，∴，
∴函数的值域为
20、（1）
（2）
【解析】（1）依题意可得，，再由，得到，，再根据，利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）依题意可得，再令，则，再根据二次函数的性质计算可得；
【小问1详解】
解：因为，，，
所以，.
又因为，所以，
则

因为，，所以，
当时，即时，S四边形ABCD最大值为
【小问2详解】
解：
设，则，
所以，则.
因为，，所以
而在单调递增，
可得的取值范围
21、（1），
（2）时，，时，.
【解析】（1）将函数化简得，可求函数的最小正周期；
（2）由求出，进而求出函数在区间上的最大值和最小值及相应的的值.
【小问1详解】

所以.
【小问2详解】
因为，所以，
所以，所以，
当时，即，，
当时，即，.