2025-2026学年广东省中山市华侨中学高一数学第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

2025-2026学年广东省中山市华侨中学高一数学第一学期期末考试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若实数，满足，则的最小值是（）
A.18 B.9
C.6 D.2
2．下列关于向量的叙述中正确的是（）
A.单位向量都相等
B.若，，则
C.已知非零向量，，若，则
D.若，且，则
3．已知函数，，其函数图象的一个对称中心是，则该函数的一个单调递减区间是（ ）
A. B.
C. D.
4．已知平行四边形的对角线相交于点点在的内部(不含边界).若则实数对可以是

A. B.
C. D.
5．如果，，那么直线不通过
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6． “不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
7．给定函数①；②；③；④，其中在区间上单调递减的函数的序号是（ ）
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
8．的值是　　
A. B.
C. D.
9．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．已知矩形，，，沿矩形的对角线将平面折起，若四点都在同一球面上，则该球面的面积为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______.
12．若函数在区间上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_________.
13．已知角的终边经过点，则的值是______.
14．若函数在上存在零点，则实数的取值范围是________
15．已知集合M={3，m+1}，4∈M，则实数m的值为______
16．设函数（e为自然对数的底数，a为常数），若为偶函数，则实数______；若对，恒成立，则实数a的取值范围是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数f（x）=a+是奇函数，a∈R是常数
（Ⅰ）试确定a的值；
（Ⅱ）用定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；
（Ⅲ）若f（2t+1）+f（1-t）＜0成立，求t的取值范围
18．已知函数．
（1）求f（x）的定义域及单调区间；
（2）求f（x）的最大值，并求出取得最大值时x的值；
（3）设函数，若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，求实数a的取值范围．
19．某商品上市天内每件的销售价格(元)与时间(天)函数的关系是，该商品的日销售量(件)与时间(天)的函数关系是.
（1）求该商品上市第天的日销售金额；
（2）求这个商品的日销售金额的最大值.
20．已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式：
（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域
21．（1）若是的根，求的值
（2）若，，且，，求的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】，利用基本不等式注意等号成立条件，求最小值即可
【详解】∵，，
∴当且仅当，即，时取等号
∴的最小值为6
故选：C
【点睛】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，注意应用基本不等式的前提条件：“一正二定三相等”
2、C
【解析】A选项：单位向量方向不一定相同，故A错误；B选项：当时，与不一定共线，故B错误；C选项：两边平方可得，故C正确；D选项：举特殊向量可知D错误.
【详解】A选项：因为单位向量既有大小又有方向，但是单位向量方向不一定相同，故A错误；
B选项：当时，，，但与不一定共线，故B错误；
C选项：对两边平方得，，所以，故C正确；
D选项：比如：，，，所以，，所以，但，故D错误.
故选：C.
3、D
【解析】由正切函数的对称中心得，得到，令可解得函数的单调递减区间.
【详解】因为是函数的对称中心，所以，解得
因为，所以，，
令，解得，
当时，函数的一个单调递减区间是
故选：D
【点睛】本题考查正切函数的图像与性质，属于基础题.
4、B
【解析】分析：根据x,y值确定P点位置，逐一验证.
详解：因为，所以P在线段BD上，不合题意，舍去；
因为，所以P在线段OD外侧，符合题意，
因为，所以P在线段OB内侧，不合题意，舍去；
因为，所以P在线段OD内侧，不合题意，舍去；
选B.
点睛：若，则三点共线,利用这个充要关系可确定点的位置.
5、A
【解析】 截距 ,因此直线不通过第一象限,选A
6、C
【解析】
先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.
【详解】因为“不等式在上恒成立”，所以当时，原不等式为在上不是恒成立的，所以，
所以“不等式在上恒成立”，等价于，解得.
A选项是充要条件，不成立；
B选项中，不可推导出，B不成立；
C选项中，可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，正确；
D选项中，可推导，且不可推导，故是的充分不必要条件，D不正确.
故选：C.
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含
7、B
【解析】根据指对幂函数性质依次判断即可得答案.
【详解】解：对于①，在上单调递增；
对于②，在上单调递减；
对于③，时，在上单调递减；
对于④，在上单调递增；
故在区间上单调递减的函数的序号是②③
故选：B
8、B
【解析】由余弦函数的二倍角公式把等价转化为，再由诱导公式进一步简化为，由此能求出结果
详解】，故选B
【点睛】本题考查余弦函数的二倍角公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意诱导公式的灵活运用，属于基础题.
9、B
【解析】根据二次函数的单调性可得出关于的不等式，即可得解.
【详解】因为函数在区间上单调递增，则，解得.
故选：B.
10、C
【解析】矩形ABCD,AB=6，BC=8，矩形的对角线AC=10为该球的直径，所以该球面的面积为.
故选C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据分段函数的单调性，可知每段函数的单调性，以及分界点处的函数的的大小关系，即可列式求解.
【详解】因为分段函数在上单调递减，所以每段都单调递减，即，并且在分界点处需满足，即，解得：.
故答案为：
12、
【解析】首先根据函数的解析式确定，再利用换元法将函数
在区间上有两个不同的零点的问题，转化为方程
区间上有两个不同根的问题，由此列出不等式组解得答案.
【详解】函数在区间上有两个不同的零点，
则 ，故由 可知： ，
当时，，显然不符合题意，故，
又函数在区间上有两个不同的零点，
等价于在区间上有两个不同的根，
设 ，
则函数在区间上有两个不同的根，
等价于 在区间上有两个不同的根，
由得 ，
要使区间上有两个不同的根，
需满足 ，解得 ，
故答案为：
13、##
【解析】根据三角函数定义得到，，进而得到答案.
【详解】角的终边经过点，
，，
.
故答案为：.
14、
【解析】分和并结合图象讨论即可
【详解】解：令，则有，
原命题等价于函数与在上有交点，
又因为在上单调递减，且当时，，
在上单调递增，
当时，作出两函数的图像，

则两函数在上必有交点，满足题意；
当时，如图所示，只需，
解得，即，

综上所述实数的取值范围是.
故答案为：
15、3
【解析】∵集合M={3，m+1}，4∈M，
∴4=m+1，
解得m=3
故答案为3.
16、 ①.1 ②.
【解析】第一空根据偶函数的定义求参数，第二空为恒成立问题，参变分离后转化成求函数最值
【详解】由，即，关于恒成立，故
恒成立，等价于恒成立
令，，，故a的取值范围是
故答案为：1，

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）a=1；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）-2＜t＜-或t＞1.
【解析】（Ⅰ） 根据恒成立可得；
（Ⅱ） 按照设点、作差、变形、判号、下结论，五个步骤证明；
（Ⅲ） 利用奇偶性、单调性转化不等式，从而求解
【详解】（Ⅰ）∵f（x）+f（-x）=2a++=2a-=2a-2=0对R恒成立，∴a=1
（Ⅱ）设0＜x1＜x2＜+∞，∵f（x2）-f（x1）=-=.  （*）
∵函数y=2x是增函数，又0＜x1＜x2，∴＞0，
而-1＞0，-1＞0，∴（*）式小于0
∴f（x2）＜f（x1），即f（x）是区间（0，+∞）上是减函数
（Ⅲ）∵f（x）是奇函数，∴f（2t+1）+f（1-t）＜0可化为f（2t+1）＜f（t-1）
由（Ⅱ）可知f（x）在区间（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数
当2t+1＞0，t-1＞0时，f（2t+1）＜f（t-1）化为2t+1＞t-1，
解得t＞1；
当2t+1＜0，t-1＜0时，f（2t+1）＜f（t-1）化为2t+1＞t-1，
解得-2＜t＜-；
当2t+1＜0，t-1＞0时，f（2t+1）＜0＜f（t-1）显然成立，无解；
当2t+10，t-10时，f（2t+1）0，f（t-1），f（2t+1）＜f（t-1）显然不成立，
综上，f（2t+1）+f（1-t）＜0成立时t的取值范围是-2＜t＜-或t＞1
【点睛】本题考查了偶函数定义，单调性的证明，偶函数的应用及单调性的应用，等价转化思想，属中档题
18、（1）定义域为（﹣1，3）；f（x）的单调增区间为（﹣1，1]，f（x）的单调减区间为[1，3）；（2）当x＝1时，函数f（x）取最大值1；（3）a≥﹣2．
【解析】（1）利用对数的真数大于零即可求得定义域，根据复合函数的单调性“同增异减”即可求得单调区间；
（2）根据函数的单调性即可求解；
（3）将f（x）≤g（x）转化为x2＋ax＋1≥0在x∈（0，3）上恒成立，即a≥﹣（x＋）在x∈（0，3）上恒成立，即即可，结合基本不等式即可求解.
【详解】解：（1）令2x＋3﹣x2＞0，
解得：x∈（﹣1，3），即f（x）的定义域为（﹣1，3），
令t＝2x＋3﹣x2，则，∵为增函数，
x∈（﹣1，1]时，t＝2x＋3﹣x2为增函数；
x∈[1，3）时，t＝2x＋3﹣x2为减函数；
故f（x）的单调增区间为（﹣1，1]；f（x）的单调减区间为[1，3）
（2）由（1）知当x＝1时，t＝2x＋3﹣x2取最大值4，此时函数f（x）取最大值1；
（3）若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，
则2x＋3﹣x2≤（a＋2）x＋4在x∈（0，3）上恒成立，
即x2＋ax＋1≥0在x∈（0，3）上恒成立，即a≥﹣（x＋）在x∈（0，3）上恒成立，
当x∈（0，3）时，x＋≥2，则﹣（x＋）≤﹣2，故a≥﹣2
19、（1）750元；（2）元.
【解析】（1）根据题目提供的函数关系式分别算出该商品上市第20天的销售价格和日销售量即可；
（2）设日销售金额为元，则，分别讨论当时以及当时的情况即可
【详解】解：（1）该商品上市第天的销售价格是元，日销售量为件.
所以该商品上市第天的日销售金额是元.
（2）设日销售金额为(元)，则.
当，
时，取得最大值为（元），
当，
时，取得最大值为(元).
所以第天时，这个商品的日销售金额最大，最大值为(元).
20、（1）；（2）.
【解析】（1）由函数图象顶点求出，再根据周期求出，根据点五点中的求出，即可得函数解析式；
（2）先根据平移得出，由，得出，再根据三角函数图形及性质即可求出值域
【详解】（1）由题设图象可知，
∵周期，又，
∴，
∵过点，
∴，即，
∴，即
∵，
∴，
故函数的解析式为；
（2）由题意可知，
∵，
∴，
∴，故，
∴在上的值域为
【点睛】本题主要考查由的部分图象求解析式，以及求三角函数的值域的应用，属于中档题．
21、（1）；（2）
【解析】（1）先求出，再通过诱导公式及切化弦化简原式后再代值即可；
（2）通过角的范围及已知的三角函数值求出和，再运用正弦的两角差的公式计算即可.
【详解】（1）方程解得或，因为为其解，所以.
则原式

由于，
所以原式.
（2）因为，所以，
又因为，所以，
因为，，可得，
又，可得，
而
.