河南省新乡市辉县市第一高级中学2025-2026学年高一上数学期末质量检测试题含解析.doc

河南省新乡市辉县市第一高级中学2025-2026学年高一上数学期末质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若一个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的弧长等于（）
A. B.
C. D.
2．四个函数：①；②；③；④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（）

A.④①②③ B.①④②③
C.③④②① D.①④③②
3．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为
A. B.
C. D.
4．圆与圆有（）条公切线
A.0 B.2
C.3 D.4
5．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）

A. B.
C. D.
6．如图，正方体中，
①与平行；
②与垂直；
③与垂直

以上三个命题中，正确命题的序号是（ ）
A.①② B.②③
C.③ D.①②③
7．幂函数图象经过点，则的值为（）
A. B.
C. D.
8．为了得到函数，的图象，只要把函数，图象上所有的点（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
9．已知函数，则（）
A.5 B.
C. D.
10．已知函数，则（ ）
A.5 B.2
C.0 D.1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．关于函数与有下面三个结论：
①函数的图像可由函数的图像平移得到
②函数与函数在上均单调递减
③若直线与这两个函数的图像分别交于不同的A，B两点，则
其中全部正确结论的序号为____
12．若函数满足，则______
13．函数的最小正周期是__________
14．给出下列命题“
①设表示不超过的最大整数，则；
②定义：若任意，总有，就称集合为的“闭集”，已知且为的“闭集”，则这样的集合共有7个；
③已知函数为奇函数，在区间上有最大值5，那么在上有最小值.其中正确的命题序号是_________.
15．设，关于的方程有两实数根，，且，则实数的取值范围是___________.
16．角的终边经过点，则的值为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，，设（其中表示中的较小者）.
（1）在坐标系中画出函数的图像；
（2）设函数的最大值为，试判断与1的大小关系，并说明理由.
（参考数据：，，）
18．已知函数
（1）求的值域；
（2）讨论函数零点的个数.
19．如图，平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，正方形ADEF，且面ADEF⊥面ABCD．

（1）求证：BD⊥平面ECD；
（2）求D点到面CEB的距离．
20．在①两个相邻对称中心的距离为，②两条相邻对称轴的距离为，③两个相邻最高点的距离为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解
问题：函数的图象过点，且满足__________．当时，，求的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
21．已知函数 .
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求证：函数在为单调增函数；
（3）求满足的的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】求圆心角的弧度数，再由弧长公式求弧长.
【详解】∵圆心角为，
∴ 圆心角的弧度数为，又扇形的半径为2，
∴ 该扇形的弧长，
故选：B.
2、B
【解析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到
【详解】解：①为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是；
②为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数，
在上的值为负数，故第三个图象满足；
③为奇函数，当时，，故第四个图象满足；
④，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，
故选：B
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
3、C
【解析】由题意：，
且：，
据此：，
结合函数的单调性有：，
即.
本题选择C选项.
【考点】 指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
4、B
【解析】由题意可知圆的圆心为，半径为，圆的圆心为半径为
∵两圆的圆心距
∴
∴两圆相交，则共有2条公切线
故选B
5、C
【解析】先求出，再根据二倍角余弦公式求出，然后根据诱导公式求出.
【详解】由题意可得：，且，
所以，
所以，
故选：C
【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.
6、C
【解析】根据线面平行、线面垂直的判定与性质，即可得到正确答案
【详解】解：对于①，在正方体中，由图可知与异面，故①不正确
对于②，因为，不垂直，所以与不垂直，故②不正确
对于③，在正方体中，平面，又∵平面，∴与垂直.故③正确
故选：C
【点睛】此题考查线线平行、线线垂直，考查学生的空间想象能力和对线面平行、线面垂直的判定与性质的理解与掌握，属基础题
7、D
【解析】设，由点幂函数上求出参数n，即可得函数解析式，进而求.
【详解】设，又在图象上，则，可得，
所以，则.
故选：D
8、C
【解析】利用辅助角公式可得，再由三角函数的平移变换原则即可求解.
【详解】解：，
，
为了得到函数，的图象，
只要把函数，图象上所有的点向左平移个单位长度
故选：C．
9、A
【解析】分段函数求值，根据自变量的取值范围代相应的对应关系
【详解】因为
所以
故选：A
10、C
【解析】由分段函数，选择计算
【详解】由题意可得.
故选：C.
【点睛】本题考查分段函数的求值，属于简单题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、①②##②①
【解析】根据三角函数的平移法则和单调性知①②正确，取代入计算得到③错误，得到答案.
【详解】向左平移个单位得到，①正确；
函数在上单调递减，函数在上单调递减，②正确；
取，则，，，③错误.
故答案为：①②
12、
【解析】根据题意，令，结合指数幂的运算，即可求解.
【详解】由题意，函数满足，令，可得.
故答案为：.
13、
【解析】根据正弦函数的最小正周期公式即可求解
【详解】因为
由正弦函数的最小正周期公式可得
故答案为：
14、①②
【解析】对于①，如果，则，也就是，所以，进一步计算可以得到该和为，故①正确；对于②，我们把分成四组：，由题设可知不是“闭集”中的元素，其余三组元素中的每组元素必定在“闭集”中同时出现或同时不出现，故所求的“闭集”的个数为，故②正确；对于③，因为在上的最大值为，故在上的最大值为，所以在上的最小值为，在上的最小值为，故③错．综上，填①②
点睛：（1）根据可以得到，因此，这样的共有，它们的和为，依据这个规律可以写出和并计算该和
（2）根据闭集的要求，中每组元素都是同时出现在闭集中或者同时不出现在闭集中，故可以根据子集的个数公式来计算
（3）注意把非奇非偶函数转化为奇函数或偶函数来讨论
15、
【解析】结合一元二次方程根的分布的知识列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】令，
依题意关于的方程有两实数根，，且，
所以，即，解得.
故答案为：
16、
【解析】以三角函数定义分别求得的值即可解决.
【详解】由角的终边经过点，可知
则，，
所以
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）根据（其中表示中的较小者），即可画出函数的图像；（2）由题意可知，为函数与图像交点的横坐标，即，设，根据零点存在定理及函数在上单调递增，且为连续曲线，可得有唯一零点，再由函数在上单调递减，即可得证.
试题解析：（1）作出函数的图像如下：

（2）由题意可知，为函数与图像交点的横坐标，且，
∴.
设，易知即为函数零点，
∵，，
∴，
又∵函数在上单调递增，且为连续曲线，
∴有唯一零点
∵函数在上单调递减，
∴，即.
18、（1）；
（2）答案见解析.
【解析】（1）分和，分别求出对应函数的值域，进而可求出结果；
（2）作出函数的图象，数形结合即可分析出结果.
【小问1详解】
当时，，对称轴为，开口向上，则在上单调递减，在上单调递增，所以，即值域为；
当时，，则在上单调递减，且，所以，即值域为，故的值域为.
【小问2详解】
由，得，则零点的个数可以看作直线与的图象的交点个数，当时，取得最小值，的图象如图所示.

①当时，直线与的图象有0个交点，即零点的个数为0；
②当或时，直线与的图象有1个交点，即零点的个数为1；
③当或时，直线与的图象有2个交点，即零点的个数为2；
④当时，直线与的图象有3个交点，即零点的个数为3.
综上：①当时，零点的个数为0；②当或时，零点的个数为1；③当或时，零点的个数为2；④当时，零点的个数为3.
19、（1）见解析；（2）点到平面的距离为
【解析】（1）根据题意选择，只需证明，根据线面垂直的判定定理，即可证明平面；（2）把点到面的距离，转化为三棱锥的高，利用等体积法，即可求解高
试题解析：（1）证明：∵四边形为正方形∴
又∵平面平面，
平面平面=，
∴平面
∴
又∵,∴平面
（2）解：，，， 又∵ 矩形中，DE=1
∴，，
∴过B做CE的垂线交CE与M，CM= ∴
的面积等于
由得（1）平面∴点到平面的距离
∴
∴ ∴
即点到平面的距离为.
考点：直线与平面垂直的判定与证明；三棱锥的体积的应用．
20、选①②③，答案相同，均为
【解析】选①②可以得到最小正周期，从而得到，结合图象过的点，可求出，从而得到，进而得到，接下来用凑角法求出的值；选③，可以直接得到最小正周期，接下来过程与选①②相同.
【详解】选①②：由题意得：的最小正周期，则，结合，解得：，因为图象过点，所以，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以，
；
选③：由题意得：的最小正周期，则，结合，解得：，因为图象过点，所以，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以，
；
21、（1）为奇函数；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（Ⅰ）求出定义域为{x|x≠0且x∈R}，关于原点对称，再计算f（-x），与f（x）比较即可得到奇偶性；
（Ⅱ）运用单调性的定义，注意作差、变形、定符号、下结论等步骤；
（Ⅲ）讨论x＞0，x＜0，求出f（x）的零点，再由单调性即可解得所求取值范围
试题解析：
（1）定义域为{x|x≠0且x∈R}，关于原点对称，
，所以为奇函数；
（2）任取，
所以在为单调增函数；
（3）解得，所以零点为，
当时，由（2）可得的的取值范围为，的的取值范围为，又该函数为奇函数，所以当时，由（2）可得的的取值范围为，
综上：所以 >解集为.