湖南省邵东县第一中学2026届高一数学第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

湖南省邵东县第一中学2026届高一数学第一学期期末学业水平测试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．定义在上的奇函数满足，且当时，，则 （ ）
A. B.2
C. D.
2．若函数在定义域上的值域为，则（ ）
A. B.
C. D.
3．设，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
4．已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
5．已知函数f(x)＝a＋log2(x2＋a)(a>0)的最小值为8，则实数a的取值属于以下哪个范围(　　)
A.(5，6) B.(7，8)
C.(8，9) D.(9，10)
6．已知命题：“，方程有解”是真命题，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．若直线与圆相切，则的值是（）
A.-2或12 B.2或-12
C.-2或-12 D.2或12
8．设，，，则，，的大小关系（）
A. B.
C. D.
9．在试验“甲射击三次，观察中靶的情况”中，事件A表示随机事件“至少中靶1次”，事件B表示随机事件“正好中靶2次”，事件C表示随机事件“至多中靶2次”，事件D表示随机事件“全部脱靶”，则（　　）
A.A与C是互斥事件 B.B与C是互斥事件
C.A与D是对立事件 D.B与D是对立事件
10．已知， ，则（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，矩形的三个顶点分别在函数，，的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点的坐标为______.

12．已知函数，则_________
13．已知正实数满足，则当__________时，的最小值是__________
14．已知＝－5，那么tanα＝________.
15．已知，若是的充分不必要条件，则的取值范围为______
16．已知，则函数的最大值是__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）求函数的最小正周期、单调区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值.
18．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）设，求的值域和单调递减区间
19．如图，平行四边形中，，分别是，的中点，为与的交点，若,，试以，为基底表示、、

20．已知向量，函数图象相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）求的解析式；
（2）若且，求的值.
21．已知角的终边与单位圆交于点
（1）写出、、值；
（2）求的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据题意，由，分析可得，即可得函数的周期为4，则有，由函数的解析式以及奇偶性可得的值，即可得答案
【详解】解：根据题意，函数满足，即，
则函数的周期为4，
所以
又由函数为奇函数，则，
又由当，时，，
则；
则有；
故选：
【点睛】本题考查函数奇偶性、周期性的应用，注意分析得到函数的周期，属于中档题
2、A
【解析】的对称轴为，且，然后可得答案.
【详解】因为的对称轴为，且
所以若函数在定义域上的值域为，则
故选：A
3、B
【解析】利用指数函数、对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，由此可得出、、的大小关系.
【详解】，即，，，
因此，.
故选：B.
4、D
【解析】
利用对数函数与指数函数的性质化简集合，再根据集合交集的定义求解即可．
【详解】因为，，
所以，
，
则，
故选：D．
5、A
【解析】根复合函数的单调性，得到函数f(x)的单调性，求解函数的最小值f(x)min＝8，构造新函数g(a)＝a＋log2a－8，利用零点的存在定理，即可求解.
【详解】由题意，根复合函数的单调性，可得函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上递减，
所以函数f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8，
令g(a)＝a＋log2a－8，a>0，
则g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0，
又g(a)在(0，＋∞)上是增函数，
所以实数a所在的区间为(5，6)
【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及零点的存在定理的应用，其中解答中根据复合函数的单调性，求得函数的最小值，构造新函数，利用零点的存在定理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
6、B
【解析】由根的判别式列出不等关系，求出实数a的取值范围.
【详解】“，方程有解”是真命题，故，解得：，
故选：B
7、C
【解析】解方程即得解.
【详解】解：由题得圆的圆心坐标为半径为1，
所以或.
故选：C
8、A
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性比大小.
【详解】由已知得，，且，
，所以.
故选：A.
9、C
【解析】根据互斥事件、对立事件的定义即可求解.
【详解】解：因为A与C，B与C可能同时发生，故选项A、B不正确；B与D不可能同时发生，但B与D不是事件的所有结果，故选项D不正确；A与D不可能同时发生，且A与D为事件的所有结果，故选项C正确
故选：C.
10、D
【解析】由同角三角函数的平方关系计算即可得出结果.
【详解】因为， ，,,
所以.
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先利用已知求出的值，再求点D的坐标.
【详解】由图像可知，点在函数的图像上，所以，即.
因为点在函数的图像上，所以，.
因为点在函数的图像上，所以.
又因为，，
所以点的坐标为.
故答案为
【点睛】本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12、1
【解析】根据分段函数的定义即可求解.
【详解】解：因为函数，
所以，
所以，
故答案为：1.
13、 ①. ②.6
【解析】利用基本不等式可知，当且仅当“”时取等号.而运用基本不等式后，结合二次函数的性质可知恰在时取得最小值，由此得解.
【详解】解：由题意可知：，即，当且仅当“”时取等号，，当且仅当“”时取等号.
故答案为：，6.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了配方法及二次函数的图像及性质，属于基础题.
14、－
【解析】由已知得＝－5，化简即得解.
【详解】易知cosα≠0，由＝－5，
得＝－5，
解得tanα＝－.
故答案为：－
【点睛】本题主要考查同角的商数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15、
【解析】根据不等式的解法求出的等价条件，结合充分不必要条件的定义建立不等式关系即可
【详解】由得得或，
由得或，
得或，
若是的充分不必要条件，
则即得，
又，则，
即实数的取值范围是，
故填：
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出不等式的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行转化是解决本题的关键，为基础题
16、
【解析】由函数变形为，再由基本不等式求得，从而有，即可得到答案.
【详解】∵函数
∴
由基本不等式得，当且仅当，即时取等号.
∴函数的最大值是
故答案为.
【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1),增区间是，减区间是 (2)，
【解析】（1）根据余弦函数的图象与性质，求出f（x）的最小正周期和单调增、减区间；
（2）求出x∈[，]时2x的取值范围，从而求得f（x）的最大最小值
【详解】（1）函数f（x）cos（2x）中，它的最小正周期为Tπ，
令﹣π+2kπ≤2x2kπ，k∈Z，
解得kπ≤xkπ，k∈Z，
所以f（x）的单调增区间为[kπ，kπ]，k∈Z；
令2kπ≤2xπ+2kπ，k∈Z，
解得kπ≤xkπ，k∈Z，
所以f（x）的单调减区间为[kπ，kπ]，k∈Z；
（2）x∈[，]时，2x≤π，所以2x；
令2x，解得x，此时f（x）取得最小值为f（）（）＝﹣1；
令2x0，解得x，此时f（x）取得最大值为f（）1
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，熟记单调区间是关键，是基础题
18、（1）；
（2）的值域为，的递减区间为
【解析】（1）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再求出周期即可；
（2）先根据的范围求得，再结合正弦函数的性质可得到函数的值域，求得单调递减区间
【详解】（1）
（2）∵，
，的值域为，
当，即，时,
单调递减，且，
所以的递减区间为
19、
【解析】分析：直接利用共线向量的性质、向量加法与减法的三角形法则求解即可.
详解：由题意，如图，
，
连接，则是的重心，连接交于点，则是的中点，
∴点在上，
∴，
故答案为
；；
∴
点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）
20、（1） ；(2) .
【解析】（1）利用数量积及三角恒等变换知识化简得；（2）由，可得，进而得到，再利用两角和余弦公式即可得到结果.
试题解析：
（1）
， ，即
（2）
，

21、（1）=；=；=（2）
【解析】（1）根据已知角的终边与单位圆交于点，结合三角函数的定义即可得到、、的值；（2）依据三角函数的诱导公式化简即可，
，最后利用第（1）小问的结论得出答案.
试题解析：（1）已知角终边与单位圆交于点，
.
（2）.
点睛：本题考查任意角的三角函数的定义，即当角的终边与单位圆的交点为时，则，，，运用诱导公式化简求值，在化简过程中必须注意函数名是否改变以及符号是否改变等．本题是基础题，解答的关键是熟悉任意角的三角函数的定义，单位圆的知识.