2025-2026学年宁夏六盘山高级中学 高二上数学期末预测试题含解析.doc

2025-2026学年宁夏六盘山高级中学 高二上数学期末预测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设为椭圆上一点，，为左、右焦点，且，则（）
A.为锐角三角形 B.为钝角三角形
C.为直角三角形 D.，，三点构不成三角形
2．抛物线的焦点到准线的距离是
A. B.1
C. D.
3．下列命题中是真命题的是（）
A.“”是“”的充分非必要条件
B.“”是“”的必要非充分条件
C.在中“”是“”的充分非必要条件
D.“”是“”的充要条件
4．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则（）
A.2192 B.
C. D.
5．已知椭圆：的左、右焦点为，，上顶点为P，则（）
A.为锐角三角形 B.为钝角三角形
C.为直角三角形 D.，，三点构不成三角形
6．已知函数，若对任意，都有成立，则a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7．在四面体中，点G是的重心，设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
8．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是
A. B.
C. D.
9．已知函数的图象过点，令.记数列的前n项和为，则（　　）
A. B.
C. D.
10．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
A. B.
C. D.
11．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为O，点M在上，且，则下列向量中与相等的向量是（）

A. B.
C. D.
12．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小张在D处观测，测得A，B分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则A，B两处岛屿间的距离为（ ）海里.

A. B.
C. D.10
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．经过点，，的圆的方程为______.
14．已知数列满足，且．则数列的通项公式为_______
15．从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数a，另一个作为对数的真数b.则的概率为______.
16．数学中，多数方程不存在求根公式.因此求精确根非常困难，甚至不可能.从而寻找方程的近似根就显得特别重要.例如牛顿迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下：假设是方程的根，选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，则与轴交点的横坐标称为的一次近似值，在点处作曲线的切线.则与轴交点的横坐标称为的二次近似值.重复上述过程，用逐步逼近.若给定方程，取，则__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆（）的左、右焦点为，，，离心率为
（1）求椭圆的标准方程
（2）的左顶点为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，记直线，，的斜率分别为，，，求证：
18．（12分）如图甲是由正方形，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿，，折起得三棱锥，如图乙.

（1）求证：平面平面；
（2）过棱作平面交棱于点，且三棱锥和的体积比为，求直线与平面所成角的正弦值.
19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点分别为，其离心率，且椭圆C经过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点M作两条不同的直线与椭圆C分别交于点A，B（均异于点M）.若∠AMB的角平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由.
20．（12分）某高中招聘教师，首先要对应聘者的简历进行筛选，简历达标者进入面试，面试环节应聘者要回答3道题，第一题为教育心理学知识，答对得4分，答错得0分，后两题为学科专业知识，每道题答对得3分，答错得0分
（1）甲、乙、丙、丁、戊来应聘，他们中仅有3人的简历达标，若从这5人中随机抽取3人，求这3人中恰有2人简历达标的概率；
（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题答对与否互不影响，求该应聘者的面试成绩X的分布列及数学期望
21．（12分）已知双曲线C的方程为（），离心率为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过的直线交曲线于两点，求的取值范围.
22．（10分）已知椭圆上的点到左、右焦点、的距离之和为4，且右顶点A到右焦点的距离为1.
（1）求椭圆的方程;
（2）直线与椭圆交于不同两点，，记的面积为，当时求的值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据椭圆方程求出，然后结合椭圆定义和已知条件求出并求出，进而判断答案.
【详解】由题意可知，，由椭圆的定义可知，而，联立方程解得，且，则6+2=8，即不构成三角形.
故选：D.
2、D
【解析】，，所以抛物线的焦点到其准线的距离是，故选D.
3、B
【解析】根据充分条件、必要条件、充要条件的定义依次判断.
【详解】当时，，非充分，故A错.
当不能推出，所以非充分，
，所以是必要条件，故B正确.
当在中，，
反之，故为充要条件，故C错；
当时，，，，充分条件，
因为，当时成立，非必要条件，故D错.
故选：B.
4、D
【解析】计算出每月应还的本金数，再计算第n个月已还多少本金，由此可计算出个月的还款金额.
【详解】由题意可知：每月还本金为2000元，
设张华第个月的还款金额为元，
则，
故选：D
5、A
【解析】根据题意求得，要判断的形状，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判断，从而可得结论.
【详解】解：由椭圆：，得，
则，
则，
所以且为锐角，
因为，
所以锐角，
所以为锐角三角形.
故选：A.
6、C
【解析】求出函数的导数，再对给定不等式等价变形，分离参数借助均值不等式计算作答.
【详解】对函数求导得：，
，，
则，，而，当且仅当，即时“=”，
于是得，解得，
所以a的取值范围为.
故选：C
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
7、B
【解析】结合重心的知识以及空间向量运算求得正确答案.
【详解】设是中点，

.
故选：B

8、C
【解析】直线l：y=-x+a与渐近线l1：bx-ay=0交于B，
l与渐近线l2：bx+ay=0交于C，A（a，0），
∴，∵，
∴，b=2a，∴，∴，∴
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质
9、D
【解析】由已知条件推导出，．由此利用裂项求和法能求出
【详解】解：由，可得，解得，则.
∴，

故选：
【点睛】本题考查了函数的性质、数列的“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
10、B
【解析】分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得
详解：由题可知

在中，
在中,

故选B.
点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题
11、D
【解析】根据平行六面体的几何特点，结合空间向量的线性运算，即可求得结果.
【详解】因为平行六面体中，点M在上，且
故可得

故选：D.
12、C
【解析】分别在和中，求得的长度，再在中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】如图所示，可得，
所以，
在中，可得，
在直角中，因为，所以，
在中，由余弦定理可得
，
所以.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设所求圆的方程为，然后将三个点的坐标代入方程中解方程组求出的值，可得圆的方程
【详解】设所求圆的方程为，则
，解得，
所以圆的方程为，即，
故答案为：
14、
【解析】倒数型求数列通项公式，第一步求倒数，第二步构造数列，求通项.
【详解】因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1 的等差数列，所以
故答案为：.
15、##
【解析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式以及对数的知识求得正确答案.
【详解】的所有可能取值为，
，共种，
满足的为，，共种，
所以的概率为.
故答案为：
16、
【解析】根据牛顿迭代法的知识求得.
【详解】构造函数，，
切线的方程为，与轴交点的横坐标为.
，
所以切线的方程为，与轴交点的横坐标为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）证明见解析
【解析】(1)由可求出，结合离心率可知，进而可求出，即可求出标准方程.
(2) 由题意知，，则由直线的点斜式方程可得直线的解析式为，与椭圆进行联立，设，，结合韦达定理可得，从而由斜率的计算公式对进行整理化简从而可证明.
【详解】（1）解：因为，所以．又因为离心率，所以，则，
所以椭圆的标准方程是
（2）证明：由题意知，，，则直线的解析式为，
代入椭圆方程，得
设，，则．又因为，

，所以

【点睛】关键点睛:
本题第二问的关键是联立直线和椭圆的方程后，结合韦达定理，用表示交点横坐标的和与积，从而代入进行整理化简.
18、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）取的中点为，连接，，证明，，即证平面，即证得面面垂直；
（2）建立如图空间直角坐标系，写出对应点的坐标和向量的坐标，再计算平面法向量，利用所求角的正弦为即得结果.
【详解】（1）证明：如图，取的中点为，连接，.
∵，∴.
∵，，
∴，同理.
又，∴，
∴.∵，，平面，
∴平面.
又平面，
∴平面平面；
（2）解：如图建立空间直角坐标系，根据边长关系可知，，，，，
∴，.

∵三棱锥和的体积比为，
∴，
∴，
∴.
设平面的法向量为，
则，令，得.
设直线与平面所成角为，
则.
∴直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】方法点睛：
求空间中直线与平面所成角的常见方法为：
（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；
（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；
（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.
19、（1）
（2）是，证明见解析
【解析】（1）根据离心率及椭圆上的点可求解；
（2）根据题意分别设出直线MA、MB，与椭圆联立后得到相关点的坐标，再通过斜率公式计算即可证明.
【小问1详解】
由，得，所以a2 =9b2①，
又椭圆过点，则②，
由①②解得a=6，b=2，所以椭圆的标准方程为
【小问2详解】
设直线MA的斜率为k，点， 因为∠AMB的平分线与y轴平行，所以直线MA与MB的斜率互为相反数，则直线MB的斜率为-k.
联立直线MA与椭圆方程，得
整理，得，
所以，同理可得，
所以，
又

所以为定值.
20、（1）
（2）分布列见解析；期望为
【解析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；
（2）根据题意可知，随机变量X的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，再利用相互独立事件的概率乘法公式分别求出对应的概率，列出分布列即可求出数学期望
【小问1详解】
从这5人中随机抽取3人，恰有2人简历达标的概率为
【小问2详解】
由题可知，X的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，
则，
，
，
，
，
.
故X的分布列为：
X
0
3
4
6
7
10
P

所以
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据题意，结合离心率易，知双曲线为等轴双曲线，进而可求解；
（2）根据题意，分直线斜率否存在两种情形讨论，结合设而不求法以及向量数量积的坐标公式，即可求解.
【小问1详解】
根据题意，由离心率为，知双曲线是等轴双曲线，所以
，故双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
则由消去，得到，
∵直线与双曲线交于M、N两点，，解得.
设，则有，，
因此，
∵，∴且，故或，
故；
②当直线的斜率不存在时，此时，易知，，故.
综上所述，所求的取值范围是.
22、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意得到，，再根据求解即可.
（2）首先设，，再根据求解即可.
【小问1详解】
由题意，，
因为右顶点到右焦点的距离为，即，所以，
则，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设，，且
根据椭圆的对称性得，
联立方程组，整理得，解得，
因为的面积为3，可得，解得.